2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题 文新人教版 14页

‎2019年度高三第一次模拟考文科数学试卷 班级： 姓名： 座号： ‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则 (　　)‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知复数满足（为虚数单位），则 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 已知等差数列的首项和公差均不为零，且，，成等比数列，‎ 则 ( ) A． B． C． D．‎ ‎4. 折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”‎ 活动中，会产生如右上图所示的几何图形，其中四边形为正方形，为线段的中点，‎ 四边形与四边形也为正方形，连接、，则向多边形中投掷一点，‎ 则该点落在阴影部分的概率为 (　　) A． B． C． D． ‎ ‎5. 已知直线平面，则“直线”是“”的 (　　)‎ A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎6. 已知圆：，点，．从点观察点，要使视线不被圆挡住，则 实数的取值范围为 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎7.将函数的图象向左平移（）个单位长度，所得图象对应的函数为 偶函数，则的最小值为 (　　) A． B． C． ‎ - 14 -‎ D．‎ ‎8. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于(　　) ‎ A． B． C． D．‎ ‎9.定义为个正数的“均倒数”．‎ 若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知向量，满足，，则的取值范围是 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知函数是一个求余函数，记表示除以 的余数，例如．右图是某个算法的程序框图，‎ 若输入的值为，则输出的值为 (　　) ‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知 ，则关于的方程，‎ 给出下列五个命题：①存在实数，使得该方程没有实根； ‎ ‎②存在实数，使得该方程恰有个实根；‎ ‎③存在实数，使得该方程恰有个不同实根； ‎ ‎④存在实数，使得该方程恰有个不同实根；‎ ‎⑤存在实数，使得该方程恰有个不同实根．‎ 其中正确的命题的个数是 (　　) ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本题共 4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接) ‎ - 14 -‎ ‎14.若变量、满足约束条件，则的最大值为 ； ‎ ‎15.设、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若，‎ 的面积为，且，则该双曲线的离心率为 ；‎ ‎16.已知函数，则 ； ‎ 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎(一)必考题：共60分.‎ ‎17. (本小题满分12分) 已知函数．‎ ‎(Ⅰ)求函数的递增区间；(Ⅱ)若的角所对的边分别为，角的平分线 交于，，，求．‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ ‎ 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准 保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路 交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表（其中 浮动比率是在基准保费上上下浮动）：‎ 交强险浮动因素和浮动费率比率表 - 14 -‎ 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 某机构为了研究某一品牌普通座以下私家车的投保情况，随机抽取了辆车龄已满三年的 该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：‎ 类型 数量 ‎(Ⅰ)求这辆车普通座以下私家车在第四年续保时保费的平均值（精确到元）‎ ‎(Ⅱ)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为 事故车．假设购进一辆事故车亏损元，一辆非事故车盈利元，且各种投保类型车的 频率与上述机构调查的频率一致．试完成下列问题：‎ ‎①若该销售商店内有六辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在该店内随机挑选辆车，‎ ‎ 求这辆车恰好有一辆为事故车的概率；‎ ‎②若该销售商一次购进辆车（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值．‎ ‎19. (本小题满分12分) ‎ 如图，在三棱锥中，，，‎ - 14 -‎ ‎，，为线段的中点，是线段 上一动点． （1）当时，求证：面；‎ ‎（2）当的面积最小时，求三棱锥的体积．‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ ‎ 已知一定点，及一定直线：，以动点为圆心的圆过点，且与直线相切．‎ ‎(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；‎ ‎(Ⅱ)设在直线上，直线，分别与曲线相切于，，为线段的中点．‎ 求证： ，且直线恒过定点．‎ ‎21. (本小题满分12分)　　已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若，求函数的极值；‎ ‎(Ⅱ)若，记为的从小到大的第（）个极值点，证明：‎ ‎（）． ‎ ‎(二)选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分，‎ 作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22.[选修4—4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)‎ - 14 -‎ 已知直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴非负半轴为 极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．