2020届四川省绵阳市高三第二次诊断性测试数学（文）试题（解析版） 21页

2020 届四川省绵阳市高三第二次诊断性测试数学（文）试题 一、单选题 1．设全集 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先确定集合 的元素，再由补集定义求解． 【详解】 由题意 ，∴ ． 故选：D． 【点睛】 本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了 指数函数的单调性． 2．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由除法计算出复数 ． 【详解】 由题意 ． 故选：A． 【点睛】 本题考查复数的除法运算，属于基础题． 3．已知高一（1）班有学生 45 人，高一（2）班有 50 人，高一（3）班有 55 人，现在 要用分层抽样的方法从这三个班中抽 30 人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高 一（2）班被抽出的人数为（ ） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】A 【解析】分层抽样是按比例抽取人数． 【详解】 { }| 0U x x= > { }2|1 xM x e e= < < UC M = ( )1,2 ( )2,+∞ ( ] [ )0,1 2,+∞ [ )2,+∞ M 2{ |1 } { | 0 2}xM x e e x x= < < = < < { | 2}UC M x x= ≥ i z 1 2z i i⋅ = + z = 2 i− 2 i+ 1 2i− 2i − z 1 2 2iz ii += = − 设高一（2）被抽取 人，则 ，解得 ． 故选：A． 【点睛】 本题考查分层抽样，属于基础题． 4．已知向量 ， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D．5 【答案】C 【解析】根据向量平行的坐标运算计算出 ，再由模的坐标表示求模． 【详解】 ∵ ，∴ ， ，∴ ． 故选：C． 【点睛】 本题考查向量平行的坐标表示，考查向量模的坐标表示．属于基础题． 5．已知 为任意角，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解析】说明命题 和 是否为真 即可． 【详解】 ，则 ，因此“ ”是“ ”的必要 不充分条件． 故选：B． 【点睛】 本题考查充分必要条件的判断，只要命题 为真，则 是 的充分条件， 是 的必要条件． 6．已知 ， 是圆 ： 上一动点，线段 的垂直平分 x 50 30 45 50 55 x = + + 10x = ( )1,2a = ( )1,b x= − / /a b  b = 5 2 5 2 5 x / /a b  1 2 ( 1) 0x× − × − = 2x = − 2 2( 1) ( 2) 5b = − + − = α 1cos2 3 α = 3sin 3 α = 1cos2 3 α = ⇒ 3sin 3 α = 3sin 3 α = ⇒ 1cos2 3 α = 2 1cos2 1 2sin 3aα = − = 3sin 3 α = ± 1cos2 3 α = 3sin 3 α = p q⇒ p q q p ( )2,0M P N 2 24 32 0x x y+ + − = MP 线交 于点 ，则动点 的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用 ，确定 点轨迹是椭圆，从而易 求得其方程． 【详解】 由题意圆标准方程为 ，圆心为 ，半径为 6， ∵线段 的垂直平分线交 于点 ，∴ ， ∴ ， ∴ 点轨迹是以 为焦点，长轴长为 6 的椭圆， ∴ ， ， ∴其轨迹方程为 ． 故选：A． 【点睛】 本题考查用椭圆的定义求轨迹方程，属于基础题．根据椭圆定义确定动点轨迹是椭圆， 然后求出 得标准方程，要注意所求轨迹方程是不是圆锥曲线的标准方程． 7．已知某产品的销售额 与广告费用 之间的关系如下表： （单位：万 元） 0 1 2 3 4 （单位：万 元） 10 15 30 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得 对 的回归直线方程为 ，则下列说 法中错误的是（ ） NP Q Q 2 2 19 5 x y+ = 2 2 15 9 x y− = 13 , 10a k c= − = 2 2 19 5 x y− = 6QM QN QP QN PN+ = + = = M 2 2( 2) 36x y+ + = ( 2,0)N − MP NP Q QP QM= 6QM QN QP QN PN+ = + = = 4MN> = Q ,M N 3, 2a c= = 2 2 5b a c= − = 2 2 19 5 x y+ = ,a b y x x y m y x 6.5 9y x= + A．产品的销售额与广告费用成正相关 B．该回归直线过点 C．当广告费用为 10 万元时，销售额一定为 74 万元 D． 