2019学年高中数学暑假作业 集合、函数、基本初等函数 1 集合 7页

一、集 合 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．若集合A={y|y=2x+2}，B={x|﹣x2+x+2≥0}，则（　　）‎ A．A⊆B B．A∪B=R C．A∩B={2} D．A∩B=∅‎ ‎2．已知集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|﹣1＜x＜1}，集合C={x|mx+1＞0}，若A∪B⊆C，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．{m|﹣2≤m≤1} B．{m|﹣≤m≤1} C．{m|﹣1≤m≤} D．{m|﹣≤m≤}‎ ‎3．设集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣4）=0}，B={x|x≤a}，若A∩B=A，则a的值可以是（　　）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎4．已知集合A={（x，y）|y2＜x}，B={（x，y）|xy=﹣2，x∈Z，y∈Z}，则A∩B=（　　）‎ A．∅ B．{（2，﹣1）}‎ C．{（﹣1，2），（﹣2，1）} D．{（1，﹣2），（﹣1，2），（﹣2，1）}‎ ‎5．已知集合A={y|0≤y＜2，y∈N}，B={x|x2﹣4x﹣5≤0，x∈N}，则A∩B=（　　）‎ A．{1} B．{0，1} C．[0，2） D．∅‎ ‎6．已知集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={y|y=log2（x+2），x∈A}，则A∩B为（　　）‎ A．（0，1） B．[0，1] C．（1，2） D．[1，2]‎ ‎7．已知R是实数集，集合 A={x|22x+1≥16}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0，则（∁RA）∩B=（　　）‎ A．（1，2） B．[1，2] C．（1，3） D．（1，）‎ ‎8．设A，B是非空集合，定义A*B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知M={x|0≤x≤3}，N={y|y≤1}，则M*N=（　　）‎ A．（1，3] B．（﹣∞，0）∪（1，3] C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，0]∪[1，3]‎ ‎9．已知集合A={1，2，3，…，2017}，B={}．若B⊆A，且对任意的i，j（i∈{1，2，3，4，5}，j∈{1，2，3，4，5}），都有|ai﹣aj|≠1．则集合B的个数用组合数可以表示成（　　）‎ A．C B． C． D．C ‎10．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=‎ 7‎ ‎，若A={x|x2﹣ax﹣2=0，a∈R}，B={x||x2+bx+2|=2，b∈R}，且A*B=2，则b的取值范围（　　）‎ A．b≥2或b≤﹣2 B．b＞2或b＜﹣‎2‎ C．b≥4或b≤﹣4 D．b＞4或b＜﹣4‎ ‎11．设集合S={1，2，…，2016}，若X是S的子集，把X中所有元素之和称为X的“容量”，（规定空集容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为S的奇（偶）子集，记S的奇子集个数为m，偶子集个数为n，则m，n之间的关系为（　　）‎ A．m=n B．m＞n C．m＜n D．无法确定 ‎12．设函数f（x）=（a，b，c∈R）的定义域和值域分别为A，B，若集合{（x，y）|x∈A，y∈B}对应的平面区域是正方形区域，则实数a，b，c满足（　　）‎ A．|a|=4 B．a=﹣4且b2+‎16c＞0‎ C．a＜0且b2+‎4ac≤0 D．以上说法都不对 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，则A∪B=　 　．‎ ‎14．设[x]表示不大于x的最大整数，集合A={x|[x]2﹣2[x]=3}，B={x|2x＞8}，则A∩B=　 　．