【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第九章　第2讲　两直线的位置关系学案 14页

第2讲　两直线的位置关系 一、知识梳理 ‎1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系 条件 两直线位置关系 斜率的关系 两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2‎ 平行 k1＝k2‎ k1与k2都不存在 垂直 k1k2＝－1‎ k1与k2一个为零、另一个不存在 ‎2.两条直线的交点 ‎3．两种距离 点点距 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 ‎|P1P2|＝‎ 点线距 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 常用结论 ‎1．会用两个充要条件 ‎(1)两直线平行或重合的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.‎ ‎(2)两直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.‎ ‎2．直线系方程 ‎(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．‎ ‎(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．‎ ‎(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.‎ ‎3．六种常用对称关系 ‎(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．‎ ‎(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．‎ ‎(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．‎ ‎(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．‎ ‎(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．‎ ‎(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．‎ 二、教材衍化 ‎ ‎1．两直线4x＋3y＝10与2x－y＝10的交点坐标为 ．‎ 答案：(4，－2)‎ ‎2．已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于 ‎ 答案：－1‎ ‎3．已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则实数a的值是 ．　‎ 解析：由直线l1与l2平行，可得解得a＝－3.‎ 答案：－3‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)‎ ‎(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)‎ ‎(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)‎ ‎(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　　)‎ ‎(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√‎ 二、易错纠偏 (1)求平行线间距离忽视x，y的系数相同；‎ ‎(2)判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况．‎ ‎1．两条平行直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋11＝0之间的距离为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B. C．7 D． 解析：选D.直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为＝.‎ ‎2．已知直线l1：ax＋y－4＝0和l2：2x＋ay＋1＝0若l1⊥l2，则a＝ ．‎ 答案：0‎ ‎　　　　　　两条直线平行与垂直(师生共研)‎ ‎ (一题多解)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.‎ ‎(1)当l1∥l2时，求a的值；‎ ‎(2)当l1⊥l2时，求a的值．‎ ‎【解】　(1)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，‎ l2：x＝0，l1不平行于l2；‎ 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；‎ 当a≠1且a≠0时，‎ 两直线方程可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，由l1∥l2可得解得a＝－1.‎ 综上可知，a＝－1.‎ 法二：由l1∥l2知 即⇒⇒a＝－1.‎ ‎(2)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；‎ 当a≠1时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，‎ 由l1⊥l2，得·＝－1⇒a＝.‎ 法二：因为l1⊥l2，所以A1A2＋B1B2＝0，‎ 即a＋2(a－1)＝0，得a＝.‎ ‎(1)两直线平行、垂直的判断方法 若已知两直线的斜率存在．‎ ‎①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．‎ ‎②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.‎ ‎[提醒]　判断两条直线位置关系应注意：‎ ‎〈1〉注意斜率不存在的特殊情况．‎ ‎〈2〉注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．‎ ‎(2)由两条直线平行与垂直求参数的值的解题策略 在解这类问题时，一定要“前思后想”．“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解．‎ ‎1．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t，1)，则n的值为(　　)‎ A．7 B．9 ‎ C．11 D．－7‎ 解析：选A.由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t，1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1，1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.‎ ‎2．求满足下列条件的直线方程．‎ ‎(1)过点P(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0；‎ ‎(2)已知A(1，2)，B(3，1)，线段AB的垂直平分线．‎ 解：(1)设直线方程为x－2y＋c＝0，把P(－1，3)代入直线方程得c＝7，‎ 所以直线方程为x－2y＋7＝0.‎ ‎(2)AB的中点为，即，‎ 直线AB的斜率kAB＝＝－，‎ 故线段AB垂直平分线的斜率k＝2，‎ 所以其方程为y－＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0.‎ ‎　　　　　两条直线的交点与距离问题(多维探究)‎ 角度一　两直线的交点与直线过定点 ‎ (1)对于任给的实数m，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过一定点，则该定点的坐标为(　　)‎ A．(9，－4) B．(－9，－4) ‎ C．(9，4) D．(－9，4)‎ ‎(2)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为 ．‎ ‎【解析】　(1)(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5即为m(x＋2y－1)＋(－x－y＋5)＝0，故此直线过直线x＋2y－1＝0和－x－y＋5＝0的交点．由得定点的坐标为(9，－4)．故选A.‎ ‎(2)由方程组得即P(0，2)．