的值是 20 【答案】C 【解析】根据回归直线方程中 系数为正，说明两者是正相关，求出 后，再由回归方 程求出 ，然后再求得 ，同样利用回归方程可计算出 时的预估值． 【详解】 因为回归直线方程中 系数为 6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A 正 确； 又 ，∴ ，回归直线一定过点 ，B 正确； 时， ，说明广告费用为 10 万元时，销售额估计为 74 万元， 不是一定为 74 万元，C 错误； 由 ，得 ，D 正确． 故选：C． 【点睛】 本题考查回归直线方程，回归直线方程中 系数的正负说明两变量间正负相关性，回归 直线一定过中心点 ，回归直线方程中计算的值是预估值，不是确定值． 8．甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳 的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点， 则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率． 【详解】 两景点用 1，2 表示，三人选择景点的各种情形为：甲 1 乙 1 丙 1 ，甲 1 乙 1 丙 2 ， 甲 1 乙 2 丙 1 ，甲 2 乙 1 丙 1 ，甲 2 乙 2 丙 1 ，甲 2 乙 1 丙 2 ，甲 1 乙 2 丙 2 ，甲 2 乙 2 丙 2 共 8 种，其中三人去同一景点的有甲 1 乙 1 丙 1 和甲 2 乙 2 丙 2 两种，所以 概率为 ． ( )2,22 m x x y m 10x = x 0 1 2 3 4 25x + + + += = 6.5 2 9 22y = × + = (2,22) 10x = 6.5 10 9 74y = × + = 10 15 30 35 225 my + + + += = 20m = x ( , )x y 1 8 1 4 3 8 1 2 2 1 8 4P = = 故选：B． 【点睛】 本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有的基本事件． 9．双曲线 的右焦点为 ，过 作与双曲线的两条渐近线平 行的直线且与渐近线分别交于 ， 两点，若四边形 （ 为坐标原点）的面积 为 ，则双曲线的离心率为（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】把四边形 面积用 表示出来，它等于 ，变形后可求得离心率． 【详解】 由题意 ，渐近线方程为 ，不妨设 方程为 ， 由 ，得 ，即 ，同理 ， ∴ ，由题意 ，∴ ． 故选：B． 【点睛】 本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于 的一个等式，本题中四边 形 的面积是 就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得． 10．已知圆 ： ，直线 经过点 ，且将圆 及其内部区域 分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线 的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，设设 ，求出直线 分圆所成两部分面积之差的 绝对值 ，利用导数确定函数的单调性，确定出当 最小时 最大， ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > F F A B OAFB O bc 2 3 OAFB , ,a b c bc (c,0)F by xa = ± AF ( )by x ca = − − ( )by x ca by xa  = − −  = 2 2 cx bcy a  =  = ( , )2 2 c bcA a ( , )2 2 c bcB a − 21 (2 )2 2 2OAFB bc bcS c a a = × × × = 2 2 bc bca = 2c a = , ,a b c OAFB bc C 2 2 2 8 0x y x+ − − = l ( )2,2M C l 2 2 0x y- + = 2 6 0x y+ − = 2 2 0x y− − = 2 6 0x y+ − = AOB θ∠ = (0 )θ π< ≤ l 9( sin )S π θ θ= − + θ S 由圆的性质知 最小时， ，从而可求得直线方程． 【详解】 圆 标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ， 直线 交圆于 两点，设 ，如图，则直线 分圆所成两部分 中较小部分面积为 ，较大部分面积为 ， ∴这两部分面积之差的绝对值为 ， ，∴ 是减函数， 最小时， 最大． 在 中， ，∴ 最小时， 最大，从而 最小． ∵ 经过点 ，∴由圆的性质知当 时， 取得最小值.此时 ，∴直线 方程为 ，即 ． 故选：D． 