2020_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步章末整合课件新人教A版必修第二册 25页

章 末整合 平面的基本 性质 空间平行、垂直关系之间的 转化 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 　 空间几何体的结构特征   例 1 根据下列对几何体结构特征的描述 , 说出几何体的名称 . (1) 由六个面围成 , 其中一个面是凸五边形 , 其余各面是有公共顶点的三角形 ; (2) 一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转 180° 形成的面所围成的旋转体 ; (3) 一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的面所围成的旋转体 . 专题一 专题二 专题三 专题四 解 : (1) 如图 ① , 因为该几何体的五个面是有公共顶点的三角形 , 所以是棱锥 , 又其底面是凸五边形 , 所以是五棱锥 . (2) 如图 ② , 等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形 , 每个直角梯形旋转 180° 形成半个圆台 , 故该几何体为圆台 . (3) 如图 ③ , 过直角梯形 ABCD 的顶点 A 作 AO ⊥ CD 于点 O , 将直角梯形分为一个直角三角形 AOD 和一个矩形 AOCB , 绕 CD 旋转一周形成一个组合体 , 该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成 . 专题一 专题二 专题三 专题四 名师点析 与空间几何体结构特征有关问题的解题技巧 (1) 紧扣结构特征是判断的关键 , 熟悉空间几何体的结构特征 , 依据条件构建几何模型 , 在条件不变的情况下 , 变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素 , 然后再依据题意判定 . (2) 通过举反例对结构特征进行辨析 , 要说明一个命题是错误的 , 只要举出一个反例即可 . 专题一 专题二 专题三 专题四 变式训练 1 给出下列四种说法 : ① 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点 , 则这两点的连线是圆柱的母线 ; ② 底面为正多边形 , 且相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 ; ③ 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的旋转体都是圆锥 ; ④ 棱台的上、下底面可以不相似 , 但侧棱长一定相等 . 其中正确的个数是 ( 　　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 : ① 上、下底面的圆周上两点的连线要与轴平行才是母线 ; ③ 直角三角形绕着直角边所在直线旋转一周才能形成圆锥 ; ④ 棱台的上、下底面相似 , 侧棱长不一定相等 . 故只有 ② 正确 . 答案 : B 专题一 专题二 专题三 专题四 专题二 　 空间几何体的表面积和体积   例 2 如图所示 , 在边长为 4 的正三角形 ABC 中 , E , F 依次是 AB , AC 的中点 , AD ⊥ BC , EH ⊥ BC , FG ⊥ BC , D , H , G 为垂足 , 若将 △ ABC 中的四边形 EFGH 抠掉后 , 剩余部分绕 AD 所在直线旋转 180°, 求形成的几何体的表面积与体积 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 专题二 专题三 专题四 名师点析 (1) 空间几何体表面积的求法 ① 多面体的表面积是各个面的面积之和 ; 组合体的表面积注意衔接部分的处理 . ② 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 . (2) 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ① 若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体 , 则可直接利用公式进行求解 . ② 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出 , 则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解 . 