因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－，所以直线l的方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)4x＋3y－6＝0‎ 角度二　三种距离问题 ‎ (1)已知点P(－1，－1)，A(1，0)，B(0，1)，则△ABP的面积为 ．‎ ‎(2)若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是，则m＋n＝ ．‎ ‎【解析】　(1)因为A(1，0)，B(0，1)，所以|AB|＝，直线AB的方程为x＋y－1＝0，则点P(－1，－1)到直线AB的距离d＝，所以△ABP的面积为××＝.‎ ‎(2)因为l1，l2平行，所以1×n＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m，解得n＝－4，m≠－3，所以直线l2：x－2y－3＝0.又l1，l2之间的距离是，所以＝，得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2.‎ ‎【答案】　(1)　(2)－2‎ 两种距离的求解思路 ‎(1)点到直线的距离的求法 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．‎ ‎(2)两平行直线间的距离的求法 ‎①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；‎ ‎②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式)．‎ ‎1．与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是 ．‎ 解析：l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－＝0，‎ 所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，‎ 则|c＋6|＝|c＋|，‎ 解得c＝－，‎ 所以l的方程为12x＋8y－15＝0.‎ 答案：12x＋8y－15＝0‎ ‎2．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是 ．‎ 解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又kAB＝＝2，所以两条平行直线的斜率为k＝－，所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.‎ 答案：x＋2y－3＝0‎ ‎　　　　　　对称问题(典例迁移)‎ ‎ 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：‎ ‎(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；‎ ‎(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．‎ ‎【解】　(1)设A′(x，y)，由已知得 解得所以A′.‎ ‎(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，‎ 则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．‎ 设M′(a，b)，则 解得M′.‎ 设直线m与直线l的交点为N，‎ 则由得N(4，3)．‎ 又因为m′经过点N(4，3)，‎ 所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.‎ ‎【迁移探究】　(变问法)在本例条件下，求直线l关于点A(－1，－2) 对称的直线l′的方程．‎ 解：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，‎ 因为P′在直线l上，‎ 所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，‎ 即2x－3y－9＝0.‎ ‎1．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为 ．‎ 解析：设A(x，y)为所求直线上的任意一点，‎ 则A′(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，即3x－4(－y)＋5＝0，故所求直线方程为3x＋4y＋5＝0.‎ 答案：3x＋4y＋5＝0‎ ‎2．已知点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2，1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是 ．‎ 解析：由题意得线段AB的中点在直线y＝kx＋b上，故解得k＝－，b＝，所以直线方程为y＝－x＋.令y＝0，即－x＋＝0，解得x＝，故直线y＝kx＋b在x轴上的截距为.‎ 答案： 思想方法系列13　妙用直线系求直线方程 一、平行直线系 由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．‎ ‎ 求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程．‎ ‎【解】　依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋C1＝0(C1≠1)，因为直线过点(1，2)，‎ 所以3×1＋4×2＋C1＝0，‎ 解得C1＝－11.‎ 因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.‎ 先设与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由其他条件求C1.　‎ 二、垂直直线系 由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0，因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系，可以考虑用直线系方程求解．‎ ‎ 求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．‎ ‎【解】　因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点(2，1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，所以所求直线方程为x－2y＝0.‎ 先设与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0，再由其他条件求出C1.‎ 三、过直线交点的直线系 ‎ 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x ‎－5y＋6＝0的直线l的方程．‎ ‎【解】　法一：将直线l1，l2的方程联立，得 解得即直线l1，l2的交点为(－1，2)．‎ 由题意得直线l3的斜率为，‎ 又直线l⊥l3，所以直线l的斜率为－，‎ 则直线l的方程是y－2＝－(x＋1)，‎ 即5x＋3y－1＝0.‎ 法二：由于l⊥l3，所以可设直线l的方程是5x＋3y＋C＝0，将直线l1，l2的方程联立，得 解得即直线l1，l2的交点为(－1，2)，‎ 则点(－1，2)在直线l上，所以5×(－1)＋3×2＋C＝0，解得C＝－1，‎ 所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.‎ 法三：设直线l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，‎ 整理得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.‎ 由于l⊥l3，所以3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，解得λ＝，‎ 所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.‎ 本题中的解法二、解法三均是利用直线系设出直线l的方程，而解法三是利用相交直线系设出方程，避免了求直线l1与l2的交点坐标，方便简捷，是最优解法．‎ ‎　直线l1：x＋y－4＝0与l2：x－y＋2＝0的交点为P，直线l：2x－y－1＝0.‎ ‎(1)过P与l平行的直线方程为 ；‎ ‎(2)过P与l垂直的直线方程为 ．‎ 解析：由得 所以l1与l2的交点为(1，3)．‎ ‎(1)设直线方程为2x－y＋c＝0，‎ 则2－3＋c＝0，‎ 所以c＝1，‎ 所以所求直线方程为2x－y＋1＝0.