【点睛】 本题考查直线与圆相交问题，解题关键是引入 ，借助于扇形面积公式用 表 示出两个弓形面积之差的绝对值，再利用导数确定这个绝对值最大时的 值，从而确定 直线 的位置，求得其方程．本题考查了函数思想的应用． 11．已知 为偶函数，且当 时， ，则满足不等 式 的实数 的取值范围为（ ） θ CM AB⊥ C 2 2( 1) 9x y− + = (1,0)C 3r = l ,A B AOB θ∠ = (0 )θ π< ≤ l 2 2 1 1 1 sin2 2S r rθ θ= − 2 2 2 1 1(2 ) sin2 2S r rπ θ θ= − + 2 2 2 2 1 sin 9( sin )S S S r r rπ θ θ π θ θ= − = − + = − + ' 9( 1 cos ) 0S θ= − + ≤ 9( sin )S π θ θ= − + θ S CAB∆ 2 22 2 2 18cos 2 18 r AB AB r θ − −= = AB cosθ θ AB M CM AB⊥ AB 1 1 2AB CM k k = − = − l 12 ( 2)2y x− = − − 2 6 0x y+ − = AOBθ = ∠ θ θ l ( )f x 0x ≥ ( ) 31cos sin 3x x xf x x= − + ( ) ( )2 1 2 log log 2 1f m f m f  + <    m A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由偶函数性质把不等式 化为 ，由导数确定函数 在 上的单调性，利用单调性解不等 式． 【详解】 ∵ 是偶函数，∴ ，则不等式 可化为 ，即 ， 时， ， ， 令 ，则 ，∴ 是 上的增函数，∴当 时， ， ∴ 时， ，∴ 在 上是增函数， ∴由 得 ，即 ， ． 故选：A． 【点睛】 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解对数不等式．此各种类型不等式的解法是：本 题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为 ，转化为 ，一种是偶函数，不等式为 ，转化为 ， 然后由单调性去函数符号“ ”． 12．函数 在区间 上恰有一个零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 1 ,22      ( )0,2 ( )10, 1,22      ( )2,+∞ ( ) ( )2 1 2 log log 2 1f m f m f  + <    2( log ) (1)f m f< ( )f x [0, )+∞ ( )f x 1 2 2 2 2 (log ) ( log ) (log ) ( log )f m f m f m f m= − = = ( ) ( )2 1 2 log log 2 1f m f m f  + <    22 ( log ) 2 (1)f m f< 2( log ) (1)f m f< 0x ≥ 31( ) cos sin 3f x x x x x= − + 2'( ) cos sin cos ( sin )f x x x x x x x x x= − − + = − ( ) sing x x x= − '( ) 1 cos 0g x x= − ≥ ( )g x R 0x > ( ) (0) 0g x g> = 0x ≥ '( ) 0f x ≥ ( )f x [0, )+∞ 2( log ) (1)f m f< 2log 1m < 21 log 1m− < < 1 22 m< < 1 2( ) ( ) 0f x f x+ > 1 2( ) ( )f x f x> − 1 2( ) ( )f x f x> 1 2( ) ( )f x f x> f ( ) ( ) ( )22 1 log 2aaf x axx = − − + 10, a      a 1 1,3 2      ( ] [ )1,2 3,+∞ ( ) [ )1,2 3,+∞ [ )2,3 【解析】由零点存在定理 得 ，但还要验证此时在 上是否 只有一个零点，然后讨论 和 两种情形是否符合题意． 【详解】 （1）若由 得 ， ， ， ，∴ ． 设 ， ，∵ ，∴ 在定义域内是增函数， 作出 ， 的示意图，如图． ， ， ，∴ 与 的图象在 上只有一个交点，即 在 上只有一个零点，符合题意． （2）若 ，则 ， ．如（1）中示意图， 是增函数，只是 ，而 ，∴ 与 的图象在 上只有一个交点，即 在 上只有一个零点，符合题意． （3）若 ，则 ， ，如（1）中示意图， 是增函数，此时 ，但 ，而 ，因此在 上 与 的图象还有一个交点，即 在 上有两个零点，不合题 意． 综上， 的取值范围是 ． 故选：D． 