‎ ‎(Ⅰ) 求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ) 设直线与曲线相交于两点，求的值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 (本小题满分10分)‎ 设函数． ‎ ‎(Ⅰ)当时，求不等式的解集；‎ ‎(Ⅱ)对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎2019年度莆田六中高三第一次模拟考文科数学试卷参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A D D C B B C ‎ A C D B B ‎1. A 【解析】：∵，，则，故应选A． ‎ ‎2. D 【解析】：∵，∴，∴，故应选D．‎ ‎3. D【解析】：∵，，成等比数列，∴，∴，∴，‎ 又，，∴，∴，∴，故应选D．‎ ‎4. C【解析】：设，则，，故多边形的面积 - 14 -‎ ‎，‎ ‎∵，∴，‎ 故所求概率为．故应选C．‎ ‎5. B 【解析】： 由，推不出（可能），由，能推出；‎ ‎6. B 【解析】：点在直线上，过点作圆的切线，设该切线的斜率为，则该切线 的方程为，即．由圆心到切线的距离等于半径得：，∴，‎ ‎∴该切线的方程为，它和直线的交点为、．故要使视线不被圆 挡住，则实数的取值范围为，故应选B．（或作出图形，利用平几法，求相关线段）‎ ‎7. C 【解析】：∵向左平移（）‎ 单位后得到函数，又为偶函数，故，‎ ‎，故，，故，故应选C．‎ ‎8. A 【解析】：抠点法:在长方体中抠点，①由正视图 可知：上没有点； ②由侧视图可知：上没有点； ③由俯视图可知：上没有点；‎ ‎ ④由正（俯）视图可知：处有点，由虚线可知处有点，点排除．由上述可还原出 四棱锥，如右上图所示，∴，‎ - 14 -‎ ‎∴．故选.‎ ‎9. C 【解析】：依题意得：，∴，故可得，∴，‎ ‎，再由裂项求和法，可得，故应选C．‎ ‎10. D 【解析】：∵，，∴，，∴，‎ ‎∴，∴，∴，（当且仅当时，等号成立），‎ ‎∴，∴，又，∴，故应选D．‎ ‎11. B 【解析】：此框图的功能是求大于的约数的个数，其约数有，，，，，，，‎ 共有个，故应选B．‎ ‎12. B 【解析】：设，则，先作出的图象，及直线，结合图象 可以看出：①当时，不存在，从而不存在；②当时，，则，原方程有唯一根；‎ ‎③当时，则存在唯一负数与之对应，再作出的图象，及直线，结合图象，‎ 可以看出：不存在；④当时，则存在一个负数或一个非负数与之对应，再作出的图象，及直线（），结合图象，可以看出：⑴对于负数，没有与之对应，⑵当时，则有两个不同的与之对应，⑶当时，则有唯一的与之对应，综上所述：原方程的根的情况有：无实根，恰有实根，恰有实根，从而可得①、②、③正确．故应选B．‎ 二、填空题：（本题共 4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ - 14 -‎ ‎13. 【解析】∵，，∴；‎ ‎14. 【解析】：画出可行域后可得最优解为，故；‎ ‎15. 【解析】：由得：，故，又，∴，∴，∴；‎ ‎16. 【解析】：∵，∴，‎ ‎∴，又设，则 ‎，∴‎ ‎，∴．‎ 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎(一)必考题：共60分.‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ 解：(Ⅰ)∵‎ ‎，………3分，令，，∴，，‎ ‎∴函数的递增区间为，，………6分；‎ - 14 -‎ ‎(Ⅱ) ∵，∴，∴，又，∴，‎ ‎∴，∴，又平分，∴，……8分；又，又由 正弦定理得：，∴，∴，又，∴；……10分 ‎∴，∴．……12分 ‎18. (本小题满分12分)‎ 解：(Ⅰ)这辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高的平均值为 元；…5分 ‎(Ⅱ) ①由统计数据可知，该销售商店内的辆该品牌车龄已满三年的二手车中有辆事故车，设为，‎ ‎，辆非事故车，设为，，，．从这辆车中随机挑选辆车的情况有，，‎ ‎，，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，共种情况．…6分 其中辆车中恰好有一辆为事故车的情况有：，，，，，，‎ ‎，，，，，，共种．…7分，故该顾客在店内随机 挑选辆车，这辆车中恰好有一辆事故车的概率为.…9分，‎ ‎②由统计数据可知，该销售商一次购进辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车 - 14 -‎ 辆，‎ 非事故车辆，所以一辆车盈利的平均值为(元)．…12分 ‎19. (本小题满分12分)‎ 解：(Ⅰ)在直角中，，，∴，‎ 又∵ 在中，，，，∴，‎ ‎∴…3分，又，∴，又面，‎ 面，∴面…6分 ‎(Ⅱ)∵，，，∴面，又面，∴，‎ 又∵，，∴，又，∴面，又面，‎ ‎∴，…9分，又，∴当最小时，的面积最小，又当时，‎ 最小，故此时，‎ ‎∴，‎ ‎∴，又面，‎ ‎ ∴ ……12分．‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 解：(Ⅰ) ∵圆过点，且与直线相切，∴点到点的距离等于点到直线的距离，‎ ‎∴点的轨迹是以为焦点，以直线：为准线的一抛物线，∴即，‎ ‎∴动点的轨迹的方程为；…4分 ‎(Ⅱ)依题意可设，，，…5分，又，∴，∴，‎ - 14 -‎ ‎∴切线的斜率，∴切线：，即，…6分， 同理可得：‎ 切线的斜率，：，…7分，又，∴且，故方程即有两根，，∴，…8分，‎ ‎∴，∴，…9分，又为线段的中点，∴…10分，‎ 又由得：，即，同理可得：，‎ 故直线的方程为…11分，故直线恒过定点．…12分．‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 解：(Ⅰ) ∵，，∴，…1分 令，则或，…2分，∴当或时，，当时，‎ ‎，∴在上递增，在上递减，在上递增，∴当时，‎ 取得极大值，，当时，取得极小值，；…5分 ‎(Ⅱ)∵为的从小到大的第（）个极值点，又令，，则，‎ ‎，…6分，∴，，，…9分，‎ - 14 -‎ ‎∴．…12分．‎ ‎22. (本小题满分10分)‎ 解：(Ⅰ)∵直线的参数方程为（为参数），∴直线的普通方程为，‎ 即，∴直线的极坐标方程：…2分；又∵曲线的极坐标方程为，，，∴，即，∴曲线的直角坐标方程为，…5分；‎ ‎(Ⅱ)∵将直线：代入曲线的极坐标方程：得：，…7分；设直线与曲线的两交点的极坐标分别为，，∴，…8分；‎ ‎∴的值．…10分．‎ ‎23．解：(Ⅰ)∵，∴当时，，…2分；‎ 又，∴或或，…3分；∴或或，‎ ‎∴或，…4分；∴的解集为；…5分；‎ ‎(Ⅱ) ∵（当且仅当时，等号成立），…6分；‎ ‎∴…7分；又对任意实数，都有恒成立，∴，…8分；∴，‎ ‎∴或，∴或．…9分；故实数的取值范围为或 - 14 -‎ ‎．…10分． ‎ - 14 -‎