全国高中数学联赛模拟试题（五） 5页

全国高中数学联赛模拟试题（五）‎ 一、选择题 ‎1、 S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A的个数是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎2、 设椭圆的离心率，已知点到椭圆上的点的最远距离是，则短半轴之长b=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3、 设a＞b＞c，a+b+c=1，且a2+b2+c2=1，则 ‎（A）a+b＞1 （B）a+b=1 （C）a+b＜1‎ ‎（D）不能确定，与a、b的具体取值有关 ‎4、 若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c∈(a,b)时，f(c)的近似值可表示为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎5、 空间中n（n≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论 ‎（1） 没有任何两个平面互相平行；‎ ‎（2） 没有任何三个平面相交于一条直线；‎ ‎（3） 平面间的任意两条交线都不平行；‎ ‎（4） 平面间的每一条交线均与n-2个平面相交．‎ 其中，正确的个数为 ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎6、 长方体ABCD-A1B1C1D1，AC1为体对角线．现以A为球心，AB、AD、AA1、AC1为半径作四个同心球，其体积依次为V1、V2、V3、V4，则有 ‎（A）V4＜V1+V2+V3 （B）V4=V1+V2+V3‎ ‎（C）V4＞V1+V2+V3 （D）不能确定，与长方体的棱长有关 二、填空题 ‎7、动点A对应的复数为z=4(cosq+isinq)，定点B对应的复数为2，点C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线交OA与D，则D所在的轨迹方程为 ．‎ ‎8、已知，则k的取值范围为 ．‎ ‎9、在四面体P-ABC中，PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，则的取值范围为 ．‎ ‎10、被8所除得的余数为 ．‎ ‎11、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为 ．‎ ‎12、等差数列{an}的首项a1=8，且存在惟一的k使得点(k,ak)在圆x2+y2=102上，则这样的等差数列共有 个．‎ 三、解答题 ‎13、 已知抛物线y2=2px(p＞0)的一条长为l的弦AB．求AB中点M到y轴的最短距离，并求出此时点M的坐标．‎ ‎14、 ‎ 我们称A1,A2,…,An为集合A的一个n分划，如果 ‎（1）；‎ ‎（2），1≤i＜j≤n．‎ 求最小正整数m，使得对A＝{1,2,…,m}的任意一个13分划A1,A2,…,A13，一定存在某个集合Ai(1≤i≤13)，在Ai中有两个元素a、b满足b＜a≤b．‎ ‎15、‎ 给定由正整数组成的数列 ‎（n≥1）．‎ ‎（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点 ‎(a1,a2)，(a3,a4)，…，(a2k-1,a2k)，…‎ 均在曲线x2+xy-y2+1=0上．‎ ‎（2）若设f(x)=xn+xn-1-anx-an-1，g(x)=x2-x-1，证明：g(x)整除f(x)．‎ ‎16、‎ 设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△PAB的内切圆与边AB的切点．乘积PA·PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化，当PA·PB取最小值时，‎ ‎（1）证明：AB≥2BC；‎ ‎（2）求AQ·BQ的值．‎ ‎17、‎ 对正实数a、b、c．求证：‎ ‎≥9．‎ ‎18、 ‎ 单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为点M，正方形A1B1C1D1的中心为点N，连AN、B1M．‎ ‎（1）求证：AN、B1M为异面直线；‎ ‎（2）求出AN与B1M的夹角．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 B ‎2、 C ‎3、 A ‎4、 C ‎5、 D ‎6、 C 二、填空题 ‎7、；‎ ‎8、 ‎ ‎9、； ‎ ‎10、4； ‎ ‎11、117600．‎ ‎12、 17‎ 三、解答题 ‎13、．‎ ‎14、m=117．‎ ‎15、证略（提示：用数学归纳法）．‎ ‎16、（1）证略（提示：用面积法，得PA·PB最小值为2，此时∠APB＝90°）；‎ ‎（2）AQ·BQ=1．‎ ‎17、证略．‎ ‎18、（1）证略； （2）．‎