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2 012 高考试题分类汇编:4:三角函数
一、选择题
1.【2012 高考安徽文 7】要得到函数 )12cos( xy 的图象,只要将函数 xy 2cos 的图象
(A) 向左平移 1 个单位 (B) 向右平移 1 个单位
(C) 向左平移
1
2
个单位 (D) 向右平移
1
2
个单位
【答案】C
【解析】 cos 2 cos(2 1)y x y x 左+1,平移
1
2
。
2.【2012 高考新课标文 9】已知ω>0, 0 ,直线
4
x 和
4
5
x 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)
图像的两条相邻的对称轴,则φ=
(A)π
4
(B)π
3
(C)π
2
(D)3π
4
【答案】A
【解析】因为
4
x 和
4
5
x 是函数图象中相邻的对称轴,所以
244
5 T
,即
2,
2
TT
.又
22
T ,所以 1 ,所以 )sin()( xxf ,因为
4
x 是函数
的对称轴所以 k
24
,所以 k
4
,因为 0 ,所以
4
,检验知
此时
4
5
x 也为对称轴,所以选 A.
3.【2012 高考山东文 8】函数 2sin (0 9)
6 3
xy x
的最大值与最小值之和为
(A) 2 3 (B)0 (C)-1 (D) 1 3
【答案】A
【 解 析 】 因 为 90 x , 所 以
6
9
6
0
x ,
36
9
363
x , 即
6
7
363
x ,所以当
336
x 时,最小值为 3)
3
sin(2
,当
236
x 时,最大值为 2
2
sin2
,所以最大值与最小值之和为 32 ,选 A.
4.【2012 高考全国文 3】若函数 ( ) sin ( [0,2 ])
3
xf x
是偶函数,则
(A)
2
(B)
3
2
(C)
2
3
(D)
3
5
【答案】C
【解析】函数 )
33
sin(
3
sin)(
xxxf ,因为函数 )
33
sin()(
xxf 为偶函数,所以
k
23
,所以 Zkk ,3
2
3 ,又 ]2,0[ ,所以当 0k 时,
2
3 ,选 C.
5.【2012 高考全国文 4】已知 为第二象限角,
3sin
5
,则 sin 2
(A)
25
24
(B)
25
12
(C)
25
12
(D)
25
24
【答案】B
【解析】因为 为第二象限,所以 0cos ,即
5
4sin1cos 2 ,所以
25
12
5
3
5
4cossin22sin ,选 B.
6.【2012 高考重庆文 5】
sin 47 sin17 cos30
cos17
(A)
3
2
(B)
1
2
(C)
1
2
(D)
3
2
【答案】C
【解析】
sin 47 sin17 cos30 sin(30 17 ) sin17 cos30
cos17 cos17
sin 30 cos17 cos30 sin17 sin17 cos30 sin 30 cos17 1sin 30
cos17 cos17 2
,选 C.
7.【2012 高考浙江文 6】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐
标不变),然后向左平移 1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是
【答案】A
【解析】由题意,y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),即
解析式为 y=cosx+1,向左平移一个单位为 y=cos(x-1)+1,向下平移一个单位为 y=cos(x-1),
利用特殊点 ,0
2
变为 1,0
2
,选 A.
8.【2012 高考上海文 17】在△ ABC中,若
2 2 2sin sin sinA B C ,则△ ABC的形状是( )
A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定
【答案】A
【解析】根据正弦定理可知由 CBA 222 sinsinsin ,可知
222 cba ,在三角形中
0
2
cos
222
ab
cbaC ,所以C为钝角,三角形为钝角三角形,选 A.
9.【2012 高考四川文 5】如图,正方形 ABCD的边长为1,延长 BA至 E,使 1AE ,连接 EC、
ED则 sin CED ( )
(1)
3 10
10
B、
10
10
C、
5
10
D、
5
15
【答案】B
【解析】 2EB EA AB ,
2 2 4 1 5EC EB BC ,
3
4 2 4
EDC EDA ADC
,
由正弦定理得
sin 1 5
sin 55
CED DC
EDC CE
,
所以
5 5 3 10sin sin sin
5 5 4 10
CED EDC
g g .