‎ ‎(2)设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，则1＋2×3＋c＝0，‎ 所以c＝－7，‎ 所以所求直线方程为x＋2y－7＝0.‎ 答案：(1)2x－y＋1＝0　(2)x＋2y－7＝0‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1．已知直线ax＋2y＋2＝0与3x－y－2＝0平行，则系数a＝(　　)‎ A．－3 B．－6 ‎ C．－ D． 解析：选B.由直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行知，－＝3，a＝－6.‎ ‎2．已知点A(5，－1)，B(m，m)，C(2，3)，若△ABC为直角三角形且AC边最长，则整数m的值为(　　)‎ A．4 B．3 ‎ C．2 D．1‎ 解析：选D.由题意得∠B＝90°，‎ 即AB⊥BC，kAB·kBC＝－1，‎ 所以·＝－1.‎ 解得m＝1或m＝，故整数m的值为1，故选D.‎ ‎3．(2020·安庆模拟)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝(　　)‎ A．7 B. ‎ C．14 D．17‎ 解析：选B.直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，所以＝，求得m＝.‎ ‎4．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是(　　)‎ A．[－10，10] B．[－10，5]‎ C．[－5，5] D．[0，10]‎ 解析：选D.由题意得，点P到直线的距离为 ＝.‎ 又≤3，‎ 即|15－3a|≤15，‎ 解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]．‎ ‎5．已知坐标原点关于直线l1：x－y＋1＝0的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为(　　)‎ A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0‎ C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0‎ 解析：选B.设A(x0，y0)，依题意可得解得即A(－1，1)．设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又＝，所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.‎ ‎6．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为 ．‎ 解析：过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.‎ 答案：3x＋19y＝0‎ ‎7．已知点A(3，2)和B(－1，4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为 ．‎ 解析：由点到直线的距离公式可得＝，解得a＝或a＝－4.‎ 答案：或－4‎ ‎8．已知点A(1，3)，B(5，－2)，在x轴上有一点P，若|AP|－|BP|最大，则P点坐标为 ．‎ 解析：作出A点关于x轴的对称点A′(1，－3)，则A′B所在直线方程为x－4y－13＝0.令y＝0得x＝13，所以点P的坐标为(13，0)．‎ 答案：(13，0)‎ ‎9．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．‎ ‎(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；‎ ‎(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．‎ 解：(1)因为l1⊥l2，所以a(a－1)－b＝0.‎ 又因为直线l1过点(－3，－1)，‎ 所以－3a＋b＋4＝0.‎ 故a＝2，b＝2.‎ ‎(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2，‎ 所以直线l1的斜率存在．所以＝1－a.①‎ 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，‎ 所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.②‎ 联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.‎ ‎10．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．‎ 解：依题意知kAC＝－2，A(5，1)，‎ 所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0，‎ 联立直线AC和直线CM的方程，得 所以C(4，3)．‎ 设B(x0，y0)，AB的中点M为，‎ 代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，‎ 所以所以B(－1，－3)，所以kBC＝，所以BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论中正确的是(　　)‎ ‎①存在k，使得l2的倾斜角为90°‎ ‎②对任意的k，l1与l2都有公共点 ‎③对任意的k，l1与l2都不重合 ‎④对任意的k，l1与l2都不垂直 A．①②④ B．①③ ‎ C．①②③ D．②④‎ 解析：选A.对于动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，当k＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故①正确；由方程组可得(2k＋1)x＝0，对任意的k，‎ 此方程有解，可得l1与l2有交点，故②正确；因为当k＝－时，＝＝成立，此时l1与l2重合，故③错误；‎ 由于直线l1：x－y－1＝0的斜率为1，动直线l2的斜率为＝－1－≠－1，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故④正确．‎ ‎2．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是 ．‎ 解析：易知定点A(0，0)，B(1，3)，且无论m取何值，两直线垂直．‎ 所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上)．‎ 所以|PA|·|PB|≤(|PA|2＋|PB|2)＝5.‎ 当且仅当|PA|＝|PB|＝时等号成立．‎ 答案：5‎ ‎3．已知直线l：x－y＋3＝0.‎ ‎(1)求点A(2，1)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点A′；‎ ‎(2)求直线l1：x－2y－6＝0关于直线l的对称直线l2的方程．‎ 解：(1)设点A′(x′，y′)，‎ 由题知解得 所以A′(－2，5)．‎ ‎(2)在直线l1上取一点，如M(6，0)，则M(6，0)关于直线l的对称点M′必在l2上．设对称点为M′(a，b)，则解得M′(－3，9)．设l1与l的交点为N，则由得N(－12，－9)．又因为l2经过点N(－12，－9)，所以直线l2的方程为 y－9＝(x＋3)，即2x－y＋15＝0.‎ ‎4．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2)．‎ ‎(1)证明对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；‎ ‎(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.‎ 解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．‎ 因为方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，‎ 所以解得 故直线经过的定点为M(2，－2)．‎ ‎(2)证明：过点P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，　‎ 此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.‎ 但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，‎ 所以M与Q不可能重合，即|PM|＝4，‎ 所以|PQ|<4，故所证成立．‎