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  • 2021-06-21 发布

2012年高考真题汇编-文科数学(解析版)4:三角函数

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2 012 高考试题分类汇编:4:三角函数 一、选择题 1.【2012 高考安徽文 7】要得到函数 )12cos(  xy 的图象,只要将函数 xy 2cos 的图象 (A) 向左平移 1 个单位 (B) 向右平移 1 个单位 (C) 向左平移 1 2 个单位 (D) 向右平移 1 2 个单位 【答案】C 【解析】 cos 2 cos(2 1)y x y x    左+1,平移 1 2 。 2.【2012 高考新课标文 9】已知ω>0,  0 ,直线 4  x 和 4 5 x 是函数 f(x)=sin(ωx+φ) 图像的两条相邻的对称轴,则φ= (A)π 4 (B)π 3 (C)π 2 (D)3π 4 【答案】A 【解析】因为 4  x 和 4 5 x 是函数图象中相邻的对称轴,所以 244 5 T   ,即  2, 2  TT .又    22 T ,所以 1 ,所以 )sin()(  xxf ,因为 4  x 是函数 的对称轴所以  k 24 ,所以  k 4 ,因为  0 ,所以 4   ,检验知 此时 4 5 x 也为对称轴,所以选 A. 3.【2012 高考山东文 8】函数 2sin (0 9) 6 3 xy x         的最大值与最小值之和为 (A) 2 3 (B)0 (C)-1 (D) 1 3  【答案】A 【 解 析 】 因 为 90  x , 所 以 6 9 6 0   x , 36 9 363   x , 即 6 7 363   x ,所以当 336  x 时,最小值为 3) 3 sin(2   ,当 236  x 时,最大值为 2 2 sin2   ,所以最大值与最小值之和为 32  ,选 A. 4.【2012 高考全国文 3】若函数 ( ) sin ( [0,2 ]) 3 xf x      是偶函数,则  (A) 2  (B) 3 2 (C) 2 3 (D) 3 5 【答案】C 【解析】函数 ) 33 sin( 3 sin)(     xxxf ,因为函数 ) 33 sin()(   xxf 为偶函数,所以  k 23 ,所以 Zkk  ,3 2 3  ,又 ]2,0[   ,所以当 0k 时, 2 3  ,选 C. 5.【2012 高考全国文 4】已知 为第二象限角, 3sin 5   ,则 sin 2  (A) 25 24  (B) 25 12  (C) 25 12 (D) 25 24 【答案】B 【解析】因为 为第二象限,所以 0cos  ,即 5 4sin1cos 2   ,所以 25 12 5 3 5 4cossin22sin   ,选 B. 6.【2012 高考重庆文 5】 sin 47 sin17 cos30 cos17     (A) 3 2  (B) 1 2  (C) 1 2 (D) 3 2 【答案】C 【解析】 sin 47 sin17 cos30 sin(30 17 ) sin17 cos30 cos17 cos17              sin 30 cos17 cos30 sin17 sin17 cos30 sin 30 cos17 1sin 30 cos17 cos17 2                  ,选 C. 7.【2012 高考浙江文 6】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐 标不变),然后向左平移 1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是 【答案】A 【解析】由题意,y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),即 解析式为 y=cosx+1,向左平移一个单位为 y=cos(x-1)+1,向下平移一个单位为 y=cos(x-1), 利用特殊点 ,0 2       变为 1,0 2      ,选 A. 8.【2012 高考上海文 17】在△ ABC中,若 2 2 2sin sin sinA B C  ,则△ ABC的形状是( ) A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定 【答案】A 【解析】根据正弦定理可知由 CBA 222 sinsinsin  ,可知 222 cba  ,在三角形中 0 2 cos 222    ab cbaC ,所以C为钝角,三角形为钝角三角形,选 A. 9.【2012 高考四川文 5】如图,正方形 ABCD的边长为1,延长 BA至 E,使 1AE  ,连接 EC、 ED则 sin CED ( ) (1) 3 10 10 B、 10 10 C、 5 10 D、 5 15 【答案】B 【解析】 2EB EA AB   , 2 2 4 1 5EC EB BC     , 3 4 2 4 EDC EDA ADC           , 由正弦定理得 sin 1 5 sin 55 CED DC EDC CE      , 所以 5 5 3 10sin sin sin 5 5 4 10 CED EDC      g g . 10.