【点睛】 1(0) ( ) 0f f a < 2 3a< < 1(0, )a (0) 0f = 1( ) 0f a = 1(0) ( ) 0f f a < (1 log 2)(1 log 3) 0a a − − < lg 2 lg3(1 )(1 ) 0lg lga a − − < (lg lg 2)(lg lg3) 0a a− − < lg 2 lg lg3a< < 2 3a< < 2( ) (2 1)g x ax= − ( ) log ( 2)ah x ax= + 2 3a< < ( )h x ( )g x ( )h x 1(0) ( ) 1g g a = = (0) log 2 1ah = < 1( ) log 3 1ah a = > ( )g x ( )h x 1[0, ]a ( )f x 1[0, ]a (0) 0f = 1 log 2 0a − = 2a = 2( ) log (2 2)h x x= + (0) (0) 1h g= = 1 1( ) (0) 1 ( )h h ga a > = = ( )g x ( )h x 1[0, ]a ( )f x 1[0, ]a 1( ) 0f a = 1 log 3 0a − = 3a = 3( ) log (3 2)h x x= + 1 1( ) ( ) 1h ga a = = (0) 1g = 3(0) log 2 1 (0)h g= < = 1(0, )2a ( )g x ( )h x ( )f x 1[0, ]a a [2,3) 本题考查函数零点分布问题． 在闭区间 上只有一个零点，首先由零点存在定 理 确定参数范围，但是此种情形下必须验证在 上是否是一个零点， 零点存在定理只说明有零点，没有说明有几个零点．其次分别讨论 和 两种情形是否满足题意． 二、填空题 13．直线 ： 与直线 平行，则实数 的值是 ______. 【答案】2. 【解析】由两直线平行的条件判断． 【详解】 由题意 ，解得 ． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查两直线平行的充要条件，两直线 和 平行， 条件 是必要条件，不是充分条件，还必须有 或 ，但在 时，两直线平行的充要条件是 ． 14．某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次 数学成绩的方差是______. 【答案】30.8. 【解析】写出茎叶图中的 5 个数据，计算均值后再计算方差． 【详解】 五个数据分别是：110，114，119，121，126，其平均值为 ， 方差为 ( )f x [ , ]m n ( ) ( ) 0f m f n < ( , )m n ( ) 0f m = ( ) 0f n = l ( )1 1 0ax a y− + − = 4 6 3 0x y− + = a ( 1) 1 4 6 3 a a− + −= ≠− 2a = 1 1 1 0A x B y C+ + = 2 2 2 0A x B y C+ + = 1 2 2 1 0A B A B− = 1 2 2 1 0AC AC− ≠ 1 2 2 1 0B C B C− ≠ 2 2 2 0A B C ≠ 1 1 1 2 2 2 A B C A B C = ≠ 110 114 119 121 126 1185x + + + += = 故答案为：30.8 【点睛】 本题考查茎叶图，考查方差的计算．读懂茎叶图是解题基础． 15．函数 的图象如图所示，则 在区间 上的零点之和为______. 【答案】 . 【解析】先求出周期，确定 ，再由点 确定 ，得函数解析式，然后可求出 上的所有零点． 【详解】 由题意 ，∴ ，又 且 ，∴ ， ∴ ． 由 得 ， ， ， 在 内有： ，它们的和为 ． 【点睛】 本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程 得出零点，就可确定在已知范围内的零点．本题也可用对称性求解，由函数周期是 ，区间 含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此 在 上 有 4 个零点，它们关于直线 对称，由此可得 4 个零点的和． 16．过点 的直线 与抛物线 ： 交于 ， 两点（ 在 ， 之 间）， 是抛物线 的焦点，若 ，则 的面积为______. 2 2 2 2 2 21[(110 118) (114 118) (119 118) (121 118) (126 118) ]5s = − + − + − + − + − 30.8= ( )sin 0, 2y x πω ϕ ω ϕ = + > <   ( )f x [ ],π π− 2 3 π ω ( ,1)6 π ϕ [ , ]−π π 4 11( )3 12 6T π π π= × − = 2 2 πω π= = sin(2 ) 16 π ϕ× + = 2 πϕ < 6 π=ϕ ( ) sin(2 )6f x x π= + sin(2 ) 06x π+ = 2 6x k π π+ = 2 12 kx π π= − k Z∈ [ , ]−π π 7 5 11, , ,12 12 12 12 π π π π− − 2 3 π ( ) 0f x = π [ , ]−π π ( )f x [ , ]−π π 6x π= ( )1,0M − l C 2 4y x= A B A M B F C 4MBF MAFS S∆ ∆= ABF∆ 【答案】3. 【解析】不妨设 在第一象限且由设 ，由 ，得 ，从而 ．