高中同步数学教案第3章 函数的性质 55页

‎ 第3章：函数的基本性质 ‎3、1 函数的概念 ‎1、函数的定义：‎ 在某个变化过程中有两个变量，如果对于在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的值与它对应，那么就是的函数，记作：。叫做自变量，叫做因变量，的取值范围D叫做函数的定义域，和对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。‎ ‎2、函数的三要素：‎ 函数的定义域、函数的对应法则、函数的值域叫做函数的三要素。函数的对应法则与函数的定义域确定后，函数的值域也被随之确定，因此函数的定义域与函数的对应法则是函数的两个主要要素。‎ 特别注意的是，函数的定义域是非空的数的集合。‎ 一般地来说，对于实际应用问题，函数的定义域是由的实际意义来确定的。如果只给出函数的解析式，而未指明它的定义域时，那么这个函数的定义域是指能够使这个式子有意义的自变量的取值范围。‎ ‎ ‎ ‎ 例1、求下列函数的定义域：‎ ‎（1）；　　　　　　　　‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；　　　　　　‎ ‎（4）。‎ 解：（1），解得：，‎ 所以函数的定义域为。‎ ‎（2），‎ 由，解得；‎ 由，解得。‎ 不等式组的解集为，‎ 所以函数的定义域为。‎ ‎（3）‎ 由，解得或，由，解得。‎ 所以函数定义域为。‎ ‎（4）‎ 由，得或；‎ 由，得；‎ 由，得。‎ 所以此函数的定义域为。‎ 说明：函数的定义域是非空的数的集合，因此在求函数定义域的问题中，定义域的最终形式应当用集合表示。‎ 例2、判断下列各题中所给出的两个函数是否是同一函数？说明理由。‎ ‎（1）与；　‎ ‎（2）与 ‎（3）与；　　‎ ‎（4）与；‎ ‎（5）与。‎ 解：（1），（4），（5）是相同函数，（2），（3）不是相同函数。‎ 对于函数组（2），的定义域是，的定义域是，所以此两函数不是同一函数。‎ 对于函数组（3）的定义域是，函数的定义域是，所以此两函数不是同一函数。‎ 对于函数组（4）的定义域是，的定义域是。它们的解析式也相同，所以是同一函数。‎ 对于函数组（5）因为，所以它与是同一函数。注意：函数的变量仅是一个符号而已。‎ ‎ ‎ ‎ 例3、已知。‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）画出函数图像；‎ ‎（3）写出函数值域。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）略；‎ ‎（3）。‎ ‎3、函数的表示方法：‎ 函数的表示方法一般来讲有三种常用方法：‎ ‎（1）解析法。‎ ‎（2）图像法。‎ 由函数的定义可以知道，对于定义域内任意一个变量，有唯一确定的值与此对应。因此，一个图像能作为函数的图像，则与轴垂直的直线与此图像至多只有一个公共点。‎ ‎（3）列表法：利用数表表示函数的方法。（如：如月考数学成绩单）‎ 函数的解析式可以直接地反映出变量与函数之间的关系，具有简明、概括的特点；‎ 图像法能直观、形象地反映出函数的变化规律；‎ 而列表法表示的函数一般用于表示离散型的函数，对应关系明显。‎ 例4、下列图形中，能作为某个函数的图像的是　　　　　　　　　　　　（　　）‎ A B C D 例5、记为中的最小者。设，，若，求函数的解析式，并作出函数的图像，根据函数的图像说出函数的值域。‎ 解：，‎ 当或时，‎ 当时，。‎ 所以 函数的图像如图，由函数的图像可以看出此函数的值域为。‎ 说明：有些函数在它的定义域内对于自变量的不同的取值范围，对应法则可能不一样，这样的函数通常称为分段函数，分段函数是一个函数，而不是几个函数。‎ 例6、已知。‎ ‎（1）求与；　　　　　‎ ‎（2）求与；‎ ‎（3）求不等式的解集。‎ 解：（1），所以，，则。‎ ‎（2）；‎ ‎。‎ ‎（3）当时，由，即，解得：或；当时，由，即，解得：。所以不等式的解集为。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例7、某地的出租车价格规定：起步费元，可行千米；千米以后，按每千米元计价，可再行千米；以后每千米都按元计价。求车费（元）与行程（千米）的函数关系式。‎ 解：‎ 例8、2006年1月1日起，个人所得税法规定：‎ ‎1、个人每月的工资薪水收入中，1600元为免税收入，其余部分为应纳税收入；‎ ‎2、税率按应纳税收入额规定如下表：‎ 应纳税收入额（元）‎ 税率（%）‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ ‎45‎ ‎(1)小明、小强和小红的爸爸每月工资分别为1500元、2500元和3500元，问他们每月应交纳多少个人所得税？‎ ‎（2）若某人工资不超过6000元，把此人应纳税额表示成个人月收入的函数。‎ 解：（1）小明的爸爸每月应交税0元；‎ ‎ 小强的爸爸每月应交税 ‎ 元；‎ ‎ 小红的爸爸每月应交税 ‎ 元。‎ ‎（2）‎ ‎ 例9、（1）已知，求；‎ ‎（2）已知，求；‎ ‎（3）已知定义域为，且满足，求的表达式。