【2012 高考辽宁文 6】已知 sin cos 2   , (0,π),则 sin 2 = (A)  1 (B) 2 2  (C) 2 2 (D) 1 【答案】A 【解析】 2sin cos 2, (sin cos ) 2, sin 2 1,            故选 A 【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题。 11.【2012 高考江西文 4】若 sin cos 1 sin cos 2        ,则 tan2α= A. - 3 4 B. 3 4 C. - 4 3 D. 4 3 【答案】B 【解析】由 2 1 cossin cossin      ,得  cossin)cos(sin2  ,即 3tan  。又 4 3 8 6 91 6 tan1 tan22tan 2         ,选 B. 12.【2012 高考江西文 9】已知 2( ) sin ( ) 4 f x x    若 a=f(lg5), 1(lg ) 5 b f 则 A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1 【答案】C 【 解 析 】 先 化 简 函 数 2 2sin 2 1 2 ) 4 (2cos1 ) 4 (sin)( 2 xx xxf      , 所 以 2 5lg2sin 2 1)5(lg )(  fa , 2 5lg2sin 2 1 2 5 1lg2sin 2 1) 5 1(lg )( )(  fb , 所 以 1 2 5lg2sin 2 1 2 5lg2sin 2 1  )()(ba ,选 C。 13.【2012 高考湖南文 8】 在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等于 A. 3 2 B. 3 3 2 C. 3 6 2  D. 3 39 4  【答案】B 【解析】设 AB c ,在△ABC 中,由余弦定理知 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC B     , 即 27 4 2 2 cos 60c c       , 2 2 3 0, ( -3)( 1)c c c c   即 =0.又 0, 3.c c   设 BC 边上的高等于 h,由三角形面积公式 1 1sin 2 2ABCS AB BC B BC h     ,知 1 13 2 sin 60 2 2 2 h      ,解得 3 3 2 h  . 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容. 14.【2012 高考湖北文 8】设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若三边的长为 连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acosA,则 sinA∶sinB∶sinC 为 A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 【答案】D 【解析】因为 , ,a b c 为连续的三个正整数,且  A B C ,可得 a b c  ,所以 2, 1   a c b c ①;又因为已知 3 20 cosb a A,所以 3cos 20 bA a  ②.由余弦定理可得 2 2 2 cos 2    b c aA bc ③ , 则 由 ② ③ 可 得 2 2 23 20 2 b b c a a bc    ④ , 联 立 ① ④ , 得 27 13 60 0  c c ,解得 4c 或 15 7  c (舍去),则 6a , 5b .故由正弦定理可得, sin : sin : sin : : 6 :5 : 4 A B C a b c .故应选 D. 【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正 弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年需注意正余 弦定理与和差角公式的结合应用. 15.【2012 高考广东文 6】在△ ABC中,若 60A  , 45B  , 3 2BC  ,则 AC  A. 4 3 B. 2 3 C. 3 D. 3 2 【答案】B 【解析】根据正弦定理, sin sin BC AC A B  ,则 23 2sin 2 2 3 sin 3 2 BC BAC A     . 16.【2102 高考福建文 8】函数 f(x)=sin(x- 4  )的图像的一条对称轴是 A.x= 4  B.x= 2  C.x=- 4  D.x=- 2  【答案】C. 【解析】因为 xy sin 的对称轴为 Zkkx  , 2  ,所以 ) 4 sin()(   xxf 的对称轴为 Zkkx  , 24  ,即 Zkkx  , 4 3 ,当 1k 时,一条对称轴是 4  x .故选 C. 17.【2012 高考天津文科 7】将函数 f(x)=sin x (其中 >0)的图像向右平移 4  个单位长度, 所得图像经过点( 3 4  ,0),则的最小值是 (A) 1 3 (B)1 C) 5 3 (D)2 【答案】D 【解析】函数向右平移 4  得到函数 ) 4 sin() 4 (sin) 4 ()(   xxxfxg ,因为 此 时 函 数 过 点 )0, 4 3(  , 所 以 0) 44 3(sin   , 即 , 2 ) 44 3(  k 所 以 Zkk  ,2 ,所以的最小值为 2,选 D. 