由 共线及 在抛物线上，可求 得 ． 【详解】 不妨设 在第一象限，如图，设 ，由题意 ， ∵ ，∴ ，∴ ． 又 共线，∴ ，即 ，把 代入得： ，显然 ，解得 ，∴ ， ∴ ， ，∴ ． 故答案为：3． 【点睛】 本题考查直线与抛物线相交的面积问题．解题关键是善于发现 和 有共同 的底 ，从而由面积比得出 两点的纵坐标比，再由 共线及 在抛物 线上，求得 的纵坐标，从而得三角形面积． 三、解答题 17．每年的 4 月 23 日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读 的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了 100 名不同性别的学生（其中男生 45 名）， 统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间 （小时）的频率分布直方图如图所示： ,A B 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 4MBF MAFS S∆ ∆= 2 1 1 142 2MF y MF y= × 2 14y y= , ,A B M ,A B 1 2,y y ,A B 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y (1,0)F 4MBF MAFS S∆ ∆= 2 1 1 142 2MF y MF y= × 2 14y y= , ,M A B 1 2 1 21 1 y y x x =+ + 1 2 2 2 1 2 1 11 14 4 y y y y = + + 2 14y y= 1 1 2 2 1 1 4 1 4 114 y y yy = ++ 1 0y ≠ 1 1y = 2 4y = 1 2 1 12MAFS∆ = × × = 4MBFS∆ = 4 1 3FAB MBF MAFS S S∆ ∆ ∆= − = − = MAF∆ MBF∆ MF ,A B , ,M A B ,A B ,A B t （1）求样本学生一个月阅读时间 的中位数 . （2）已知样本中阅读时间低于 的女生有 30 名，请根据题目信息完成下面的 列 联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为阅读与性别有关. 列联表 男 女 总计 总计 附表： 0.15 0.10 0.05 2.072 2.706 3.841 其中： . 【答案】（1） ；（2）不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为阅读与性别有关. 【解析】（1）频率为 0.5 对应的点的横坐标为中位数； （2）100 名学生中男生 45 名，女生 55 名，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于 的人数为 50 人，小于 的也有 50 人，阅读时间低于 的女生有 30 名，这样可得列联 表中的各数，得列联表，依据 公式计算 ，对照附表可得结论． 【详解】 （1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为 . t m m 2 2× 2 2× t m≥ 3 3− 4a 7a { }nb 32 na nb += { }nb ( )* n n nc a b n N= + ∈ { }nc n nS 2 22 n nb −= 22 4 1n nS n n= + − − 4 7,a a 1a 3 0a > na nb 12 5 2n nc n −= − + nS 4 1 13 6a a d a= + = + 7 1 16 12a a d a= + = + ( ) ( ) ( )2 1 13 3 6 12a a− = + ⋅ + 1 3a = − 1 15a = − 3 1 2 2 0a a= + × > 1 4a > − 1 3a = − ∴ . ∴ . （2）由（1）可知， . . 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式，考查等比中项的定义，考查分组求和法以及等差数列和 等比数列前 项和公式，掌握等差数列与等比数列的通项公式和前 项和公式是解题基 础． 19．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 . （1）求 ； （2）若 为 边上一点，且 ， ，求 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理可求得 ； （2）把 的面积用两种方法表示建立 与三角形各边的关系，由 ， 即即 代入可得 ，再代入余弦定理 中可求 得 ，从而可得 ，于是得 的值． 【详解】 （1）在 中，由正弦定理得 ，即 . 