‎ ‎15．若对任意的x∈D，均有f1（x）≤f（x）≤f2（x）成立，则称函数f（x）为函数f1（x）到函数f2（x）在区间D上的“折中函数”．已知函数f（x）=（k﹣1）x﹣1，g（x）=0，h（x）=（x+1）lnx，且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k的值构成的集合是　 　．‎ ‎16．已知集合A={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤}，B={（x，y）||x﹣1|+2|y﹣2|≤a}，且A⊆B，则实数a的取值范围是　 　．‎ 三．解答题（共2小题）‎ ‎17．已知函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．‎ ‎（1）求集合A、B；‎ ‎（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．‎ ‎18．已知：集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．‎ 7‎ ‎（1）函数f（x）=是否属于集合M？说明理由；‎ ‎（2）设函数f（x）=lg∈M，求正实数a的取值范围；‎ ‎（3）证明：函数f（x）=2x+x2∈M．‎ ‎　‎ 7‎ 必修一集合、函数、基本初等函数参考答案 一、集合 ‎1.【解答】解：y=2x+2＞2，∴集合A={y|y=2x+2}=（2，+∞）．‎ 由﹣x2+x+2≥0，化为x2﹣x﹣2≤0，解得﹣1≤x≤2．‎ ‎∴B={x|﹣x2+x+2≥0}=[﹣1，2]．∴A∩B=∅，故选：D．‎ ‎2．【解答】解：由题意，A∪B={x|﹣1＜x＜2}，‎ ‎∵集合C={x|mx+1＞0}，A∪B⊆C，‎ ‎①m＜0，x＜﹣，∴﹣≥2，∴m≥﹣，∴﹣≤m＜0；‎ ‎②m=0时，成立；③m＞0，x＞﹣，∴﹣≤﹣1，∴m≤1，∴0＜m≤1，‎ 综上所述，﹣≤m≤1，‎ 故选B．　‎ ‎3．【解答】解：由（x+1）（x﹣4）=0，解得x=﹣1，4．‎ ‎∴A={﹣1，4}，又B={x|x≤a}，A∩B=A，则a的值可以是4．‎ 故选：D．‎ ‎4．【解答】解：集合A={（x，y）|y2＜x}，在平面直角坐标系内表示平面区域阴影面积；‎ B={（x，y）|xy=﹣2，x∈Z，y∈Z}，在平面直角坐标系内表示孤立的两组点；‎ 由，求得点P（，﹣）；如图所示，‎ 则x=2，y=﹣1时满足条件，∴A∩B={（2，﹣1）}．故选：B．‎ ‎　5．【解答】解：集合A={y|0≤y＜2，y∈N}={0，1}，‎ B={x|x2﹣4x﹣5≤0，x∈N}={x|﹣1≤x≤5，x∈N}={0，1，2，3，4，5}，‎ 7‎ 则A∩B={0，1}．故选：B．‎ ‎6．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}=[0，2]，‎ B={y|y=log2（x+2），x∈A}，‎ 由x∈A，x+2∈[2，4]，可得log2（x+2）∈[1，2]，‎ 即有B=[1，2]，则A∩B=[1，2]．故选：D．‎ ‎7．【解答】解：集合 A={x|22x+1≥16}={x|22x+1≥24}={x|2x+1≥4}={x|x≥}，‎ B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，∁RA={x|x＜}，‎ 可得（∁RA）∩B={x|1＜x＜}=（1，）．故选：D．　‎ ‎8．【解答】解：M∪N=（﹣∞，3]，M∩N=[0，1]；‎ ‎∴M*N=（﹣∞，0）∪（1，3]．故选B．‎ ‎9．【解答】解：我们把任意四对相邻的两个数看作四个数队，其余的数组成一个数队．从上述5个数对种各选一个数，必然不相邻．也就是满足：|ai﹣aj|≠1．∴共可以组成上述的数对有2013种情形，‎ ‎∴集合B的个数用组合数可以表示成．故选：B．‎ ‎10．【解答】解：∵A*B=2，C（A）=2‎ ‎∴C（B）=0或4；∴|x2+bx+2|=2，当b=0时，方程只有1解，‎ 故b≠0，∴x2+bx+2=2有2个解故x2+bx+2=﹣2即x2+bx+4=0不同的解，‎ ‎∴△=b2﹣4×4＞0，∴b＞4或b＜﹣4．故选D．‎ ‎11．