二、填空题 18.【2012 高考江苏 11】(5 分)设 为锐角,若 4cos 6 5        ,则 ) 12 2sin(  a 的值为 ▲ . 【答案】 17 2 50 。 【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。 【解析】∵ 为锐角,即 0 2 < <  ,∴ 2= 6 6 2 6 3 < <       。 ∵ 4cos 6 5        ,∴ 3sin 6 5        。∴ 3 4 24sin 2 2sin cos =2 = 3 6 6 5 5 25                           。 ∴ 7cos 2 3 25        。 ∴ sin(2 )=sin(2 )=sin 2 cos cos 2 sin 12 3 4 3 4 3 4 a a a a                      24 2 7 2 17= = 2 25 2 25 2 50   。 19.【2102 高考北京文 11】在△ABC 中,若 a=3,b= 3 ,∠A= 3  ,则∠C 的大小为_________。 【答案】 90 【解析】在△ABC 中,利用正弦定理 B b A a sinsin  ,可得 2 1sin sin 3 3 sin 3  B B ,所以  30B 。再利用三角形内角和 180 ,可得  90C . 20.【2102 高考福建文 13】在△ABC 中,已知∠BAC=60°,∠ABC=45°, 3BC , 则 AC=_______. 【答案】 2 . 【解析】由正弦定理得 A BC B AC sinsin  ,所以 2 2 3 2 23 sin sin      A BBCAC . 21.【 2012 高考全国文 15】当函数 sin 3 cos (0 2 )y x x x     取得最大值时, x  ___________. 【答案】 6 5 【 解 析 】 函 数 为 ) 3 sin(2cos3sin   xxxy , 当 20  x 时 , 3 5 33   x ,由三角函数图象可知,当 23  x ,即 6 5 x 时取得最大值,所以 6 5 x . 22.【2012 高考重庆文 13】设△ ABC 的内角 A B C、 、 的对边分别为 a b c、 、 ,且 1cos 4 a b C =1, =2, ,则 sin B  【答案】 4 15 【解析】由余弦定理得 4 4 12241cos2222  Cabbac ,所以 2c 。所以 CBcb  , ,即 4 15) 4 1(1sinsin 2  CB . 23.【2012 高考上海文 3】函数 sin 2 ( ) 1 cos x f x x   的最小正周期是 【答案】 【解析】函数 xxxxf 2sin 2 12)2(cossin)(  ,周期   2 2T ,即函数 )(xf 的 周期为 。 24.【2012 高考陕西文 13】在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 a=2 , B= 6  ,c=2 3 ,则 b= . 【答案】2. 【解析】由余弦定理知 4 2 33222124cos2222  Baccab , 2b . 25.【2012 高考江西文 15】下图是某算法的程序框图,则程序运行后输入的结果是_________。 【答案】3 【解析】第一次循环有 2,1,1  kTa ,第二次循环有 3,1,0  kTa ,第三次循环有 4,1,0  kTa ,第四次循环有 5,2,1  kTa ,第五次循环有 6,3,1  kTa ,此 时不满足条件,输出 3T , 三、解答题 26.【2012 高考浙江文 18】(本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c,且 bsinA= 3 acosB。 (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值. 【答案】 【解析】(1) bsinA= 3 acosB,由正弦定理可得 sin sin 3 sin cosB A A B ,即得 tan 3B  , 3 B    . ( 2) sinC=2sinA,由正弦定理得 2c a ,由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B   , 2 29 4 2 2 cos 3 a a a a      ,解得 3a  , 2 2 3c a   . 27.【2012 高考安徽文 16】(本小题满分 12 分) 设△ ABC的内角 CBA ,, 所对边的长分别为 ,,, cba ,且有 CACAAB sincoscossincossin2  。 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 2b  , 1c  ,D为 BC的中点,求 AD的长。 【答案】 【解析】 28.【2012 高考山东文 17】(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c,已知 sin (tan tan ) tan tanB A C A C  . (Ⅰ)求证: , ,a b c成等比数列; (Ⅱ)若 1, 2a c  ,求△ ABC的面积 S. 