高二数学教案：第16讲 立体几何初步及异面直线 9页

辅导教案 学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期 ××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F 段 主 题 立体几何初步及异面直线 教学内容 1. 学习使用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理； 2. 会作出异面直线成交并求解。 （以提问的形式回顾） 1. 点、线、面的集合表示： 图形 符号语言 文字语言（读法） A a 点 A 在直线 a 上 A a 点 A 不在直线 a 上 点 A 在平面 内 A  点 A 不在平面 内 b a A 直线 a 、b 交于 A 点 a 直线 a 在平面 内 a  直线 a 与平面 无公共点 A a A 直线 a 与平面 交于点 A  平面 、  相交于直线l 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 符号语言： 公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 符号语言： 注意符号语言的应用，很多学生开始学习的时候会犯错误。 公理 3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 【推理模式】 A , B ,C 不共线 A , B ,C ,确定平面 ABC . 推论 1： 一条直线和直线外的一点确定一个平面. 【推理模式】 A l  存在唯一的平面 ，使得 A  ，l  . 推论 2：两条相交直线确定一个平面. 【推理模式】 a b P  存在唯一的平面 ，使得 a ，b  . 推论 3：两条平行直线确定一个平面. 【推理模式】 / /a b  存在唯一的平面 ，使得 a ，b  . 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设 a、b、c 是三条直线 a∥b c∥b 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。 2. 空间的两条直线有哪些位置关系？ 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点 （采用教师引导，学生轮流回答的形式） 例 1. 在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 P 是棱 1 1A B 的中点，画出点 P ， B ， 1C 所确定的平面与长方体表面 的交线. 解题思路：根据两点确定一条直线与公理一 =>a∥c 试一试：如图，在长方体 1111 DCBAABCD  中，P 为棱 1BB 的中点，画出由 , ,A C P 三点所确定的平面 与 长方体表面的交线 例 2. 已知 a ，b ， c ， d 是两两相交且不共点的四条直线，求证： a ，b ， c ， d 共面. 证明思路：分两种情况讨论，一种是两两相交交点不同，一种是有三个交点重合，再根据公理三的推论. 试一试：已知直线 a ，b ， c 两两相交且不共面.求证： a ，b ， c 相交于一点. 证明思路：反证法. 例3. 已知： / / / /a b c ， a l A ，b l B ， c l C ． 求证： a ，b ， c 共面． 【分析】根据推论3，推论2，以及点，线，面的关系， 先由两条直线确定一个平面， 再证出另外的两条也在这个平面上. 【点评】证明线线共面要用到公理3的几个推论. 试一试：证明：两直线 a ，b 平行，直线 c 与 a ，b 相交，则：直线 a ，b ， c 三线共面（要求写处已知、求 证、证明） 分析：这种题目首先要根据所给的图形写出符合条件的已知，求证，再根据条件进行证明，首先两条平行线 确定一个平面，再说明两个交点在平面上，根据一条直线有两个点在平面上知道直线在平面上，得到三线在 同一个平面上． 例 4. 如图，长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AA1=AB=2，AD=1，点 E、F、G 分别是 DD1、AB、CC1 的中点， P D 1 C 1 B 1 A 1 B D C A 则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是（ ） A． 5 15arccos B． 4  C． 5 10arccos D． 2  解：连 B1G，则 A1E∥B1G，知∠B1G F 就是异面直线 A1E 与 GF 所成的角．在 △B1GF 中，由余弦定理，得 cosB1GF＝ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( 2) ( 3) ( 5) 2 2 2 3 B G GF B F B G GF       ＝0， 故∠B1G F＝90°，应选(D)． 试一试：如图，已知 1 1 1 1ABCD A B C D 是底面为正方形的长方体， 1 1 60AD A  o ， 1 4AD  ，点 P 是 1AD 的 中点，求异面直线 1AA 与 1B P 所成的角（结果用反三角函数表示）． B C D A1 P B1 C1 D1 . A 解：过点 P 作 1 1PE A D ，垂足为 E ，连结 1B E （如图），则 1PE AA∥ ， 1B PE 是异面直线 1AA 与 1B P 所成的角． 在 1 1Rt AA D△ 中 ∵ 1 1 60AD A   ∴ 1 1 30A AD   1 1 1 1 1 1 22A B A D AD   , 1 1 1 1 12A E A D  ， 2 2 1 1 1 1 5B E B A A E    ．又 1 1 32PE AA  ． ∴在 1Rt B PE△ 中， 1 1 5 15tan 33 B EB PE PE     1A 1B 1C1D A B CD E F G ∴异面直线 1AA 与 1B P 所成的角为 15arctan 3 ． （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解） 1. 