10.【2012 高考辽宁文 6】已知 sin cos 2 , (0,π),则 sin 2 =
(A) 1 (B)
2
2
(C)
2
2
(D) 1
【答案】A
【解析】
2sin cos 2, (sin cos ) 2, sin 2 1, 故选 A
【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题。
11.【2012 高考江西文 4】若
sin cos 1
sin cos 2
,则 tan2α=
A. -
3
4
B.
3
4
C. -
4
3
D.
4
3
【答案】B
【解析】由
2
1
cossin
cossin
,得 cossin)cos(sin2 ,即 3tan 。又
4
3
8
6
91
6
tan1
tan22tan 2
,选 B.
12.【2012 高考江西文 9】已知
2( ) sin ( )
4
f x x
若 a=f(lg5),
1(lg )
5
b f 则
A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1
【答案】C
【 解 析 】 先 化 简 函 数
2
2sin
2
1
2
)
4
(2cos1
)
4
(sin)( 2 xx
xxf
, 所 以
2
5lg2sin
2
1)5(lg )(
fa ,
2
5lg2sin
2
1
2
5
1lg2sin
2
1)
5
1(lg )(
)(
fb , 所 以
1
2
5lg2sin
2
1
2
5lg2sin
2
1
)()(ba ,选 C。
13.【2012 高考湖南文 8】 在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等于
A.
3
2
B.
3 3
2
C.
3 6
2
D.
3 39
4
【答案】B
【解析】设 AB c ,在△ABC 中,由余弦定理知
2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC B ,
即
27 4 2 2 cos 60c c
,
2 2 3 0, ( -3)( 1)c c c c 即 =0.又 0, 3.c c
设 BC 边上的高等于 h,由三角形面积公式
1 1sin
2 2ABCS AB BC B BC h ,知
1 13 2 sin 60 2
2 2
h
,解得
3 3
2
h .
【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.
14.【2012 高考湖北文 8】设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若三边的长为
连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acosA,则 sinA∶sinB∶sinC 为
A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4
【答案】D
【解析】因为 , ,a b c 为连续的三个正整数,且 A B C ,可得 a b c ,所以
2, 1 a c b c ①;又因为已知 3 20 cosb a A,所以
3cos
20
bA
a
②.由余弦定理可得
2 2 2
cos
2
b c aA
bc
③ , 则 由 ② ③ 可 得
2 2 23
20 2
b b c a
a bc
④ , 联 立 ① ④ , 得
27 13 60 0 c c ,解得 4c 或
15
7
c (舍去),则 6a , 5b .故由正弦定理可得,
sin : sin : sin : : 6 :5 : 4 A B C a b c .故应选 D.
【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正
弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年需注意正余
弦定理与和差角公式的结合应用.
15.【2012 高考广东文 6】在△ ABC中,若 60A , 45B , 3 2BC ,则 AC
A. 4 3 B. 2 3 C. 3 D.
3
2
【答案】B
【解析】根据正弦定理,
sin sin
BC AC
A B
,则
23 2sin 2 2 3
sin 3
2
BC BAC
A
.
16.【2102 高考福建文 8】函数 f(x)=sin(x-
4
)的图像的一条对称轴是
A.x=
4
B.x=
2
C.x=-
4
D.x=-
2
【答案】C.
【解析】因为 xy sin 的对称轴为 Zkkx ,
2
,所以 )
4
sin()(
xxf 的对称轴为
Zkkx ,
24
,即 Zkkx ,
4
3 ,当 1k 时,一条对称轴是
4
x .故选
C.
17.【2012 高考天津文科 7】将函数 f(x)=sin x (其中 >0)的图像向右平移
4
个单位长度,
所得图像经过点(
3
4
,0),则的最小值是
(A)
1
3
(B)1 C)
5
3
(D)2
【答案】D
【解析】函数向右平移
4
得到函数 )
4
sin()
4
(sin)
4
()(
xxxfxg ,因为
此 时 函 数 过 点 )0,
4
3(
, 所 以 0)
44
3(sin
, 即 ,
2
)
44
3( k 所 以
Zkk ,2 ,所以的最小值为 2,选 D.