【答案】 (I)由已知得: sin (sin cos cos sin ) sin sinB A C A C A C  , sin sin( ) sin sinB A C A C  , 2sin sin sinB A C , 再由正弦定理可得: 2b ac , 所以 , ,a b c成等比数列. (II)若 1, 2a c  ,则 2 2b ac  , ∴ 2 2 2 3cos 2 4 a c bB ac     , 2 7sin 1 cos 4 C C   , ∴△ ABC的面积 1 1 7 7sin 1 2 2 2 4 4 S ac B      . 29.【2012 高考湖南文 18】(本小题满分 12 分) 已知函数 ( ) sin( )( , 0,0 2 f x A x x R          的部分图像如图 5 所示. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 ( ) ( ) ( ) 12 12 g x f x f x      的单调递增区间. 【答案】 【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期 11 5 22( ) , 2 12 12 T T          . 因为点 5( ,0) 12  在函数图像上,所以 5 5sin(2 ) 0, sin( ) 0 12 6 A       即 . 又 5 5 4 50 , , = 2 6 6 3 6               从而 ,即 = 6  . 又 点 0,1( )在 函 数 图 像 上 , 所 以 sin 1, 2 6 A A   , 故 函 数 f ( x ) 的 解 析 式 为 ( ) 2sin(2 ). 6 f x x    (Ⅱ) ( ) 2sin 2 2sin 2 12 6 12 6 g x x x                           2sin 2 2sin(2 ) 3 x x     1 32sin 2 2( sin 2 cos 2 ) 2 2 x x x   sin 2 3 cos 2x x  2sin(2 ), 3 x    由 2 2 2 , 2 3 2 k x k        得 5 , . 12 12 k x k k z       ( )g x 的单调递增区间是 5, , . 12 12 k k k z        【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 三 角 函 数 的 图 像 和 性 质 . 第 一 问 结 合 图 形 求 得 周 期 11 52( ) , 12 12 T      从而求得 2 2 T    .再利用特殊点在图像上求出 , A ,从而求出 f(x) 的解析式;第二问运用第一问结论和三角恒等变换及 sin( )y A x   的单调性求得. .30【2012 高考四川文 18】(本小题满分 12 分) 已知函数 2 1( ) cos sin cos 2 2 2 2 x x xf x    。 (Ⅰ)求函数 ( )f x 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 3 2( ) 10 f   ,求 sin 2 的值。 命题立意:本题主要考查三角函数的性质、两角和的正余弦公式、二倍角公式等基础知识, 考查基本运算能力以及化归与转化的数学思想. 【解析】 31.【2012 高考广东文 16】(本小题满分 12 分) 已知函数 ( ) cos 4 6 xf x A       , xR ,且 2 3 f       (1)求 A的值; (2)设 0, 2         , 4 304 3 17 f         , 2 84 3 5 f        ,求 cos( )  的值. 【答案】(1) 2cos cos 2 3 12 6 4 2 f A A A                  ,解得 2A  。 (2) 4 304 2cos 2cos 2sin 3 3 6 2 17 f                                 ,即 15sin 17   , 2 84 2cos 2cos 3 6 6 5 f                     ,即 4cos 5   。 因为 0, 2         ,所以 2 8cos 1 sin 17     , 2 3sin 1 cos 5     , 所以 8 4 15 3 13cos( ) cos cos sin sin 17 5 17 5 85               。 32.【2012 高考辽宁文 17】(本小题满分 12 分) 在 ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C成等差数列。 (Ⅰ)求 cosB的值; (Ⅱ)边 a,b,c成等比数列,求 sin sinA C的值。 【答案】 【解析】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列 的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把 边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果。 33.