浙江省宁波市2018届高三5月模拟考试数学试题（全WORD版） 13页

宁波市2018年高考模拟考试 数学试卷 说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．‎ 参考公式 柱体的体积公式：V=Sh，其中S表示柱体的底面积, h表示柱体的高；‎ 锥体的体积公式：V=Sh，其中S表示锥体的底面积, h表示锥体的高；‎ 台体的体积公式：，其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积, h表示台体的高；‎ 球的表面积公式：S = 4πR2 ，球的体积公式：V=πR3，其中R表示球的半径；‎ 如果事件A, B互斥, 那么P(A+B)=P(A)+P(B) ；‎ 如果事件A, B相互独立, 那么P(A·B)=P(A)·P(B) ；‎ 如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次 的概率Pn(k)=pk (1－p)n-k (k = 0,1,2,…, n) ．‎ 第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．已知直线、与平面、，，，则下列命题中正确的是 ‎ A．若，则必有 B．若，则必有 ‎ C．若，则必有 D．若，则必有 ‎4．使得（）的展开式中含有常数项的最小的为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．记为数列的前项和．“任意正整数，均有”是“为递增数列”的 ‎ ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6．已知实数，满足不等式组，则的最大值为 A. 0 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎（第7题图）‎ ‎7．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有 ‎ A．种 B．种 ‎ C．种 D．种 ‎8．设抛物线的焦点为，过点的直 线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于，若，则与的面积之比 A． B． C． D． ‎ ‎9．已知为正常数，,若存在，满足，则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知均为非负实数，且，则的取值范围为 ‎ A. B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）‎ 二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．‎ ‎11．双曲线的离心率是 ▲ ，渐近线方程为 ▲ ．‎ ‎12．已知直线．若直线与直线平行，则的值为 ▲ ；动直线被圆截得弦长的最小值为 ‎ ▲ ．‎ ‎13．已知随机变量的分布列如下表：‎ 若，则 ▲ ； ▲ ．‎ ‎14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为 ▲ ，该三棱锥的外接球体积为 ▲ ．‎ ‎（第14题图）‎ ‎15．已知数列与均为等差数列（），且，则 ‎（第17题图）‎ ‎ ▲ ．‎ ‎16．已知实数满足：， ‎ ‎.则的最小值为 ▲ ． ‎ ‎17．已知棱长为的正方体中， ‎ 为侧面中心，在棱上运动，‎ 正方体表面上有一点满足 ‎，则所有 满足条件的点构成图形的面积为 ▲ ．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（本题满分14分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）在中，角、、的对边分别为、、，若满足，，且是的中点，是直线上的动点，求的最小值．‎ ‎19．（本题满分15分）如图，四边形为梯形，点在线段上，满足,且，现将沿翻折到位置，使得．‎ ‎（Ⅰ）证明：;‎ ‎（Ⅱ）求直线与面所成角的正弦值．‎ ‎20．（本题满分15分）已知函数，其中为实常数．‎ ‎（Ｉ）若是的极大值点，求的极小值；‎ ‎（Ⅱ）若不等式对任意， 恒成立，求的最小值．‎ ‎21．（本题满分15分）如图，椭圆的离心率为，点 是椭圆内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与椭圆相交于点，与椭圆相交于点．当恰好为线段的中点时，．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求的最小值．