二、填空题
18.【2012 高考江苏 11】(5 分)设 为锐角,若
4cos
6 5
,则 )
12
2sin(
a 的值为 ▲ .
【答案】
17 2
50
。
【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。
【解析】∵ 为锐角,即 0
2
< < ,∴
2=
6 6 2 6 3
< < 。
∵
4cos
6 5
,∴
3sin
6 5
。∴
3 4 24sin 2 2sin cos =2 =
3 6 6 5 5 25
。
∴
7cos 2
3 25
。
∴ sin(2 )=sin(2 )=sin 2 cos cos 2 sin
12 3 4 3 4 3 4
a a a a
24 2 7 2 17= = 2
25 2 25 2 50
。
19.【2102 高考北京文 11】在△ABC 中,若 a=3,b= 3 ,∠A=
3
,则∠C 的大小为_________。
【答案】 90
【解析】在△ABC 中,利用正弦定理
B
b
A
a
sinsin
,可得
2
1sin
sin
3
3
sin
3
B
B
,所以
30B 。再利用三角形内角和 180 ,可得 90C .
20.【2102 高考福建文 13】在△ABC 中,已知∠BAC=60°,∠ABC=45°, 3BC ,
则 AC=_______.
【答案】 2 .
【解析】由正弦定理得
A
BC
B
AC
sinsin
,所以 2
2
3
2
23
sin
sin
A
BBCAC .
21.【 2012 高考全国文 15】当函数 sin 3 cos (0 2 )y x x x 取得最大值时,
x ___________.
【答案】
6
5
【 解 析 】 函 数 为 )
3
sin(2cos3sin
xxxy , 当 20 x 时 ,
3
5
33
x ,由三角函数图象可知,当
23
x ,即
6
5
x 时取得最大值,所以
6
5
x .
22.【2012 高考重庆文 13】设△ ABC 的内角 A B C、 、 的对边分别为 a b c、 、 ,且
1cos
4
a b C =1, =2, ,则 sin B
【答案】
4
15
【解析】由余弦定理得 4
4
12241cos2222 Cabbac ,所以 2c 。所以
CBcb , ,即
4
15)
4
1(1sinsin 2 CB .
23.【2012 高考上海文 3】函数
sin 2
( )
1 cos
x
f x
x
的最小正周期是
【答案】
【解析】函数 xxxxf 2sin
2
12)2(cossin)( ,周期
2
2T ,即函数 )(xf 的
周期为 。
24.【2012 高考陕西文 13】在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 a=2 ,
B=
6
,c=2 3 ,则 b= .
【答案】2.
【解析】由余弦定理知 4
2
33222124cos2222 Baccab , 2b .
25.【2012 高考江西文 15】下图是某算法的程序框图,则程序运行后输入的结果是_________。
【答案】3
【解析】第一次循环有 2,1,1 kTa ,第二次循环有 3,1,0 kTa ,第三次循环有
4,1,0 kTa ,第四次循环有 5,2,1 kTa ,第五次循环有 6,3,1 kTa ,此
时不满足条件,输出 3T ,
三、解答题
26.【2012 高考浙江文 18】(本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,
b,c,且 bsinA= 3 acosB。
(1)求角 B 的大小;
(2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值.
【答案】
【解析】(1) bsinA= 3 acosB,由正弦定理可得 sin sin 3 sin cosB A A B ,即得
tan 3B ,
3
B
.
( 2) sinC=2sinA,由正弦定理得 2c a ,由余弦定理
2 2 2 2 cosb a c ac B ,
2 29 4 2 2 cos
3
a a a a
,解得 3a , 2 2 3c a .