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）。‎ ‎ ‎ ‎ 例10、（1）已知的定义域为，求的定义域；‎ ‎（2）已知的定义域为，求的定义域；‎ ‎（3）已知的定义域为，求的定义域；‎ ‎（4）已知的定义域为，求的定义域。‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）时，；时，。‎ 练习巩固：‎ ‎1、函数的定义域为＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎2、若函数的定义域为，则函数的定义域为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎3、已知函数的定义如下：，则＿＿＿＿＿；‎ ‎4、已知，若，则＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎5、若，则下列等式中成立的是　　　　　　　　　　　　　　　（　　）‎ A、；　B、；　C、；　D、。‎ 作业研究：‎ ‎1、已知函数的定义域为一切实数，求实数的取值范围。‎ ‎2、设，实数满足，求。‎ ‎3、已知一次函数满足，求此一次函数的解析式。‎ ‎4、求函数的定义域（其中常数。‎ ‎5、若，函数满足，求函数的解析式。‎ ‎6、已知定义在上的函数对于任意的正数都有，且，求与的值。‎ 作业：《导学先锋》‎ 作业：《导学先锋》‎ ‎3、2 函数关系的建立 例1、如图：一个边长为 的长方形被平行于边的两条直线所分割，其中长方形左上角是一个边长为的正方形，试用解析式将图中阴影部分的面积S表示为的函数，并求S的值域。‎ 解：左上角阴影部分的面积，‎ 右下角的面积，‎ 所以。‎ 即所求函数为：‎ ‎。‎ 因为。‎ ‎（1）当，即时，时，；‎ ‎（2）当，即时，时，。‎ 综上知：当时，；‎ ‎ 当时，。‎ 例2、如图，设矩形的周长为，把它关于折起来，折过去后，交于，设，设的面积为。‎ ‎（1）将表示为的函数；‎ ‎（2）求的最大值及相应的的值。‎ 解：（1）由，，又，‎ ‎。由勾股定理得：‎ ‎，得。‎ ‎。‎ 因为且，则，‎ 所以所求的函数关系式为：‎ ‎。‎ ‎（2）由，，‎ 当且仅当，即时，有最大值。‎ 说明：本例建立函数关系式的关键是用表示，注意到对称性，可得出（可以证明：注意到，知是等腰三角形，所以有，进一步证得）。‎ 例3、某单位用木料制作一个如图所示的框架，框架的下半部分是边长分别为的矩形，上半部分是等腰直角三角形。要求框架围成的总面积是，制作框架的用料长度为（不计接头部分的损耗）。‎ ‎（1）将表示为的函数；‎ ‎（2）当为多少时，总用料最少？（精确到 解：（1）由题意：，所以 ‎，。‎ 注意到且，解得。‎ 所以所求的函数关系式为：（）。‎ ‎（2）由。‎ 当且仅当，即时，等号成立。‎ 所以当时，总用料最少为。‎ 说明：对于实际应用性问题，在取近似值的过程中要特别注意。如用料问题、年数问题等，一般地都是取过剩近似值。‎ 例4、如图，点P在边长为1的正方形ABCD上运动，点M是CD的中点，点P沿运动时，点P经过的路程为，△APM的面积为。将表示成的函数。‎ A B C D M P A B C D M A B C D M P P 图1‎ 图2‎ 图3‎ 解：如图1：当点P在AB边上时，则，此时；‎ 如图2：当点P在边BC上运动时，则，‎ 则 ‎；‎ 如图3：当点P在边CD上运动时，则，‎ 则。‎ 综上可知：。‎ 例5、有一种电器原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售。甲商场用如下方法促俏：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依此类推，每多买一台则所买的各台单价都再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售。某单位需要购买一批这种电器，问从哪家商场购买比较合算？‎ 解：设某单位所买这种电器为台，在甲商场需用元，在乙商场需用元。‎ 则在甲商场购买每台的价格为，由，知且，当时，每台价格都为440元。‎ 所以。‎ 乙商场每台的售价为，所以。‎ 设为在甲、乙两个商场购买这种电器的差价，则：‎ ‎。‎ 由，解得，由，解得，由，解得。‎ 所以若购买量少于10台，则到乙商场比较合算；‎ 若购买量为10台，则到甲、乙两个商场花费一样；‎ 若购买量大于10台，则去甲商场购买比较合算。‎ 例6、如图，正方形ABCD的边长为，动点P、Q同时从A点出发分别在正方形的边上运动，P点的运行方向是逆时针，速度为每秒，Q点的运行方向是顺时针，速度为每秒，当P、Q相遇时停止运动。设秒后P、Q分别到达、，记的长为，将表示为的函数。‎ 解：正方形的周长为24，则两动点的运行时间共为秒，则以。‎ A C D B A C D B A C D B A C D B Q0‎ P0‎ Q0‎ P0‎ Q0‎ P0‎ Q0‎ P0‎ 图3‎ 图1‎ 图2‎ 图4‎ ‎（1）当时，P0在边AB上，Q0在AD上，，所以；‎ ‎（2）当时，P0在边BC上，Q0在AD上，，，所以；‎ ‎（3）当时，P0在边BC上，Q0在DC上，，所以；‎ ‎（4）当，P、Q都在CD上，所以。