【解答】解：集合S的子集可以分为两类：A含有1的子集，B中不含有1的子集，这两类子集个含有22015个，而且对于B类中的任意子集T，必在A类中存在唯一一个子集T∪{1}与之对应，且若T为奇子集，则T∪{1}是偶子集；若T为偶子集，则T∪{1}是奇子集．∴B类中有x个奇子集，y个偶子集，则A类中必有x个偶子集，y个奇子集，∴S的奇子集与偶子集的个数相等．‎ 故S的奇子集与偶子集个数相等，m=n．故选：A．‎ ‎12．【解答】解：设y=ax2+bx+c与x轴相交于两点（x1，0），（x2，0），a＜0．则，x1x2=．‎ ‎∴|x1﹣x2|===．‎ 7‎ 由题意可得：，由=，解得a=﹣4．‎ ‎∴实数a，b，c满足a=﹣4，△=b2+‎16c＞0，故选：B．　‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．【解答】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，则A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．‎ ‎14．【解答】解：由[x]2﹣2[x]=3，解得：[x]=3或[x]=﹣1，‎ 故2＜x≤3或﹣2＜x≤﹣1，∴A=（2，3]∪（﹣2，﹣1]，‎ 而B={x|2x＞8}={x|x＞3}，故A∩B=∅．故答案为：∅．　‎ ‎15．【解答】解：根据题意，可得0≤（k﹣1）x﹣1≤（x+1）lnx在x∈[1，2e]上恒成立．当x∈[1，2e]时，函数f（x）=（k﹣1）x﹣1的图象为一条线段，‎ 于是，，解得k≥2．‎ 另一方面，在x∈[1，2e]上恒成立．‎ 令=，则．‎ 由于1≤x≤2e，所以，于是函数x﹣lnx为增函数，‎ 从而x﹣lnx≥1﹣ln1＞0，所以m′（x）≥0，则函数m（x）为[1，2e]上的增函数．所以k﹣1≤[m（x）]min=m（1）即k≤2．综上，k=2．故答案为：{2}．　‎ ‎16．【解答】解：令|x﹣1|=m，|y﹣2|=n，（m≥0，n≥0），‎ 根据集合A得，m2+n2≤，根据集合B得，m+2n≤a，∵A⊆B，‎ ‎∴a≥（a+2b）max，构造辅助函数f（m）=m+2n﹣a+λ（m2+n2﹣）‎ f（n）=m+2n﹣a+λ（m2+n2﹣），∴f′（m）=1+2λm，‎ f′（n）=2+2λn，令f′（m）=1+2λm=0，f′（n）=2+2λn=0，‎ 得到 m=﹣，n=﹣，∵m2+n2=，∴λ=±1，∵m≥0，n≥0，‎ ‎∴λ=1，∴m=，n=1时，m+2n有最大值，∴a≥（m+2n）max=+2=，‎ ‎∴a≥，故答案为：a≥．‎ 7‎ 三．解答题（共2小题）‎ ‎17．【解答】解：（1），‎ x2﹣（‎2a+1）x+a2+a≥0⇒x≥a+1或x≤a ‎∴A=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），B=（﹣∞，a]∪[a+1，+∞）…（6分）‎ ‎（2）…（12分）‎ ‎　‎ ‎18．【解答】解：（1）f（x）=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），‎ 令，整理得x2+x+1=0，△=﹣3＜0，‎ 因此，不存在x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立，所以f（x）=； （4分）‎ ‎（2）f（x）=lg的定义域为R，f（1）=lg，a＞0，‎ 若f（x）=lg∈M，则存在x∈R使得lg=lg+lg，‎ 整理得存在x∈R使得（a2﹣‎2a）x2+‎2a2x+（‎2a2﹣‎2a）=0．‎ ‎①若a2﹣‎2a=0即a=2时，方程化为8x+4=0，解得x=﹣，满足条件：‎ ‎②若a2﹣‎2a≠0即a∈（﹣∞，2）∪（2，+∞）时，‎ 令△≥0，解得a∈[3﹣，2）∪（2，3+]，‎ 综上，a∈[3﹣，3+]； （8分）‎ ‎（3）f（x）=2x+x2的定义域为R，‎ 令2x+1+（x+1）2=（2x+x2）+（2+1），整理得2x+2x﹣2=0，‎ 令g（x）=2x+2x﹣2，所以g（0）•g（1）=﹣2＜0，‎ 即存在x0∈（0，1）使得g（x）=2x+2x﹣2=0，‎ 亦即存在x0∈R使得2x+1+（x+1）2=（2x+x2）+（2+1），‎ 故f（x）=2x+x2∈M． （12分）‎ 7‎