以下四个命题中，正确命题的个数是 1 不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点 A 、 B 、C 、 D 共面，点 A 、 B 、C 、 E 共面，则 A 、 B 、C 、 D 、 E 共面； ③若直线 a ，b 共面，直线 a ， c 共面，则直线b ， c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 【分析】对于①，利用反证法说明，对于②，考虑若A、B、C共线的情形；对于③，根据共面不具有传递性 进行判断；对于④，依据四边形四条边可以不在一个平面上进行判断． 【解析】 ①正确，可以用反证法证明：若其中任意三点共线，则四点必共面； ②不正确，从条件看出两平面有三个公共点 A 、 B 、C ，但是若 A 、 B 、C 共线，则结论不正确； ③不正确，共面不具有传递性； ④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上． 故答案为：1． 2. 已知平面 、  ，且 l   ，梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，且 AB  ，CD  ． 求证： AB ，CD ，l 共点（相交于一点）． 【分析】证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作 是两平面的公共点，由公理3得证． 【点评】所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点． （1）证明三线共点的依据是公理3． （2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在 直线上的问题．实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理． 3. 如图，已知空间四边形 ABCD 中， E ， H 分别是边 AB ， AD 的中点， F ，G 分别是边 BC ，CD 的点，且 3 2 CD CG CB CF ． 求证：三条直线 ACGHEF ,, 交于一点． 【分析】根据比例式可以得出平行，则可知 EHDF 为梯形， 根据推论可确定一个平面，只要用公理二即可证明． 【点评】公理二提供了证明直线共点的问题，只要找出两个平面相交，而某个点同时在两个平面内，则肯定 在交线上． 4. 如图，四面体 SABC 的各棱长都相等，如果 E、F 分别为 SC、AB 的中点，求异面直线 EF 与 SA 所成的角° 解：如图，取 AC 的中点 D，连接 DE、DF，∠EDF 为异面直线 EF 与 SA 所成的角 设棱长为 2，则 DE=1，DF=1，而 ED⊥DF，∴∠EDF=45°， 5. 在空间四边形 ABCD 中，AD＝BC＝2，E，F 分别为 AB、CD 的中点，EF＝ 3 ，求 AD、BC 所成角的大小． 解：设 BD 的中点 G，连接 FG，EG。在△EFG 中 EF＝ 3 FG＝EG＝1 ∴∠EGF＝120° ∴AD 与 BC 成 60°的角。 6. 如图， PA  平面 ABC ， 90ACB   且 PA AC BC a   ，则异面直线 PB 与 AC 所成角的正切值。 P B C A 解：将此多面体补成正方体 ' ' 'DBCA D B C P ， PB 与 AC 所成的角的大小即此正方体主对角线 PB 与棱 BD 所成角的大小，在 Rt△PDB 中，即 tan 2PDDBA DB    ． 1D 1B 1CP D B C A 本节课主要知识点：空间平面的基本性质，通过公理及推论进行证明，异面直线成角的求解 【巩固练习】 1. 给出下列四个命题： ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③若 lMlMM  则,,,  ； ④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内． 其中真命题的个数为 ． 【分析】根据平面的基本性质，结合一些特殊情形，如：两个平面有三个共线公共点，那么这两个平面不一 定重合，对于两条异面直线不在同一个平面内，借助于在正方体中，从一个顶点出发的三条线不共面等等即 可判断． 【答案】1． 2. 如图，A1B1C1—ABC 是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点 D1、F1 分别是 A1B1、A1C1 的中点 若 BC=CA=CC1，则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是( ) 30 1 30 15( ) ( ) ( ) ( )10 2 15 10A B C D 3. 如图的正方体中，E 是 A′D′的中点 (1)图中哪些棱所在的直线与直线 BA′成异面直线? (2)求直线 BA′和 CC′所成的角的大小； (3)求直线 AE 和 CC′所成的角的正切值； (4)求直线 AE 和 BA′所成的角的余弦值 BA A B CD CD FE 解：(1) ∵ A平面 BC′，又点 B 和直线 CC′都在平面 BC′内，且 BCC′, ∴ 直线 BA′与 CC′是异面直线 同理，正方体 12 条棱中的 C′D′、DD′、DC、AD、B′C′所在的直线都和直线 BA′ 成异面直线 (2)∵ CC′∥BB′， ∴ BA′和 BB′所成的锐角就是 BA′和 CC′所成的角 ∵ ∠A′BB′=45° ∴ BA′和 CC′所成的角是 45° (3)∵ AA′∥BB′∥CC′，故 AE 和 AA′所成的锐角∠A′AE 是 AE 和 CC′ 所成的角 在 Rt△AA′E 中，tan∠A′AE＝ A E AA   ＝ 2 1 ，所以 AE 和 CC′所成角的正切值是 2 1 (4)取 B′C′的中点 F，连 EF、BF，则有 EF ∥ ＝AB ∥ ＝AB, ∴ ABFE 是平行四边形，从而 BF ∥ ＝AE, 即 BF∥AE 且 BF=AE. ∴ BF 与 BA′所成的锐角∠A′BF 就是 AE 和 BA′所成的角 设正方体各棱长为 2，连 A′F，利用勾股定理求出△A′BF 的各边长分别为 A′B＝2 2 ，A′F＝BF＝ 5 ，由余弦定理得： cos∠A′BF＝ 5 10 5222 )5()5()22( 222    【预习思考】 1. 直线与平面有三种位置关系，分别是什么？ 2. 线面垂直的判定定理： 3. 线面垂直的性质定理：