‎ 综上知：。‎ 练习巩固：‎ ‎1、已知等腰三角形的周长为常数，底边长为，腰长为，则函数的定义域为（　　）‎ A、；　　　B、；　　　　C、；　　　　　D、。‎ ‎2、已知等腰三角形的周长为常数，底边长为，腰长为，则函数的定义域为 ‎（　　）‎ A、；　　　B、；　　　　C、；　　　　D、。‎ ‎3、火车驶出A站后，以的速度行驶了50分钟。用解析式将这段时间内火车与A站的距离表示为时间（分钟）的函数，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎4、已知1999年底世界人口约为60亿人，设人口的年平均增长率为，2009年底世界人口为（亿），则关于的函数关系式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎5、已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以每小时60千米的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以每小时50千米的速度返回A地，把汽车离开A地的距离（千米）表示为时间（小时）的函数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）‎ A、；　　　　　　　　　　　　　　　　B、；‎ C、；　　　　　　　D、。‎ O ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎6、已知函数的图像如图所示，则此函数的解析式为　　　　　　　　　　（　　）‎ A、；‎ B、；‎ C、；　　　　　　D、以上都不正确。‎ ‎7、定义函数，解不等式。‎ ‎8、已知正方形ABCD的边长为2，有一动点M从点B出发沿正方形的边运动，路线是，设M点经过的路程为，△ABM的面积为S，求函数的解析式及其定义域。‎ ‎9、某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，为了鼓励销售商积极订购，厂家决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂价就降低元，但实际出厂单价不能少于51元。‎ ‎（1）当一次订购量为多少时，此零件的实际出厂单价恰好为51元？‎ ‎（2）设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出的表达式；‎ ‎（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，获得的利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂价－成本）‎ 作业：《课课精练》‎ 作业问题 ‎3.3 函数的运算 ‎1、两函数的和函数与积函数的定义：‎ 已知两个函数，设，并且不是空集，那么，把函数叫做函数与的和函数，叫做函数与的积函数。‎ ‎2、两函数的和函数与积函数的定义域：‎ 两函数的和函数与积函数的定义域是这两个函数的定义域的交集，特别注意的是：和函数与积函数的定义域不能为空集。也就是说，两个函数能进行和与积运算的前提条件是它们定义域的交集不能为空集。‎ 例1、设函数，求：‎ ‎（1）；　　　　（2）；‎ ‎（3）；　　　 （4）的最大值。‎ 解：（1）；‎ ‎ （2）；‎ ‎ （3）函数的定义域，函数的定义域，‎ ‎ 所以函数的定义域。‎ ‎ 所以函数。‎ ‎ （4）由，‎ ‎ 令，则，，‎ 那么，‎ 当，即时，函数的最大值为。‎ 说明：在求两个函数的和函数时，首先要确定和函数的定义域，再进行运算。‎ 例2、设函数。‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）作函数的图像。‎ 解：函数的定义域为，的定义域为，‎ 所以函数的定义域为。‎ ‎。‎ ‎。‎ ‎。‎ O ‎（2）函数 的图像如图：‎ 例3、对于定义域分别为与的函数与，规定函数：。‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，其中是常数，请设计一个定义域为的函数 以及一个的值，使。‎ 解：（1）的定义域，的定义域为。‎ 所以。‎ ‎（2）由的定义域为，则的定义域，‎ 所以。‎ 又，令，则，满足题意。‎ 也可以是，则也满足题意。‎ 例4、已知函数。。‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）求的表达式。‎ 解：（1）；‎ ‎ ＝。‎ ‎（2）当时，， ；‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 综上知：。‎ 例5、设函数，，求，并作出的图像。‎ 推广：的图像性质。