由余弦定理得 ， ( )3 2 1 2 5na n n= − + ⋅ − = − 3 2 22 2na n nb + −= = 12 5 2n n n nc a b n −= + = − + 1 2n nS c c c= + + + ( ) 1 23 1 1 2 5 1 2 n n −= − − + + + − +   − ( )3 2 5 2 12 nn n− + −= + − 22 4 1n n n= + − − n n ABC∆ A B C a b c ( )( ) ( )sin sin sin sinA B a b c C B+ − = + A D BC AD BC⊥ 2 3BC AD= sin B 2 3A π= 1 2 A ABC∆ AD 2 3BC AD= 2 3 aAD = 2 3a bc= 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − b c= 6B C π= = sin B ABC∆ ( )( ) ( )a b a b c c b+ − = + 2 2 2a b c bc= + + 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = − 结合 ，可知 . （2）在 中， ，即 . 由已知 ，可得 . 在 中，由余弦定理得 ， 即 ，整理得 ，即 ， ∴ . ∴ . 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第（2）问解题关键是把三角形面积 用两种方法表示而建立等式： ． 20．已知椭圆 ： ，动直线 过定点 且交椭圆 于 ， 两点（ ， 不在 轴上）. （1）若线段 中点 的纵坐标是 ，求直线 的方程； （2）记 点关于 轴的对称点为 ，若点 满足 ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）设 ， ，直线 ： ，直线方程与椭圆方 程联立消元得 的二次方程，由判别式得 的取舍范围，由韦达定理得 ， 利用 中点纵坐标是 可求得 ，只要满足 即可； （2）由题意 ， ，说明 ， ， 三点共线，即 . 这样可求出 ，化为只含 的式子后代入（1）中的 就可求得 ． 【详解】 （1）设 ， ，直线 ： . 由 消去 得 . 0 A π< < 2 3A π= ABC∆ 1 1sin2 2ABCS AB AC BAC BC AD∆ = ⋅ ∠ = ⋅ 3 2 bc a AD= ⋅ 2 3BC AD= 2 3 aAD = ABC∆ 2 2 2 2 cos120a b c bc= + − ° 2 23bc b c bc= + + ( )2 0b c− = b c= 6A B π= = 1sin sin 6 2B π= = 1 1sin2 2ABCS bc A BC AD∆ = = ⋅ C 2 2 12 x y+ = l ( )2,0 C A B A B x AB Q 2 3 − l A x M ( ),0N n MN NBλ=  n 2 2 0x y− − = 1n = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB 2x t y= + y t 1 2 1 2,y y y y+ AB 2 3 − t > 0∆ ( )1 1,M x y− MN NBλ=  M N B MN MBk k= n 1 2,y y 1 2 1 2,y y y y+ n ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB 2x t y= + 2 2 2 2 2 x ty x y = +  + = x ( )2 22 4 2 0t y ty+ + + = ，解得 或 . 由韦达定理得 ， .① ∵ 中点 的纵坐标是 ， ∴ ，代入①解得 或 . 又 或 ，得 . ∴直线 的方程为 . （2）由题意得 ， 由 ，知 ， ， 三点共线， 即 . ∴ ， 即 ， 解得 . 将 ， ，代入得 .② 由①有 ， .③ 将③代入②得到 . 【点睛】 本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，解题时注意体 会． 21．已知函数 ，其中 . （1）讨论函数 的单调性； （2）若 ，记函数 的两个极值点为 ， （其中 ），求 的最大值. 【答案】（1）当 时， 在 上单调递增；当 时，函数 2 2 0t∆ = − > 2t > 2t < − 1 2 2 4 2 ty y t −+ = + 1 2 2 2 2y y t = + AB Q 2 3 − 1 2 4 3y y+ = − 1t = 2t = 2t > 2t < − 2t = l 2 2 0x y− − = ( )1 1,M x y− MN NBλ=  M N B MN MBk k= ( ) ( )1 2 1 1 2 1 0 y y y n x x x − − − −=− − 1 2 1 1 2 1 y y y n x x x +=− − ( )1 2 1 1 2 1 y x xn xy y −= ++ 1 1 2x ty= + 2 2 2x ty= + 1 2 1 2 2 2ty yn y y = ++ 1 2 2 4 2 ty y t −+ = + 1 2 2 2 2y y t = + 1n = ( ) 212ln 2xf x axx = + − a R∈ ( )f x 3a ≥ ( )f x 1x 2x 2 1x x> ( ) ( )2 1f x f x− 2 2a ≤ ( )f x ( )0, ∞+ 2 2a > ( )f x 在 和 上单调递增，在 上单调递减； （2） . 