2020-2021学年北师大版数学必修2习题：第一章 立体几何初步 单元质量评估2 12页

第一章单元质量评估(二) 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．下列命题中正确的是( B ) A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥 B．棱锥的高线可能在几何体之外 C．仅有一组对面平行的六面体是棱台 D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 解析：由五个平面围成的多面体可能是四棱锥或三棱柱，故 A 不正确；根据棱锥的定义，棱锥的高线可能在几何体之外，故 B 正 确；仅有一组对面平行的六面体可能是四棱台，也可能是四棱柱，故 C 不正确；因为棱锥的定义中要求这些三角形必须有公共的顶点，故 D 不正确．故选 B. 2．用一个平面去截一个几何体，可以使截面是长方形，也可以 使截面是圆，则这个几何体可以是( C ) A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．球 3．若一个底面为正三角形的几何体的三视图如图所示，则这个 几何体的体积为( B ) A．12 3 B．36 3 C．27 3 D．6 解析：由三视图可知该几何体为正三棱柱，棱柱的高为 4，底面 正三角形的高为 3 3，所以底面边长为 6，所以几何体的体积为 1 2 ×62× 3 2 ×4＝36 3，选 B. 4．已知 m，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列 命题正确的是( D ) A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 解析：A 中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行， 故 A 错误；B 中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异 面，故 B 错误；C 中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的 直线一定和另一个平面平行，故 C 错误；D 中，若两条直线垂直于同 一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可 能垂直于同一个平面，故 D 正确．故选 D. 5．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程 中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相 对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的 方形伞(方盖)．其直观图如左图所示，图中四边形是为体现其直观性 所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在．当其主视图和左视图 完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是( A ) A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d 解析：主视图和左视图完全相同时，牟合方盖相对的两个曲面正 对前方，主视图为一个圆，而俯视图为一个正方形，且有两条实的对 角线，故选 A. 6．直线 l1∥l2，在 l1 上取 3 个点，l2 上取 2 个点，由这 5 个点所 确定的平面个数为( D ) A．9 个 B．6 个 C．3 个 D．1 个 解析：因为 l1∥l2，所以 l1，l2 确定唯一平面，所以 5 个点均在该 平面内． 7．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为 5，菱形的对角线 的长分别是 9 和 15，则这个棱柱的侧面积是( A ) A．30 34 B．60 34 C．30 34＋135 D．135 解析：由菱形的对角线长分别是 9 和 15，得菱形的边长为 9 2 2＋ 15 2 2＝3 2 34，则这个直棱柱的侧面积为4×3 2 34×5＝30 34. 8．在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝ AA1，则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( C ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：本题可借助正方体模型求解，如图，BA1 与 AC1 所成的角 即为 BA1 与 BD1 所成的角．在△A1BD1 中，A1B＝A1D1＝BD1.∴BA1 与 BD1 所成角为 60°. 9．正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，P，Q，R 分别是 AB，AD， B1C1 的中点，那么过 P，Q，R 的截面图形是( D ) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 解析：如图，取 C1D1 的中点 E，连接 RE，RE 綊 PQ.∴P，Q，R， E 共 面 ． 再 取 BB1 ， DD1 的 中 点 F ， G.∵PF∥AB1∥QR 且 GE∥C1D∥QR，∴E，G，F，P，Q，R 共面．∴截面图形为六边形． 10．已知一个多面体的内切球的半径为 1，多面体的表面积为 18， 则此多面体的体积为( C ) A．18 B．12 C．6 D．12π 解析：连接球心与多面体的各个顶点，把多面体分成了高为 1 的 多个棱锥．多个棱锥的底面积之和 S＝S1＋S2＋…＋Sn＝18.所以该多 面体的体积为 V＝1 3S1×1＋1 3S2×1＋…＋1 3Sn×1＝1 3(S1＋S2＋…＋ Sn)×1＝6. 11．如图所示，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AB＝AC＝ 13， BB1＝BC＝6，E，F 为侧棱 AA1 上的两点，且 EF＝3，则多面体 BB1C1CEF 的体积为( A ) A．30 B．18 C．15 D．12 解析：VBB1C1CEF＝VABC—A1B1C1－VF—A1B1C1－VE—ABC＝ S△ABC×6－1 3S△ABC·A1F－1 3S△ABC·AE ＝S△ABC· 6－1 3 A1F＋AE ＝5S△ABC. ∵AC＝AB＝ 13，BC＝6，∴S△ABC ＝1 2 ×6×  132－32 ＝ 6.∴VBB1C1CEF＝5×6＝30. 12．如图所示，在正三棱锥 S—ABC 中，M，N 分别是 SC，BC 的中点，且 MN⊥AM，若侧棱 SA＝2 3，则正三棱锥 S—ABC 外接 球的表面积是( C ) A．12π B．32π C．36π D．48π 解析：因为 M，N 分别为 SC，BC 的中点，所以 MN∥BS.因为 MN⊥AM，所以 SB⊥AM.又 SB⊥AC，AM∩AC＝A，所以 SB⊥平 面 ASC，所以侧面三角形为等腰直角三角形，又 SA＝SB＝SC＝2 3， 设外接球半径为 R，则(2R)2＝(2 3)2＋(2 3)2＋(2 3)2，即 R＝3，所 以 S 球＝4πR2＝36π. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案 填写在题中横线上) 13．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为 3. 解析：此棱锥底面是边长为 3 的正方形，高为 1，所以体积为 1 3 ×32×1＝3. 14．如图所示，扇形的圆心角为 90°，弦 AB 将扇形分成两个部 分，这两部分各以 AO 为轴旋转一周，所得的旋转体体积 V1 和 V2 之 比为 1∶1. 解析：设扇形所在圆的半径为 R，Rt△AOB 绕 OA 旋转一周形 成圆锥，其体积 V1＝π 3R3，扇形绕 OA 旋转一周形成半球，半球的体 积 V＝2π 3 R3，∴V2＝V－V1＝2π 3 R3－π 3R3＝π 3R3.∴V1∶V2＝1∶1. 15．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六 棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 8 ，底面周长为 3，则这个球的体积为4 3π. 解析：设球的半径为 R，六棱柱的底面边长为 a，高为 h，显然 有 a2＋ h 2 2 ＝ R ， 且 V 六棱柱＝6× 3 4 a2×h＝9 8 ， 6a＝3， 解 得 a＝1 2 ， h＝ 3， 所以 R＝1，则 V 球＝4 3πR3＝4 3π. 16．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，P 为 BC 的中 点，Q 为线段 CC1 上的动点，过 A，P，Q 的平面截该正方体所得的 截面记为 S，则下列命题是真命题的有①②③⑤.(写出所有真命题的 序号) ①当 0