专题一 专题二 专题三 专题四 变式训练 2 如图所示 , 已知三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的所有棱长均为 1, 且 AA 1 ⊥ 底面 ABC , 则三棱锥 B 1 -ABC 1 的体积为 ( 　　 ) 答案 : A 专题一 专题二 专题三 专题四 专题三 　 空间中的平行与垂直关系   例 3 如图 , 在直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 , A 1 B 1 =A 1 C 1 , D , E 分别是棱 BC , CC 1 上的点 ( 点 D 不同于点 C ), 且 AD ⊥ DE , F 为 B 1 C 1 的中点 . 求证 :(1) 平面 ADE ⊥ 平面 BCC 1 B 1 ; (2) 直线 A 1 F ∥ 平面 ADE. 证明 : (1) 因为三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 是直三棱柱 , 所以 CC 1 ⊥ 平面 ABC. 又 AD ⊂ 平面 ABC , 所以 CC 1 ⊥ AD. 又因为 AD ⊥ DE , CC 1 , DE ⊂ 平面 BCC 1 B 1 , CC 1 ∩ DE=E , 所以 AD ⊥ 平面 BCC 1 B 1 . 又 AD ⊂ 平面 ADE , 所以平面 ADE ⊥ 平面 BCC 1 B 1 . 专题一 专题二 专题三 专题四 (2) 因为 A 1 B 1 =A 1 C 1 , F 为 B 1 C 1 的中点 , 所以 A 1 F ⊥ B 1 C 1 . 因为 CC 1 ⊥ 平面 A 1 B 1 C 1 , 且 A 1 F ⊂ 平面 A 1 B 1 C 1 , 所以 CC 1 ⊥ A 1 F. 又因为 CC 1 , B 1 C 1 ⊂ 平面 BCC 1 B 1 , CC 1 ∩ B 1 C 1 =C 1 , 所以 A 1 F ⊥ 平面 BCC 1 B 1 . 由 (1) 知 AD ⊥ 平面 BCC 1 B 1 , 所以 A 1 F ∥ AD. 又 AD ⊂ 平面 ADE , A 1 F ⊄ 平面 ADE , 所以 A 1 F ∥ 平面 ADE. 专题一 专题二 专题三 专题四 (2) 因为 A 1 B 1 =A 1 C 1 , F 为 B 1 C 1 的中点 , 所以 A 1 F ⊥ B 1 C 1 . 因为 CC 1 ⊥ 平面 A 1 B 1 C 1 , 且 A 1 F ⊂ 平面 A 1 B 1 C 1 , 所以 CC 1 ⊥ A 1 F. 又因为 CC 1 , B 1 C 1 ⊂ 平面 BCC 1 B 1 , CC 1 ∩ B 1 C 1 =C 1 , 所以 A 1 F ⊥ 平面 BCC 1 B 1 . 由 (1) 知 AD ⊥ 平面 BCC 1 B 1 , 所以 A 1 F ∥ AD. 又 AD ⊂ 平面 ADE , A 1 F ⊄ 平面 ADE , 所以 A 1 F ∥ 平面 ADE. 专题一 专题二 专题三 专题四 ③ 证明面面平行的常用方法有 3 种 : a . 利用面面平行的定义 ; b . 利用面面平行的判定定理 ; c . 利用面面平行的结论 : 垂直于同一直线的两个平面平行 . 专题一 专题二 专题三 专题四 (2) 空间中的垂直关系有三种 : 线线垂直、线面垂直、面面垂直 . ① 证明线线垂直的常用方法有 2 种 : a . 利用两直线垂直的定义 ; b . 利用线面垂直的定义 . ② 证明线面垂直的常用方法有 3 种 : a . 利用线面垂直的定义 ; b . 利用线面垂直的判定定理 ; c . 利用面面垂直的性质 . ③ 证明面面垂直的常用方法有 1 种 : 利用面面垂直的判定定理 . 专题一 专题二 专题三 专题四 变式训练 3 如图 , AB 是圆 O 的直径 , PA 垂直圆 O 所在的平面 , C 是圆 O 上的点 . (1) 求证 : BC ⊥ 平面 PAC ; (2) 设 Q 为 PA 的中点 , G 为 △ AOC 的重心 , 求证 : QG ∥ 平面 PBC. 专题一 专题二 专题三 专题四 证明 : (1) 由 AB 是圆 O 的直径 , 得 AC ⊥ BC. 由 PA ⊥ 平面 ABC , BC ⊂ 平面 ABC , 得 PA ⊥ BC. 