【解析】（1）求出导函数 ，由 得增区间，由 得减区间，注意 题中函数定义域是 ，因此对二次三项式 分类情况为第一类： 或 ，第二类 且 ． （2）与极值点有关的问题，不是直接代入极值点，而是用 表示极值点，由 是 方程 的解，得 ， . .不妨设 ，引入变量 ，则 ， 就转化 为 的函数，由 求得 的范围，由导数知识可得所求最大值． 【详解】 （1） . 令 ，则 . ①当 或 ，即 时，得 恒成立， ∴ 在 上单调递增. ②当 ，即 时， 由 ，得 或 ； 由 ，得 . ∴函数 在 和 上单调递增， 2 80, 2 a a − −    2 8 ,2 a a + + +∞    2 28 8,2 2 a a a a − − + −    32ln 2 2 − '( )f x '( ) 0f x > '( ) 0f x < (0, )+∞ 2 8x ax− + 0a ≤ 0∆ ≤ 0a > > 0∆ 1 2,x x 1 2,x x 2 2 0x ax− + = 1 2x x a+ = 1 2 2x x = 2 2 1 2 2 2 1( ) ( ) 2ln 2f x f x x x ax− = + − 2 1 1 1 1(2ln )2x x ax− + − ( ) ( )2 22 2 1 2 1 1 12ln 2 x x x a x xx = + − − − 2 2 2 2 1 1 2ln 2 x x x x −= − 2 2 2 2 1 1 1 2 2ln x x x x x x −= − 2 2 1 1 1 2 2ln x x x x x x = − + 1 2x x< 2 1 xt x = 1t > 2 1( ) ( )f x f x− t 3a ≥ t ( ) ( )2 ' 2 2 0x axx a xx xf x − += + − = > ( ) 2 2g x x ax= − + 2 8a∆ = − 0a ≤ 0∆ ≤ 2 2a ≤ ( )' 0f x ≥ ( )f x ( )0, ∞+ 0 0 a > ∆ > 2 2a > ( )' 0f x > 2 80 2 a ax − −< < 2 8 2 a ax + +> ( )' 0f x < 2 28 8 2 2 a a a ax − − + −< < ( )f x 2 80, 2 a a − −    2 8 ,2 a a + + +∞    在 上单调递减. 综上所述，当 时， 在 上单调递增； 当 时，函数 在 和 上单调递增， 在 上单调递减. （2）由（1）得，当 时， 有两极值点 ， （其中 ）. 则 ， 为 的两根， ∴ ， . . 令 ， 则 . 由 ，得 ， 即 ，解得 . ∵ ， ∴ 在 上单调递减， ∴ . 即 的最大值为 . 【点睛】 本题考查用导数研究函数的单调性，函数的极值点以及与极值点有关的最值．在求单调 2 28 8,2 2 a a a a − − + −    2 2a ≤ ( )f x ( )0, ∞+ 2 2a > ( )f x 2 80, 2 a a − −    2 8 ,2 a a + + +∞    2 28 8,2 2 a a a a − − + −    2 2a > ( )f x 1x 2x 2 1x x> 1x 2x ( ) 2 2 0x ag x x= − + = 1 2x x a+ = 1 2 2x x = ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 1 2 1 2 1 1 12ln 2 xf x f x x x a x xx − = + − − − 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2ln 2ln2 x x x x x x x x x x − −= − = − 2 2 1 1 1 2 2ln x x x x x x = − + ( )2 1 1xt tx = > ( ) ( ) ( )2 1 12lnf x f x h t t t t − = = − + 3a ≥ ( )22 1 2 1 2 1 922 2 x xa tx x t += = + + ≥ 22 5 2 0t t− + ≥ 2t ≥ ( ) ( )22 2 2 2 12 1 2 11' 0tt t t t t th t − −− + −= − − = = < ( )h t [ )2,+∞ ( ) ( )max 32 2ln 2 2h t h= = − ( ) ( )2 1f x f x− 32ln 2 2 − 区间时要注意分类讨论．在研究极值点有关的最值问题时，常常设极值点为 ，由 极值点的定义得出函数中参数与 的关系，即用 表示参数，并代入待求（证） 式，同时设 （本题），可把待求（证）式转化为 的函数式，从而再利用导数的 知识确定这个函数得出结论．