【2012 高考重庆文 19】(本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分)设函数 ( ) sin( )f x A x   (其中 0, 0,A         )在 6 x   处取得最大值 2,其图象 与 轴 的 相 邻 两 个 交 点 的 距 离 为 2  ( I ) 求 ( )f x 的 解 析 式 ; ( II ) 求 函 数 4 26cos sin 1( ) ( ) 6 x xg x f x      的值域。 【答案】(Ⅰ) 6   (Ⅱ) 7 7 5[1, ) ( , ] 4 4 2  【解析】 2 23 1cos 1 (cos ) 2 2 x x   因 2cos [0,1]x ,且 2 1cos 2 x  故 ( )g x 的值域为 7 7 5[1, ) ( , ] 4 4 2  34.【2012 高考新课标文 17】(本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = 3asinC-ccosA (1) 求 A (2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c 【答案】 35.【2102 高考北京文 15】(本小题共 13 分) 已知函数 x xxxxf sin 2sin)cos(sin)(   。 (1)求 )(xf 的定义域及最小正周期; (2)求 )(xf 的单调递减区间。 【答案】 (sin cos )sin 2 (sin cos )2sin cos( ) 2(sin cos )cos sin sin x x x x x x xf x x x x x x        πsin 2 1 cos 2 2 sin 2 1 | π 4 x x x x x k k            Z, , 。 (1)原函数的定义域为 | πx x k k Z, ,最小正周期为 π . (2)原函数的单调递增区间为 π π π 8 k k     , kZ , 3ππ π 8 k k    , kZ 。 36.【2012 高考陕西文 17】(本小题满分 12 分) 函数 ( ) sin( ) 1 6 f x A x    ( 0, 0A   )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之间 的距离为 2  , (1)求函数 ( )f x 的解析式; (2)设 (0, ) 2   ,则 ( ) 2 2 f   ,求 的值。 【答案】 37.【2012 高考江苏 15】(14 分)在 ABC 中,已知 3AB AC BA BC       . (1)求证: tan 3tanB A ; (2)若 5cos 5 C  ,求 A的值. 【 答 案 】 解 :( 1 ) ∵ 3AB AC BA BC       , ∴ cos =3 cosAB AC A BA BC B    , 即 cos =3 cosAC A BC B  。 由正弦定理,得 = sin sin AC BC B A ,∴ sin cos =3sin cosB A A B  。 又∵ 0< A B< ,∴ cos 0 cos 0A> B>, 。∴ sin sin=3 cos cos B A B A  即 tan 3tanB A 。 (2)∵ 5cos 0 5 C ,∴ tan =1A 。∴ = 4 A  。 【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。 【解析】(1)先将 3AB AC BA BC       表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式 证明。 (2)由 5cos 5 C  ,可求 tanC,由三角形三角关系,得到  tan A B     ,从而 根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值。 38.【2012 高考天津文科 16】(本小题满分 13 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的分别是 a,b,c。已知 a=2.c= 2 ,cosA= 2 - 4 . (I)求 sinC 和 b 的值; (II)求 cos(2A+ 3 д )的值。 【答案】 39.【2012 高考湖北文 18】(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= 的图像关于直线 x=π对称, 其中 为常数,且 1.求函数 f(x)的最小正周期; 2.若 y=f(x)的图像经过点 ,求函数 f(x)的值域。 【答案】 【解析】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能 力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地 位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式 2T    来求解;求三角函数的 值域,一般先根据自变量 x的范围确定函数 x  的范围.来年需注意三角函数的单调性,图 象变换,解三角形等考查. 40.【2012 高考全国文 17】(本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效.........) ABC 中,内角 A、 B、C成等差数列,其对边 a、b、 c满足 22 3b ac ,求 A。 【答案】