‎ 练习巩固：‎ ‎1、若函数的定义域是，则函数的定义域是＿＿＿＿；‎ 函数的定义域是＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎2、若二次函数满足：，则＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎3、设函数的定义域为，且，则＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎4、设函数的定义域是，且，则函数的解析式为＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎5、已知函数，则＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎6、某班试用电子投票系统进行班级干部的选举。每位同学都有选举权与被选举权，全班名同学的编号分别为。规定：同意的按“1”，不同意或弃权按“0”，令：‎ ‎。其中且。则同时同意第1、2号同学当选的人数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）‎ A、；B、；‎ C、；　　　　　D、。‎ 作业研究：‎ ‎1、若函数与的定义域分别为，则是函数与的和函数存在的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）‎ A、充分不必要条件；　　　　　　　　　　　　B、必要不充分条件；‎ C、充分必要条件；　　　　　　　　　　　　　D、既不充分又不必要条件。‎ ‎2、与函数的积函数相同的是　　　　　　　　　（　　）‎ A、；　　　　　　　　　　　　B、；‎ C、；　　　　　D、。‎ ‎3、函数的和函数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎4、函数的积函数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎5、若函数与的积函数，则此两函数的解析式可以为 ‎＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿（只要写出一组即可）。‎ ‎6、已知函数的定义域是。‎ ‎（1）分别求函数与的定义域；‎ ‎（2）函数与的和函数是否存在？若存在，求实数的取值范围，若不存在，说明理由。‎ ‎7＊、设表示不超过的最大整数，如等。若 ‎。‎ ‎（1）求；　　（2）写出函数在上的解析式，并作出其图像。‎ 作业：《课课精练》 第13题可不做。‎ ‎3、4 函数的基本性质 一、函数的奇偶性 ‎ 分别画出函数与的图像。‎ ‎ 可以看出：的图像关于轴对称。当任取一对互为相反数的自变量时，它们对应的函数值总相等，即恒有，我们就说是偶函数。‎ ‎ 而的图像关于原点对称。当任取一对互为相反数的自变量时，它们对应的函数值也互为相反数，即恒有，我们就说是奇函数。‎ ‎1、函数奇偶性的定义：‎ 一般地，如果对于函数的定义域内的任意实数，都有，那么就把函数叫做偶函数；‎ 一般地，如果对于函数的定义域内的任意实数，都有，那么就把函数叫做奇函数。‎ ‎2、奇偶函数的图像特征：‎ 偶函数的图像关于轴对称，奇函数的图像关于坐标原点对称；‎ 反之，若一个函数的图像关于轴对称，则此函数必是偶函数，‎ ‎ 若一个函数的图像关于坐标原点对称，则此函数是奇函数。‎ 注意：(1) 由函数的奇偶性的定义可以看出：若，则，所以奇（偶）函数的定义域关于原点对称，因此，定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要条件。‎ ‎ (2)对于任意一个函数的奇偶性有且只有下列四种情形之一：奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数。‎ 例1：判断下列各函数的奇偶性，并说明理由。‎ ‎（1）；　　　　　　 　‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；　　　　　　‎ ‎（4）；‎ ‎（5）。‎ 解：（1）的定义域是，，‎ 所以，因此函数是偶函数。‎ ‎（2）函数的定义域是，，‎ 所以，因此函数是奇函数。‎ ‎（3）函数的定义域是，它不关于原点对称，‎ ‎ 因此函数是非奇非偶函数。‎ ‎（4）函数的定义域是满足：得且，‎ 所以此函数的定义域是，此时，‎ 设对于定义域内任意实数，，‎ 所以函数是奇函数。‎ ‎（5）函数的定义域满足：，得或，‎ 所以函数的定义域，此时，，‎ 所以且。‎ 所以函数既是奇函数又是偶函数。‎ 说明：函数奇偶性的判断步骤：‎ ‎（1）先求出函数的定义域：若定义域不关于原点对称，则此函数是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，则进入第二步；‎ ‎（2）对于定义域内的任意变量，比较与关系；‎ ‎（3）给出结论。‎ 例2：判断下列函数的奇偶性：‎ ‎（1）；　　　　　‎ ‎（2）。‎ 解：（1）的定义域是，对于任意的，则，，‎ ‎ ，所以；‎ ‎ 当时，；‎ ‎ 对于，则，。‎ ‎ 综上知：对于任意的，‎ ‎ 所以函数是偶函数。‎ ‎（2）函数的定义域是，，则，‎ ‎ 所以函数不是偶函数，又，所以函数不是奇函数。‎ ‎ 综合得：函数是非奇非偶函数。‎ 例3：已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，求函数的解析式，并作出函数的图像。