这类题难度较大，对学生的思维能力、推理论证能力、转 化与化归能力要求较高． 22．在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ ， 为参数）， 以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 经过点 ，曲 线 的直角坐标方程为 . （1）求曲线 的普通方程，曲线 的极坐标方程； （2）若 ， 是曲线 上两点，当 时，求 的取值范围. 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】（1）由 消元后得普通方程，由 代入直角坐标 方程可得极坐标方程； （2）直接把 两点的极坐标代入曲线 的极坐标方程，得 ，这样 就可转化为三角函数式，利用三角函数知识可得取值范围． 【详解】 （1）将 的参数方程化为普通方程为 . 由 ， ， 得点 的直角坐标为 ，代入 ，得 ， 1 2,x x 1 2,x x 1 2,x x 2 1 xt x = t 1C 1 cos sin x r y r ϕ ϕ = +  = 0r > ϕ O x 1C 2, 3P π     2C 2 2 1x y− = 1C 2C ( )1,A ρ α 2 , 6B πρ α −   2C 0, 4 πα  ∈   2 2 1 1 OA OB + ( )2 21 3x y− + = 2 cos2 1ρ θ = 3 , 32      2 2cos sin 1ϕ ϕ+ = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = ,A B 2C 2 2 1 2,ρ ρ 2 2 1 1 OA OB + 1C ( )2 2 21x y r− + = cosx ρ θ= siny ρ θ= 2, 3P π     ( )1, 3 1C 2 3r = ∴曲线 的普通方程为 . 可化为 ，即 ， ∴曲线 的极坐标方程为 . （2）将点 ， 代入曲线 的极坐标方程， 得 ， ， ∴ . 由已知 ，可得 ， 于是 . 所以 的取值范围是 . 【点睛】 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化．消元法 和公式法是解决此类问题的常用方法． 23．已知关于 的不等式 ，其中 . （1）当 时，求不等式的解集； （2）若该不等式对 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）用分类讨论的方法去绝对值符号后再解不等式，最后要合并（求并集）； （2）设 ，同样用分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数，求 得 的最大值，解相应不等式可得 的范围． 【详解】 （1）由 时， .原不等式化为 ， 1C ( )2 21 3x y− + = 2C 2 2 2 2cos sin 1ρ θ ρ θ− = ( )2 2 2cos sin 1ρ θ θ− = 2C 2 cos2 1ρ θ = ( )1,A ρ α 2 , 6B πρ α −   2C 2 1 cos2 1ρ α = 2 2 cos 2 13 πρ α − =   2 2 2 2 2 1 1 1 cos2 cos1 1 2 3OA OB πα αρ ρ  = + + −+ =    3 3cos2 sin 2 3sin 22 2 3 πα α α = + = +   0, 4 πα  ∈   52 ,3 3 6 π π πα  + ∈   33sin 2 , 33 2 πα   + ∈       2 2 1 1 OA OB + 3 , 32      x 1 2 1 2 1 logx x a+ − − ≤ 0a > 4a = x∈R a 2| 43x x x ≤ − ≥  或 20 4a< ≤ ( ) 1 2 1f x x x= + − − ( )f x a 4a = 1 2 log 2a = − 1 2 1 2x x+ − − ≤ − 当 时， ，解得 ，综合得 ； 当 时， ，解得 ，综合得 ； 当 时， ，解得 ，综合得 . ∴不等式的解集为 . （2）设函数 ， 画图可知，函数 的最大值为 . 由 ，解得 . 【点睛】 本题考查解含绝对值的不等式，解题方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，用分类讨 论的方法分段解不等式． 1 2x ≥ ( )1 2 1 2x x+ − − ≤ − 4x ≥ 4x ≥ 11 2x− < < 1 2 1 2x x+ + − ≤ − 2 3x ≤ − 21 3x− < ≤ − 1x ≤ − ( )1 2 1 2x x− + + − ≤ − 0x ≤ 1x ≤ − 2| 43x x x ≤ − ≥  或 ( ) 2, 1 11 2 1 3 , 1 2 12, 2 x x f x x x x x x x   − < − = + − − = − ≤ <  − + ≥ ( )f x 3 2 1 2 3 log2 a≤ 20 4a< ≤