27.【2012 高考安徽文 16】(本小题满分 12 分)
设△ ABC的内角 CBA ,, 所对边的长分别为 ,,, cba ,且有
CACAAB sincoscossincossin2 。
(Ⅰ)求角 A 的大小;
(Ⅱ) 若 2b , 1c ,D为 BC的中点,求 AD的长。
【答案】
【解析】
28.【2012 高考山东文 17】(本小题满分 12 分)
在△ABC 中,内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c,已知 sin (tan tan ) tan tanB A C A C .
(Ⅰ)求证: , ,a b c成等比数列;
(Ⅱ)若 1, 2a c ,求△ ABC的面积 S.
【答案】 (I)由已知得:
sin (sin cos cos sin ) sin sinB A C A C A C ,
sin sin( ) sin sinB A C A C ,
2sin sin sinB A C ,
再由正弦定理可得: 2b ac ,
所以 , ,a b c成等比数列.
(II)若 1, 2a c ,则 2 2b ac ,
∴
2 2 2 3cos
2 4
a c bB
ac
,
2 7sin 1 cos
4
C C ,
∴△ ABC的面积
1 1 7 7sin 1 2
2 2 4 4
S ac B .
29.【2012 高考湖南文 18】(本小题满分 12 分)
已知函数 ( ) sin( )( , 0,0
2
f x A x x R 的部分图像如图 5 所示.
(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数 ( ) ( ) ( )
12 12
g x f x f x
的单调递增区间.
【答案】
【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期
11 5 22( ) , 2
12 12
T
T
.
因为点
5( ,0)
12
在函数图像上,所以
5 5sin(2 ) 0, sin( ) 0
12 6
A 即 .
又
5 5 4 50 , , =
2 6 6 3 6
从而 ,即 =
6
.
又 点 0,1( )在 函 数 图 像 上 , 所 以 sin 1, 2
6
A A
, 故 函 数 f ( x ) 的 解 析 式 为
( ) 2sin(2 ).
6
f x x
(Ⅱ)
( ) 2sin 2 2sin 2
12 6 12 6
g x x x
2sin 2 2sin(2 )
3
x x
1 32sin 2 2( sin 2 cos 2 )
2 2
x x x
sin 2 3 cos 2x x
2sin(2 ),
3
x
由 2 2 2 ,
2 3 2
k x k 得
5 , .
12 12
k x k k z
( )g x 的单调递增区间是
5, , .
12 12
k k k z
【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 三 角 函 数 的 图 像 和 性 质 . 第 一 问 结 合 图 形 求 得 周 期
11 52( ) ,
12 12
T 从而求得
2 2
T
.再利用特殊点在图像上求出 , A ,从而求出 f(x)
的解析式;第二问运用第一问结论和三角恒等变换及 sin( )y A x 的单调性求得.
.30【2012 高考四川文 18】(本小题满分 12 分)
已知函数
2 1( ) cos sin cos
2 2 2 2
x x xf x 。
(Ⅰ)求函数 ( )f x 的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若
3 2( )
10
f ,求 sin 2 的值。
命题立意:本题主要考查三角函数的性质、两角和的正余弦公式、二倍角公式等基础知识,
考查基本运算能力以及化归与转化的数学思想.
【解析】
31.【2012 高考广东文 16】(本小题满分 12 分)
已知函数 ( ) cos
4 6
xf x A
, xR ,且 2
3
f
(1)求 A的值;
(2)设 0,
2
,
4 304
3 17
f
,
2 84
3 5
f
,求 cos( ) 的值.