‎ 解：当时，则，，‎ 又是奇函数，则。‎ 由函数是奇函数知，所以。‎ 即。‎ 函数的图像如图。‎ 例4：已知函数是奇函数，是偶函数，且，试求函数与的解析式。‎ 解：由，用代，则，‎ 又是奇函数，是偶函数，则，‎ 所以。由，‎ 解得。‎ 说明：本例实质上是解一个函数方程问题，关键是要利用函数的奇偶性得出关于与的另一个等式，与原问题联立求解。‎ 例5：已知函数是常数），试讨论函数的奇偶性。‎ 解：函数的定义域是。当时，是奇函数，‎ ‎ 当时，是非奇非偶函数。‎ 证明：当时，，‎ 对于内任意一个变量，，‎ 所以是奇函数。‎ 当时，由，，则，‎ 所以且，‎ 所以当时是非奇非偶函数。‎ 例6：已知函数的定义域是，且对于任意的，恒成立。‎ ‎（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）若实数满足，那么称是函数的不动点，求证：若函数有有限个不动点，则不动点的个数是奇数个。‎ 解：（1）因为对于任意的，恒成立，令，则，所以，再令，则，则，所以，函数是奇函数。‎ ‎（2）由（1）得，，所以是此函数的不动点，若且是此函数的不动点，则，又是奇函数，所以，则也是此函数的不动点，而，故此函数的非零不动点是成对出现，从而的不动点的个数是奇数个。‎ 练习巩固：‎ ‎1、指出下列函数的奇偶性（填奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数）：‎ ‎（1）是＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）是＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎（3）是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎（4）是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎（5）是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。‎ ‎2、已知函数，若函数是奇函数而不是偶函数，则满足的条件为＿＿＿＿＿＿；若函数是偶函数而不是奇函数，则则满足的条件为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎3、若函数是偶函数，则＝＿＿＿＿＿＿；‎ ‎4、已知函数，若，则＿＿＿＿＿＿；‎ ‎5、已知函数，若，则＿＿＿＿＿＿。‎ ‎6、已知函数的定义域是，则是函数为奇函数的　　　　（　　）‎ A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件。‎ 作业研究：‎ ‎1、是定义在R上的函数，，则“都是偶函数”是“为偶函数”的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）‎ A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件。‎ ‎2、已知函数都是定义在R上的函数，若都是奇函数，，给出下列四个判断：（1）一定是偶函数；（2）一定是奇函数；（3）一定不是偶函数；（4）一定不是奇函数。其中正确的判断有（　　）‎ A、1个；　　　　　　B、2个；　　　　　　C、3个；　　　　　　　D、4个。‎ ‎3、已知函数是定义在上的奇函数，且满足：，则＿＿＿；＿＿＿；‎ ‎4、函数是奇函数的充要条件是　　　　　　　　　　　　　（　　）‎ A、；　　　　B、；　　　C、；　　　　D、。‎ ‎5、已知是定义域为的奇函数，且时，则不等式的解集为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）‎ A、；　　　B、；　　　C、；　　　D、。‎ ‎6、已知函数是偶函数，是奇函数且，求与的表达式。‎ ‎7、已知是定义在上的奇函数，且当时，，求函数的解析式。‎ ‎8、已知函数是常数），试讨论函数的奇偶性。‎ ‎9、设函数的定义域为，且对于任意的实数都有，判断函数的奇偶性，并说明理由。‎ ‎10＊、定义在上的函数对于任意的实数都有且，判断的奇偶性，并说明理由。‎ 作业：〈课课精练〉‎ 二、函数的单调性 具体例子直观引入：‎ ‎ 在上单调递增，叫的单调递增区间，简称增区间；‎ ‎ 在上单调递减，叫的单调递减区间，简称减区间。‎ ‎ 在上单调递增，但不能说是的单调递增区间。‎ ‎1、函数单调性的定义：‎ 一般地，对于给定区间上的函数：‎ 如果对于属于这个区间上的自变量的任意两个值，当时，都有 ‎，那么就说函数在这个区间上是单调增函数，简称增函数。‎ ‎ 如果对于属于这个区间上的自变量的任意两个值，当时，都有，那么就说函数在这个区间上是单调减函数，简称减函数。‎ ‎2、对单调函数概念的说明：‎ ‎（1）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，不能超出定义域。‎ ‎（2）一个函数在定义域内可以有多个不同的单调区间，如函数就有4个单调区间，单调递增区间为与；单调递减区间为与。不同单调区间之间不能用“”连接。