‎ ‎22. （本题满分15分）三个数列，满足，，，，． ‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）是否存在集合，使得对任意成立，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）求证：．‎ 宁波市2018年高考模拟考试 数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题共40分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D 9．D 10．A ‎ ‎9．关于直线对称，且在上为增函数．‎ 所以 ．‎ 因为 ，．‎ 所以．‎ ‎10．简解：，则试题等价于，满足，求的取值范围．‎ 设点，，，点可视为长方体的一个三角截面上的一个点，则 ‎，于是问题可以转化为的取值范围．‎ 显然，的最小值为到平面的距离，‎ 可以利用等积法计算．因为 ‎，于是可以得到 ‎．所以，即．‎ 另解：因为，所以 ‎ 令，则 ．‎ ‎．‎ 当且，即或时取等号；‎ 另一方面，‎ 当时取等号．所以．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共110分）‎ 二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．‎ ‎11．， 12．， 13．； 14．， 15． 16． 17．‎ ‎16．简解：不妨设是中的最小者，即，由题设知，‎ 且，.‎ 于是是一元二次方程的两实根，‎ ‎，‎ ‎，, 所以. ‎ 又当,时，满足题意. 故中最小者的最大值为.　　　　　　　　　　‎ 因为，所以为全小于0或一负二正.‎ 1） 若为全小于0，则由（1）知，中的最小者不大于，这与矛盾.‎ ‎2）若为一负二正，设，则 当,时，‎ 满足题设条件且使得不等式等号成立．‎ 故的最小值为6. ‎ ‎17．答：．‎ 构成的图形，如图所示．记中点为，所求图形为直角梯形、、．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（本题满分14分）‎ 解答：（Ⅰ）‎ ‎ ……………………4分 由于，‎ 所以增区间为．……………………6分 ‎（Ⅱ）由得 ‎，所以. …………8分 作关于的对称点, 连，‎ ‎……………………12分 ‎……………………14分 ‎19．（本题满分15分）‎ 解答：（Ⅰ）方法一：连交于，由条件易算 ‎∴ ··········2分 又 ∴ ··········4分 从而 所以 ··········6分 ‎∴ ··········7分 ‎（第19题图）‎ 方法二：由，得 ‎ , 故， ‎ 又 ，所以 ，……………………2分 所以， ……………………3分 可得，计算得,‎ 从而, ……………………5分 平面，所以. ……………………7分 ‎（Ⅱ）方法一：设直线与面所成角为，‎ 则，其中为到的距离. …………………9分 ‎∵ ∴到的距离即到的距离.‎ 由．…………………12分 所以 ‎∴ . ……………………………………………15分 方法二：由，如图建系，‎ 则 设平面的法向量为，‎ 由，可取 ‎ ， …………………………12分 ‎．.………………………15分 ‎20．（本题满分15分）‎ 解答：（Ｉ）， 因为．‎ 由，得 ，所以 ,…………3分 此时． ‎ 则．‎ 所以在上为减函数，在上为增函数．…………5分 所以为极小值点，极小值．. …………6分 ‎（Ⅱ）不等式即为．‎ 所以． ……………………………8分 ⅰ）若，则，．‎ 当时取等号； ……………………………10分 ⅱ）若，则，． ‎ 由（Ｉ）可知在上为减函数．‎ 所以当时，． ……………………13分 因为．所以 于是． ……………………15分 ‎21．（本题满分15分）‎ 解答：（Ⅰ）由题意设， …………………2分 ‎（第21题图）‎ 即椭圆，‎ 设 由作差得，‎ ‎ ‎ 又∵,即， ‎ ‎∴斜率 ‎． …………………………4分 由．‎ 消得，． ‎ 则．‎ 解得，于是椭圆的方程为：．…………………6分 ‎（Ⅱ）设直线, 由消得，‎ ‎．‎ 于是．………………8分 ‎∵‎ ‎． …………………13分 同理可得．‎ ‎∴， ‎ ‎, 当时取等号．‎ 综上，的最小值为． …………………15分 ‎22. （本题满分15分）‎ 解答：（Ⅰ）下面用数学归纳法证明：当时，．‎ ⅰ）当时，由，，‎ 得，显然成立；‎ ⅱ）假设时命题成立，即． ‎ 则时， ．‎ 于是．‎ 因为．‎ 所以，这就是说时命题成立．‎ 由ⅰ）ⅱ）可知，当时，． …………………3分 ‎（Ⅱ）由，得，‎ 所以，从而． ………………5分 由（Ⅰ）知，当时，，‎ 所以，当时，．‎ 因为，所以．‎ 综上，当时，． ………………7分 由，，所以 ，‎ 所以，又．‎ 从而存在集合，使得对任意成立，‎ 当时,的最小值为．……9分 ‎（Ⅲ）当时，， 所以 ‎ 即 ， 也即 ，…………11分 ‎ ‎ ‎．‎ 即,．‎ 于是．‎ 故．.……………15分