安徽省定远重点中学2019届高三下学期第一次模拟考试 数学（理） 12页

定远重点中学2019届高三下学期第一次模拟卷 理科数学 全卷满分150分，考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 ‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知，是虚数单位，若，，则为（ ）‎ A. 或 B. C. D. 不存在的实数 ‎3.“”是“”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4.记数列的前项和为.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎6.已知双曲线,四点，中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）‎ A. 4 B. ‎ C. D. 2‎ ‎9.设实数满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知向量， 满足， ， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.定义：如果函数的导函数为，在区间上存在，使得，，则称为区间上的"双中值函数"．已知函数是上的"双中值函数"，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题 90分）‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.已知 则__________．‎ ‎14.若随机变量，则，.已知随机变量，则__________．‎ ‎15.在中， 是边上一点， 的面积为， 为锐角，则__________．‎ ‎16.已知椭圆的离心率为，过椭圆上一点作直线交椭圆于两点，且斜率分别为，若点关于原点对称，则的值为______.‎ 三、解答题(共6小题 ,共70分) ‎ ‎17. （本小题满分12分）在锐角中, ‎ ‎（I）求角；‎ ‎(Ⅱ)若,求的取值范围.‎ ‎18. （本小题满分12分）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋（c＞0，n∈N*），‎ ‎（Ⅰ）证明：an＋1＞an≥1；‎ ‎（Ⅱ）若对任意n∈N*，都有,证明：（ⅰ）对于任意m∈N*，当n≥m时， （ⅱ）‎ ‎19. （本小题满分12分）如图，在多面体中，底面是梯形，,，平面平面，四边形是菱形，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的平面角的正切值.‎ ‎20. （本小题满分12分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在1565岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：‎ 年龄 支持“延迟退休”的人数 ‎15‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎28‎ ‎17‎ ‎（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 总计 支持 不支持 总计 ‎（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人 ‎①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率.‎ ‎②记抽到45岁以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.‎ ‎21. （本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）令，讨论的单调区间；‎ ‎（2）若，正实数满足，证明．‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求的取值范围.‎ 参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B A C A A C ‎ C B B D A D ‎13.24‎ ‎14.0.8185‎ ‎15..‎ ‎16.‎ ‎17.(Ⅰ) （Ⅱ）‎ 分析：（Ⅰ）由题根据余弦定理化简所给条件可得，所以，根据角的范围可得角A；（Ⅱ）由题根据所给条件可得，根据正弦定理可得，所以 ，然后根据可得bc的范围．‎ 解析：（1）由 且4分 ‎（2）又 ‎ 8分 ‎12分 ‎18.‎ 分析：（Ⅰ）由题意，可采用数学归纳法，以及放缩法对不等式进行证明，从而问题可得解；（Ⅱ）在第（i）中，根据（Ⅰ ‎）的结论，采用放缩法对数列的通项进行放大，再用累加法进行求解即可；在第（ii）中，对参数进行分段讨论，结合（i）中的结论，从而问题可得解.‎ 解析：（Ⅰ）因为c＞0，所以 an＋1＝an＋＞an（n∈N*），‎ 下面用数学归纳法证明an≥1．‎ ‎①当n＝1时，a1＝1≥1；‎ ‎②假设当n＝k时，ak≥1，‎ 则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋＞ak≥1．‎ 所以，当n∈N*时，an≥1．‎ 所以 an＋1＞an≥1． ‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）当n≥m时，an≥am，‎ 所以 an＋1＝an＋≤an＋，‎ 所以 an＋1－an≤，累加得 an－am≤(n－m)，‎ 所以 ． ‎ ‎（ⅱ）若，当时，‎ ‎，所以．‎ 所以当时，．‎ 所以当时，，矛盾．‎ 所以 ．‎ 因为 ，‎ 所以． ‎ ‎19.‎ 分析：(1依题意，在等腰梯形中，，，利用勾股定理可证，又平面平面，故，即得，由四边形ACEF是菱形，，可证即可证明；‎ ‎(2取的中点，可证，以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，求得平面BEF和平面DEF的一个法向量，由向量夹角公式得到二面角的平面角的余弦值，进而得到二面角的平面角的正切值.‎ 详解：(1题意，在等腰梯形中，‎ ‎∵，，， ‎ 连接，∵四边形ACEF是菱形，，‎ ‎ (2 取的中点，连接，因为四边形是菱形，且.‎ 所以由平面几何易知，∵，∴. ‎ 故此可以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：‎ 设平面BEF和平面DEF的法向量分别为 ‎∵‎ 同理，‎ 故二面角的平面角的正切值为 ‎20.分析：（1）根据频率分布直方图得到45岁以下与45岁以上的人数，由此可得列联表，求得后在结合临界值表可得结论．（2）①结合条件概率的计算方法求解；②由题意可得的可能取值为0,1,2，分别求出对应的概率后可得分布列和期望．‎ 详解：‎ ‎（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，‎ 故可得列联表如下：‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 总计 支持 ‎35‎ ‎45‎ ‎80‎ 不支持 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 由列联表可得，‎ 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．‎ ‎（2）①设“抽到1人是45岁以下”为事件A，“抽到的另一人是45岁以上”为事件B，‎ 则,‎ ‎∴,‎ 即抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率为．‎ ‎②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．‎ 由题意得的可能取值为0,1,2.‎ ‎，，.‎ 故随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 所以.‎ ‎21.（1）当时，函数单调递增区间为，无递减区间，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.‎ 分析：（1）化简，，对分成和两类讨论的单调区间；（2）当时，，转化为，令，利用导数求得，又，故，由可知.‎ 解析：（1），‎ 所以，‎ 当时，因为，所以，即在单调递增，‎ 当时，，令，得，‎ 所以当时，，单调递增，‎ 当时，单调递减，‎ 综上，当时，函数单调递增区间为，无递减区间；‎ 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎（2）当时，，‎ 由可得，‎ 即，‎ 令，则，‎ 则在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以，所以，‎ 又，故，‎ 由可知．‎ ‎22.（1）（2）‎ 分析：（1）求出的分段函数的形式，解不等式可分与，三类讨论即可解得不等式的解集；‎ ‎（2）原式等价于存在，使成立，即 ，‎ 设，求出的最大值即可得到的取值范围.‎ 详解：（1）当时，，无解 当时， ∴‎ 当时， ‎ 综上所述的解集为 . ‎ ‎（2）原式等价于存在，使 成立，即 ‎ 设 由（1）知 ‎ 当时，，其开口向下，对称轴为x=>-1,所以g(x)≤g(-1)=-8,‎ 当-1