‎ ‎（3）根据函数的图像写函数的单调区间，若区间端点在函数定义域内时，端点应当是闭的。若区间端点不在函数定义域内时，端点应当是开的。‎ ‎（4）单调性定义中的“”是区间内任取的两个变量，而不是指定的两值。‎ 例1：（1）已知奇函数在上单调递增，则，的大小关系为 。‎ ‎（2）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为＿＿＿＿。‎ ‎（3）函数的单调区间为＿＿＿＿＿＿。‎ ‎（4）若函数在区间上是单调增函数，则的取值范围是 。‎ ‎（5）定义在上的奇函数是减函数，且，则的取值范围是 。‎ 解：（1）‎ ‎ （2）‎ ‎ （3）‎ ‎ （4）‎ ‎ （5）‎ 例2：证明函数是减函数。‎ 例3：若函数在区间上是单调增函数，求的取值范围。‎ 解：定义法，。‎ 例4：讨论函数在上的单调性。‎ 解：任取内两个变量，且，则，‎ ‎ ，因为，‎ ‎ 所以的符号由确定。‎ ‎（1）当时，，所以，即，‎ ‎ 所以函数在上是增函数。‎ ‎（2）当时，‎ 当时，则，所以，即，‎ ‎ 所以函数在上是减函数；‎ 当时，，所以，即，‎ ‎ 所以函数在上是增函数。‎ 综上所述：当时，在上是增函数；‎ 当时，在上是减函数，在上是增函数。‎ 例5：求下列函数单调区间：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ 解：（1）单调递增区间为，；单调递减区间为，。‎ ‎（2）单调递减区间为，。‎ ‎（3）单调递减区间为，单调递增区间为。‎ ‎（4）单调递减区间为，单调递增区间为。‎ ‎（5）单调递增区间为；单调递减区间为。‎ 例6：已知奇函数在上是增函数，且，判断在区间上的单调性，并给出证明。‎ 解：减函数。‎ 例7：已知函数的定义域为，且满足，，又为单调增函数。‎ ‎（1）求、的值；‎ ‎（2）求使成立的的范围。‎ 解：（1），；（2）。‎ 练习巩固：‎ ‎1、在定义域内下列函数是减函数的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）‎ ‎ A、；　B、；　C、；　D、。‎ ‎2、已知函数是定义域D上的增函数，且恒成立，有下列命题：‎ ‎（1）函数是D上的增函数；（2）函数是D上的减函数；‎ ‎（3）函数是D上的减函数；（4）函数是D上的增函数。‎ ‎ 其中正确的命题个数有（　　）‎ ‎ A、4个；　　　　B、3个；　　　　　C、2个；　　　　　D、1个。‎ ‎3、函数的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿；单调递减区间为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎4、函数的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿；单调递减区间为＿＿＿＿＿；‎ ‎5、若函数的单调递增区间为，则的值为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎6、若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为＿＿＿＿。‎ 作业研究：‎ ‎1、定义在上的偶函数在区间上是增函数，若，则　　（　　）‎ A、；　　　　B、；　　　C、；　　　D、。‎ ‎2、“”是“函数在区间上为增函数的　　　　　　　　（　　）‎ A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件。‎ ‎3、已知为上的减函数，则不等式的解集为　　　　　　　　（　　）‎ A、；　　B、；　　　C、；　D、。‎ ‎4、的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎5、若二次函数和，使得函数是上的增函数，试给出满足条件的一组函数＿＿＿＿＿＿；＿＿＿＿＿＿。‎ ‎6、已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，判断在区间上的单调性，并说明理由。‎ ‎7、作出函数的图像，并指出它的单调区间。‎ 作业：《课课精练》。‎ 作业：《课课精练》。‎ 作业：《每周一练》10——奇偶性和单调性 三、函数的值域与最值 求函数值域或最值的常用方法：利用基本不等式、函数单调性、二次函数、图像法、换元法及“”法。‎ 例1：已知函数。‎ 分别求在下列定义域上的函数的最大值与最小值。‎ ‎（1）；　　　（2）；　　‎ ‎（3）是常数）。‎ 解：。‎ ‎（1）函数在区间上是增函数，‎ ‎ 在区间是减函数，又，‎ 所以的最大值为，最小值为。‎ ‎（2）当时，在区间上是增函数，‎ ‎ 所以的最小值为，‎ ‎ 的最大值为；‎ 当时，在区间上是增函数，在区间上是增函数，‎ 所以的最大值为。‎ 当时，最小值为，‎ 当时，的最小值为。‎ 综上知：当时，的最大值为，‎ 最小值为；‎ ‎　　当时，的最大值为，最小值为；‎ ‎　　当时，的最大值为，最小值为。‎ ‎ （3）当，即时，在区间上是增函数，‎ 所以最小值为，‎ 的最大值为；‎ 当时，在区间上是减函数，‎ 所以最小值为，‎ 的最大值为；‎ 当，即时，在上是增函数，在上是减函数，此时最大值为，由，，，当，即时，的最小值为，当，即时，的最小值为。