【答案】(1)
2cos cos 2
3 12 6 4 2
f A A A
,解得 2A 。
(2)
4 304 2cos 2cos 2sin
3 3 6 2 17
f
,即
15sin
17
,
2 84 2cos 2cos
3 6 6 5
f
,即
4cos
5
。
因为 0,
2
,所以
2 8cos 1 sin
17
,
2 3sin 1 cos
5
,
所以
8 4 15 3 13cos( ) cos cos sin sin
17 5 17 5 85
。
32.【2012 高考辽宁文 17】(本小题满分 12 分)
在 ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C成等差数列。
(Ⅰ)求 cosB的值;
(Ⅱ)边 a,b,c成等比数列,求 sin sinA C的值。
【答案】
【解析】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列
的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把
边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果。
33.【2012 高考重庆文 19】(本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分)设函数
( ) sin( )f x A x (其中 0, 0,A )在
6
x
处取得最大值 2,其图象
与 轴 的 相 邻 两 个 交 点 的 距 离 为
2
( I ) 求 ( )f x 的 解 析 式 ; ( II ) 求 函 数
4 26cos sin 1( )
( )
6
x xg x
f x
的值域。
【答案】(Ⅰ)
6
(Ⅱ)
7 7 5[1, ) ( , ]
4 4 2
【解析】
2 23 1cos 1 (cos )
2 2
x x 因
2cos [0,1]x ,且
2 1cos
2
x
故 ( )g x 的值域为
7 7 5[1, ) ( , ]
4 4 2
34.【2012 高考新课标文 17】(本小题满分 12 分)
已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = 3asinC-ccosA
(1) 求 A
(2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c
【答案】
35.【2102 高考北京文 15】(本小题共 13 分)
已知函数
x
xxxxf
sin
2sin)cos(sin)(
。
(1)求 )(xf 的定义域及最小正周期;
(2)求 )(xf 的单调递减区间。
【答案】
(sin cos )sin 2 (sin cos )2sin cos( ) 2(sin cos )cos
sin sin
x x x x x x xf x x x x
x x
πsin 2 1 cos 2 2 sin 2 1 | π
4
x x x x x k k
Z, ,
。
(1)原函数的定义域为 | πx x k k Z, ,最小正周期为 π .
(2)原函数的单调递增区间为
π π π
8
k k
, kZ ,
3ππ π
8
k k
, kZ 。
36.【2012 高考陕西文 17】(本小题满分 12 分)
函数 ( ) sin( ) 1
6
f x A x ( 0, 0A )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之间
的距离为
2
,
(1)求函数 ( )f x 的解析式;
(2)设 (0, )
2
,则 ( ) 2
2
f
,求 的值。
【答案】
37.【2012 高考江苏 15】(14 分)在 ABC 中,已知 3AB AC BA BC
.
(1)求证: tan 3tanB A ;
(2)若
5cos
5
C ,求 A的值.
【 答 案 】 解 :( 1 ) ∵ 3AB AC BA BC
, ∴ cos =3 cosAB AC A BA BC B , 即
cos =3 cosAC A BC B 。
由正弦定理,得 =
sin sin
AC BC
B A
,∴ sin cos =3sin cosB A A B 。
又∵ 0< A B< ,∴ cos 0 cos 0A> B>, 。∴
sin sin=3
cos cos
B A
B A
即 tan 3tanB A 。
(2)∵
5cos 0
5
C ,∴ tan =1A 。∴ =
4
A
。
【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。
【解析】(1)先将 3AB AC BA BC
表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式
证明。
(2)由
5cos
5
C ,可求 tanC,由三角形三角关系,得到 tan A B ,从而
根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值。
38.【2012 高考天津文科 16】(本小题满分 13 分)
在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的分别是 a,b,c。已知 a=2.c= 2 ,cosA=
2
-
4
.
(I)求 sinC 和 b 的值;
(II)求 cos(2A+
3
д
)的值。
【答案】
39.【2012 高考湖北文 18】(本小题满分 12 分)
设函数 f(x)= 的图像关于直线 x=π对称,
其中 为常数,且
1.求函数 f(x)的最小正周期;
2.若 y=f(x)的图像经过点 ,求函数 f(x)的值域。
【答案】
【解析】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能
力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地
位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式
2T
来求解;求三角函数的
值域,一般先根据自变量 x的范围确定函数 x 的范围.来年需注意三角函数的单调性,图
象变换,解三角形等考查.
40.【2012 高考全国文 17】(本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效.........)
ABC 中,内角 A、 B、C成等差数列,其对边 a、b、 c满足
22 3b ac ,求 A。
【答案】
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