又 PA ∩ AC=A , PA ⊂ 平面 PAC , AC ⊂ 平面 PAC , 所以 BC ⊥ 平面 PAC. (2) 如图 , 连接 OG 并延长交 AC 于点 M , 连接 QM , QO , 由 G 为 △ AOC 的重心 , 得 M 为 AC 的中点 . 由 Q 为 PA 的中点 , 得 QM ∥ PC , 又 O 为 AB 的中点 , 得 OM ∥ BC. 因为 QM ∩ MO=M , QM ⊂ 平面 QMO , MO ⊂ 平面 QMO , BC ∩ PC=C , BC ⊂ 平面 PBC , PC ⊂ 平面 PBC , 所以平面 QMO ∥ 平面 PBC. 因为 QG ⊂ 平面 QMO , 所以 QG ∥ 平面 PBC. 专题一 专题二 专题三 专题四 专题四 　 空间角的求解   例 4 如图所示 , 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形 , BA=BD = , AD= 2, PA=PD = , E , F 分别是棱 AD , PC 的中点 . (1) 求证 : EF ∥ 平面 PAB ; (2) 若二面角 P-AD-B 的平面角为 60° . ① 求证 : 平面 PBC ⊥ 平面 ABCD ; ② 求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值 . 专题一 专题二 专题三 专题四 证明 : (1) 如图所示 , 取 PB 的中点 M , 连接 MF , AM. 因为 F 为 PC 的中点 , 所以 MF ∥ BC , 且 MF= BC . 由已知有 BC ∥ AD , 且 BC=AD , 又由于 E 为 AD 的中点 , 因而 MF ∥ AE , 且 MF=AE , 故四边形 AMFE 为平行四边形 , 所以 EF ∥ AM. 又 AM ⊂ 平面 PAB , 而 EF ⊄ 平面 PAB , 所以 EF ∥ 平面 PAB. 专题一 专题二 专题三 专题四 (2) ① 连接 PE , BE. 因为 PA=PD , BA=BD , 且 E 为 AD 的中点 , 所以 PE ⊥ AD , BE ⊥ AD , 所以 ∠ PEB 为二面角 P-AD-B 的平面角 . 在 △ PAD 中 , 由 PA=PD = , AD= 2, 可解得 PE= 2 . 在 △ ABD 中 , 由 BA=BD = , AD= 2, 可解得 BE= 1 . 在 △ PEB 中 , PE= 2, BE= 1, ∠ PEB= 60°, 故可得 ∠ PBE= 90°, 即 BE ⊥ PB. 又 BC ∥ AD , BE ⊥ AD , 从而 BE ⊥ BC , 又 BC ∩ PB=B , 因此 BE ⊥ 平面 PBC. 又 BE ⊂ 平面 ABCD , 所以平面 PBC ⊥ 平面 ABCD. 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 专题二 专题三 专题四 名师点析 (1) 求异面直线所成的角常用平移转化法 ( 转化为相交直线的夹角 ) . (2) 求直线与平面所成的角常用射影转化法 ( 即作垂线、找射影 ) . (3) 二面角的平面角的作法常有三种 : ① 定义法 ; ② 垂线法 ; ③ 垂面法 . 专题一 专题二 专题三 专题四 变式训练 4 如图 , 正方体的棱长为 1, B'C ∩ BC'=O , 求 : (1) AO 与 A'C' 所成角的大小 ; (2) AO 与平面 ABCD 所成角的正切值 ; (3) 平面 AOB 与平面 AOC 所成二面角的大小 . 解 : (1) ∵ A'C' ∥ AC , ∴ AO 与 A'C' 所成的角就是 ∠ OAC. ∵ AB ⊥ 平面 BC' , OC ⊂ 平面 BC' , ∴ OC ⊥ AB , 又 OC ⊥ BO , AB ∩ BO=B , ∴ OC ⊥ 平面 ABO . 又 OA ⊂ 平面 ABO , ∴ OC ⊥ OA. ∴∠ OAC= 30 ° . 即 AO 与 A'C' 所成角为 30° . 专题一 专题二 专题三 专题四 (2) 如图 , 过点 O 作 OE ⊥ BC 于点 E , 连接 AE. ∵ 平面 BC' ⊥ 平面 ABCD , ∴ OE ⊥ 平面 ABCD , ∴∠ OAE 为 OA 与平面 ABCD 所成的角 . ( 3) ∵ OC ⊥ OA , OC ⊥ OB , OA ∩ OB=O , ∴ OC ⊥ 平面 AOB. 又 OC ⊂ 平面 AOC , ∴ 平面 AOB ⊥ 平面 AOC. 即平面 AOB 与平面 AOC 所成二面角为 90° .