‎ 综上知：当时，的最大值为，最小值为；‎ 当时，最大值为，最小值为；‎ 当时，最大值为，最小值为；‎ 当时，的最大值为，最小值为。‎ 例2：已知函数，若时，恒成立，求实数的取值范围。‎ 解：由题意知，时，恒成立，即在区间上的最小值不小于。‎ 由，知其图像关于直线对称。‎ ‎（1）当，即时，在区间上是增函数，所以得，与矛盾；‎ ‎（2）当，即时，，，解得，所以；‎ ‎（3）当，即时，在区间上是减函数，所以，得，即，所以。‎ 综上知：时，恒成立。‎ 例3：求下列函数的值域：‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）；‎ ‎（5）； （6）；‎ ‎（7）； （8）‎ ‎（9）； （10）；‎ ‎（11）； （12）。‎ 解：（1）； （2）； （3）； ‎ ‎ （4）两种方法，； （5）两种方法，； ‎ ‎ （6）； （7）； （8）； ‎ ‎ （9），由，所以，当即时，等号成立，所以值域为。‎ ‎ （10）设，因为函数的定义域是，此式化为：‎ ‎　　　（＊）‎ 因为（＊）对于恒成立，所以关于的方程（＊）在上恒有解。当，即时，满足题意；当时，则，解得。‎ ‎ 综上知函数的值域为。‎ ‎ （11）； （12）。‎ ‎　‎ 例4：已知函数。‎ ‎（1）当时，求函数的最小值；‎ ‎（2）当时，求函数的最小值；‎ ‎（3）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围。‎ 解：（1），，当且仅当，即时等号成立，，所以当时，求函数的最小值为。‎ ‎（2），，当且仅当，即时等号成立，而，所以等号不成立。注意到函数在 上是减函数，在上是增函数，所以在区间上是增函数，所以最小值为。‎ ‎（3）当，恒成立，即恒成立。‎ 方法一：设，此函数在时单调递增，所以，则，得。‎ 方法二：由，对于恒成立，所以对于恒成立。因为，所以。‎ 例5：已知，求的取值范围。‎ 解：‎ 练习巩固：‎ ‎1、下列函数中，值域为的是（ ）‎ A、；　　B、；　　C、；　　D、。‎ ‎2、如果奇函数在区间上是增函数，且存在最小值为，那么在区间上，的性质是（　　）‎ A、增函数且最小值为；　　　　　　B、增函数且最大值为；‎ C、减函数且最小值为；　　　　　　D、减函数且最大值为。‎ ‎3、设函数的定义域是，有下列四个命题：（1）若存在常数，使对于任意的，有，则是函数的最大值；（2）若存在，使得对于任意的且，有，则是函数的最大值；（3）若存在，使得对于任意的且，有，则是函数的最大值；（4）若存在最大值，最小值，则函数的值域是。其中正确的命题个数为（　　）‎ A、1个；　　　B、2个；　　　C、3个；　　　D、4个。‎ ‎4、函数的值域是＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎5、函数的值域是＿＿＿＿＿＿＿。‎ 作业研究 ‎1、若集合，则＿＿＿＿＿；‎ ‎2、已知函数，求函数的最大值与最小值及函数的值域。‎ ‎3、已知，记的最大值为。‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎4、设函数的定义域是，若存在常数，使得对于一切实数 恒成立，则称函数是“好函数”。给出下列三个函数：（1）；（2）；（3）。请判断其中哪些函数是“好函数”，说明理由。‎ ‎3、如果定义域为实数集上的函数同时满足下列两个条件：‎ ‎①在上是单调增函数或是单调减函数；②存在区间，使在上的值域也是，这样的函数称为“闭函数”。‎ ‎（1）定义域为的函数是否是“闭函数”？说明理由；‎ ‎（2）若函数，问：它能否为“闭函数”？说明理由。‎ 作业：《课课精练》‎ 四、函数的图像变换 ‎1、函数图像的左右平移变换：‎ 例1：（1）在同一坐标系中，说出函数的图像由函数的图像经过怎样的变换得到。‎ ‎（2）在同一坐标系中，说出函数的图像由函数的图像经过怎样的变换得到。‎ 函数图像的左右平移：‎ 将函数的图像向右平移个单位，就可得到函数的图像；向左平移个单位，就可得到函数的图像。 ‎ 练习：作出函数的大致图像。‎ ‎2、函数图像的上下平移变换：‎ 例2：在同一坐标系中，分别说出函数与的图像由函数的图像经过怎样的变换得到。‎ 函数图像的上下平移：‎ 将函数的图像向上平移个单位，就可得到函数的图像；向下平移个单位，就可得到函数的图像。‎ 练习：（1）将函数的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的图像对应的解析式是 。‎ ‎（2）作出函数的大致图像。‎ ‎3、函数图像的对称变换 例3：（1）在同一坐标系中，说出函数与的图像之间的关系。‎ ‎（2）在同一坐标系中，说出函数与的图像之间的关系。‎ ‎（3）在同一坐标系中，说出函数与的图像之间的关系。‎ 函数图像的对称变换：将函数的图像关于轴对称，得到函数的图像；将函数的图像关于轴对称，得到的图像； 将函数的图像关于坐标原点对称，得到函数的图像。 ‎ ‎4、函数图像的翻折变换 例4：（1）在同一坐标系中，分别作出函数与的大致图像，通过图像说明它们之间的关系。