2021版高考数学一轮复习第八章立体几何初步8-5空间直角坐标系空间向量及其运算课件新人教B版 23页

第五节　空间直角坐标系、 空间向量及其运算　　　 内容索引 必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评 【教材·知识梳理】 1.空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系： 定 义 以空间一点O为原点，给定正 方向，单位长度，建立两两 垂直的数轴：x轴、y轴、z轴， 建立了一个空间直角坐标系 _____ 坐标原点 点O 坐标轴 ______________ 坐标平面 通过每两个 坐标轴的平面Oxyz x轴、y轴、z轴 (2)空间一点M的坐标： ①空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)， 其中x叫做点M的_______，y叫做点M的_______，z叫做点M的_______； ②建立了空间直角坐标系，空间中的点M与有序实数组(x，y，z)可建立 _________的关系. 横坐标 纵坐标 竖坐标 一一对应 2.空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式： ①设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 |AB|=__________________________； ②设点P(x，y，z)，则与坐标原点O之间的距离为|OP|=______________.      2 2 2 1 2 1 2 1 2x x y y z z     2 2 2x + y + z (2)中点公式： 设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则 1 2 1 2 1 2 x + xx = ,2 y + yy = ,2 z + zz = .2       3.空间向量的有关概念 名　称 定　义 空间向量 在空间中，具有_____和_____的量 相等向量 方向_____且模_____的向量 相反向量 方向_____且模_____的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相 ___________的向量 共面向量 平行于___________的向量 大小 方向 相同 相等 相反 相等 平行或重合 同一个平面 4.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实 数λ，使得______. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b_______，那么向量p与向量a，b共面的充 要条件是存在_____的有序实数对(x，y)，使________. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c_______，那么对空间任一向量p， 存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得___________.其中，__________叫做空 间 的一个基底. a=λb 不共线 唯一 p=xa+yb 不共面 p=xa+yb+zc {a，b，c} 【常用结论】 1.零向量不可以作为基向量. 2.基底选定后，空间的所有向量都可由基底唯一表示. 3.空间向量的线性运算和数量积运算可类比平面向量的线性运算和数量积运 算. 4.空间向量的坐标运算和坐标原点的选取无关. 5.实数0和任意向量相乘都为零向量. 6.实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算. 【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)空间中任意两个非零向量a,b共面. (　　) (2)空间中任意三个向量都可以作为基底. (　　) (3)若A,B,C,D是空间任意四点,则有 =0. (　　) (4)空间中模相等的两个向量方向相同或相反. (　　) (5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同. (　　) AB BC CD DA      提示:(1)√. (2)×.只有不共面的三个向量才能作基底. (3)√. (4)×.模相等的两个向量方向可能相同、相反或其他情况. (5)×.两向量夹角的范围为[0,π],两异面直线所成角的范围为 它们 不相同. (0 ]2 ， ， 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 利用向量加法、减法三角形法则时弄 错方向致误 考点一、T1,3,4 2 混淆共线、共面定理致误 考点二、典例1,2 3 数量积公式用错致误 考点三、角度1T1 4 忽视向量夹角范围致误 考点三、 综合创新练T2 【教材·基础自测】 1.(选修2-1 P84例2改编)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与 B1D1的交点.若 则下列向量中与 相等的向量是 (　　) A.- a+ b+c B. a+ b+c C.- a- b+c D. a- b+c 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1AB ,AD ,AA ,     a b c BM  【解析】选A.    1 1 1 1 1 1 1BM BB B M AA AD AB .2 2 2 2                  c b a a b c 2.(选修2-1 P85练习AT5改编)已知空间四边形OABC中, =a, =b, =c,点M 在OA 上,且OM=2MA,N为BC中点,则 = (　　) A. a- b+ c B.- a+ b+ c C. a+ b- c D. a+ b- c OA  OB  OC  MN  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 2 3 2 3 【解析】选B.如图所示,    1 1 2 1 2 1 1MN MA AB BN OA OB OA BC OB OA OC OB .3 2 3 2 3 2 2                            a b c 3.(选修2-1 P94习题3-1AT9改编)已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,- 6,2),则下列结论正确的是 (　　) A.a∥c,b∥c B.a∥b,a⊥c C.a∥c,a⊥b D.以上都不对 【解析】选C.因为c=(-4,-6,2)=2a,所以a∥c. 又a·b=0,故a⊥b. 4. (选修2-1 P115习题3-2AT2改编)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AB=2, AD=1,点E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是(　 　) A. B. C. D.6 4 3 2     【解析】选D. 所以A1E⊥GF. 1 1 1 1 1 A E D D D A2     ， 1 1 1GF D D DA BA2 2       ， 1 1 1 1 1 1 1 1A E GF ( D D D A ) ( D D DA BA)2 2 2            所以 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1D D D D DA D D BA D A D D D A DA D A BA 4 1 04 2 4 2 2 4                           ， 5.(选修2-1 P119巩固与提高T12(1)改编)正四面体ABCD的棱长为2,E,F分 别为BC,AD的中点,则EF的长为________.  【解析】 =12+22+12+2(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°)=2,所以 所以EF的 长为 . 答案:  22 2 EF EF EC CD DF        2 2 2 EC CD DF 2(EC CD EC DF CD DF)                 EF 2 ， 2 2