‎ ‎（2）在同一坐标系中，分别作出函数与的大致图像，通过图像说明它们之间的关系。‎ 函数图像的翻折变换：‎ ‎（1）将函数在轴下方的图像对称翻折到轴的上方，去掉原轴下方的图像，保留轴上方的图像，得到的图像对应的解析式是；‎ ‎（2）将函数在轴右边的图像对称翻折到轴左边，去掉原轴左边的图像，保留轴右边的图像，得到的图像对应的解析式是。‎ 练习：作出下列函数的大致图像：‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）。‎ 例5：研究方程解的个数。‎ 解：函数的图像如图：‎ 根据函数的图像可以看出：‎ 当时，方程无解；‎ 当时，方程有两解；‎ 当时，方程有3解；‎ 当时，方程有4解。‎ 例6：已知函数，关于的方程有个不同实数解，求实数需要满足的条件。‎ 解：画出函数的图像，从图像上发现，‎ 要使关于的方程有个不同实数解，‎ 换元令，就是要使关于的方程一根为，另一根大于，‎ 所以。‎ 备用题：‎ ‎1、讨论方程的根的个数。‎ ‎2、（1）写出函数的定义域、奇偶性、单调区间，并在此基础上，作出其在上的大致图像；‎ ‎（2）关于的方程有个不同实数解，其中，写出的取值范围和与需要满足的条件。‎ 备用题答案：‎ ‎1、当时，无解；当或时，两解；当时，三解；当时，四解。‎ ‎2、（1）定义域；非奇非偶函数；增区间：，减区间；‎ 值域，图像略。‎ ‎（2）。‎ 五、函数的零点：‎ ‎1、函数零点的定义：‎ 函数的零点就是方程的解，也就是函数的图像与轴交点的横坐标。‎ ‎2、介值定理：‎ 一般地，如果函数在定义区间上是一条连续不断的曲线，且有，那么在区间内至少存在一个实数，使，也就是在内，函数至少有一个零点。‎ ‎3、零点的判断与求法：‎ 例1：对于函数。‎ ‎（1）若是其零点，求实数的值；‎ ‎（2）若在区间上存在零点，求实数的取值范围。‎ 解：（1）由零点的定义知：，所以，即；‎ ‎（2）若在区间上存在零点，则，即，解得，即的取值范围是。‎ 例2：利用二分法求函数的零点（精确到0.1）。‎ 解：函数的定义域是，‎ 且在上是单调增函数，，，‎ 所以函数的零点在区间内，且函数只有一个零点。‎ 取的中点，，所以零点在区间内，‎ 取的中点，，所以零点在区间内，‎ 取的中点，，所以零点在区间内，‎ 取的中点，，所以零点在区间内，‎ 取的中点，，所以零点在区间内，‎ 取中点，而，所以零点在区间内，‎ 因为此区间两端点值精确到0.1的近似值都为1.4，‎ ‎ 所以函数精确到0.1的近似值为1.4。‎ 例3：已知是实数，函数。如果函数在区间上有零点，求实数的取值范围。‎ 解析1：函数在区间[-1，1]上有零点，‎ ‎ 即方程=0在[-1，1]上有解，‎ ‎ a=0时，不符合题意，‎ 所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解 ‎ <=>或 ‎ 或或或a≥1.‎ 所以实数a的取值范围是或a≥1.‎ 解析2：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又 ‎∴=0在[-1，1]上有解，‎ ‎ 在[-1，1]上有解 ‎ 在[-1，1]上有解，问题转化为求函数在[-1，1]上的值域；‎ ‎ 设t=3-2x，x∈[-1，1]，则，t∈[1,5],，‎ 时，，此函数单调递减，时，此函数单调递增，∴y的取值范围是，∴=0在[-1，1]上有解ó∈或。‎ 例4：定义域与值域都为的函数和的图像如图所示，给出下列四个命题：（1）方程有且仅有三个解；（2）方程有且仅有三个解；（3）方程有且仅有九个解；（4）方程有且仅有一个解。那么，其中正确的命题个数有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）‎ A、1个；　　　　　B、2个；　　　　　　C、3个；　　　　　　　D、4个。‎ 解：选 例5：对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：‎ ‎①在内是单调函数；‎ ‎②当定义域是时，的值域也是．‎ 则称是该函数的“和谐区间”．‎ ‎（1）求证：函数不存在“和谐区间”．‎ ‎（2）已知：函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值．‎ ‎（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．‎ ‎（不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的函数为例）‎ 解：（1）设是已知函数定义域的子集．‎ ‎，或，‎ 故函数在上单调递增．‎ 若是已知函数的“和谐区间”，则 ‎ 故、是方程的同号的相异实数根．‎ 无实数根，函数不存在“和谐区间”． ‎ ‎（2）设是已知函数定义域的子集．‎ ‎，或，‎ 故函数在上单调递增．‎ 若是已知函数的“和谐区间”，则 ‎ 故、是方程，即的同号的相异实数根．‎ ‎，，同号，只须，‎ 即或时，已知函数有“和谐区间”，，‎ 当时，取最大值 ‎ ‎（3）如：和谐区间为、，当的区间；‎ ‎ 和谐区间为；等。‎ 作业：《课课精练》 其中 3、4、7、8不做，作业明天上完课再交。‎