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- 2021-06-21 发布
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中学生标准学术能力诊断性测试2019年11月测试
理科数学试卷(二卷)
本试卷共150分,考试时间120分钟.
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合并集的定义求出,根据集体补集的定义求出.
【详解】因为,,所以,又因为集合
,所以,故本题选A.
【点睛】本题考查了集合的并集、补集运算,掌握集合的并集、补集的定义是解题的关键.
2.已知空间三条直线,若l与m异面,且l与n异面,则( )
A. m与n异面 B. m与n相交
C. m与n平行 D. m与n异面、相交、平行均有可能
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意作出图形,进行判断即可.
【详解】解:空间三条直线l、m、n.若l与m异面,且l与n异面,
则可能平行(图1),也可能相交(图2),也m与n可能异面(如图3),
故选D.
【点睛】本题考查空间直线的位置关系,着重考查学生的理解与转化能力,考查数形结合思想,属于基础题.
3.复数满足,则( )
A. 恒等于1 B. 最大值为1,无最小值
C. 最小值为1,无最大值 D. 无最大值,也无最小值
【答案】C
【解析】
【分析】
设复数,其中,,由题意求出,再计算的值.
【详解】解:设复数,其中,,
由,得,
,
解得;
,
即有最小值为1,没有最大值.
故选:.
【点睛】本题考查了复数的概念与应用问题,是基础题.
4.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的表面积(单位:cm2)是( )
A. 16 B. 32 C. 44 D. 64
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图还原原几何体如图,该几何体为三棱锥,底面是直角三角形,底面.然后由直角三角形面积公式求解.
【详解】解:由三视图还原原几何体如图,
该几何体为三棱锥,底面是直角三角形,底面.
则.
该几何体的表面积.
故选:.
【点睛】本题考查由三视图求面积、体积,关键是由三视图还原原几何体,是中档题.
5.已知,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
首先判断由,能不能推出,而后再看由,能不能推出,然后通过充分性、必要性的定义得出答案.
【详解】由不等式,可以构造一个函数:,可以判断该函数为偶函数且时,函数单调递增.当时,而,这时可以为负数、正数、零,因此的大小关系不确定,因此由“”不一定能推出“”.当成立时,利用偶函数的性质,可以得到:
,而,因此有,所以有且,如果,则有,所以,这与矛盾,故,故本题选B.
【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,构造函数,利用函数的性质和不等式的性质是解题的关键.
6.函数y=ln|x|·cos(-2x)的图像可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性,和特殊值,可判断。
【详解】解:
所以函数是奇函数,关于原点对称,故排除;当时,故故排除
故选:
【点睛】本题考查函数的奇偶性及已知函数解析式确定其函数图象问题,属于基础题。
7.已知两个不相等的非零向量,,满足,且与-的夹角为60°,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设,,由已知与的夹角为可得,由正弦定理得,从而可求的取值范围
【详解】解:设,,,
如图所示:
则由
又与的夹角为,
又由
由正弦定理得
故选:.
【点睛】本题主考查了向量的减法运算的三角形法则,考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质,属于中档题.
8.已知随机变量ξ的分布列,则下列说法正确的是( )
A. 存x,y∈(0,1),E(ξ)> B. 对任意x,y∈(0,1),E(ξ)≤
C. 对任意x,y∈(0,1),D(ξ)≤E(ξ) D. 存在x,y∈(0,1),D(ξ)>
【答案】C
【解析】
【分析】
表示出期望与方差,利用基本不等式证明不等关系。
【详解】解:依题意可得,
因为
所以即故,错误;
即,故成立;
故错误
故选:
【点睛】本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算,属于难题。
9.设函数,若,则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意构造新函数,结合所给条件和函数的性质确定的取值范围即可.
【详解】令,其中,
取可得
取可得
取可得
由可得:,
将代入可得:.
故选A.
【点睛】本题主要考查构造函数解题的方法,整体代换的数学思想等知识,属于比较困难的试题.
10.已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,使得点F2到直线PF1的距离为a,则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设过且与一条渐近线平行的直线的方程,依题意在双曲线右支上存在点P,使得点到直线的距离为,则点到直线距离大于,可求出与的关系,即可求出离心率的取值范围。
【详解】解:双曲线的渐近线为,由极限思想,设过且与一条渐近线平行的直线的方程为即,依题意若在双曲线右支上存在点P,使得点到直线的距离为,则点到直线距离大于,即
即
故选:
【点睛】本题考查双曲线中离心率的范围的求解,极限思想的运用,属于中档题。
11.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E,F分别是边AB,CD的中点,现将△ABC沿着对角线AC翻折,则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系,设二面角为,用含的式子表示点坐标,利用向量法表示出线面角的正弦值的平方,构造函数利用函数的单调性求出,即可求出线面角的正切值的最大值。
【详解】解:如图,
以的中点为坐标原点,建立空间直角坐标系,设二面角为,可证,设棱形的边长为,则,,,,,
易知平面的法向量
设直线与平面所成角为,则
令,
则时即在上单调递增;
时即在上单调递减;
则
故选:
【点睛】本题考查利用空间向量法求线面角的最值问题,综合性比较强,难度比较大。
12.己数列{an}满足a1=1,an+1=lnan++1,记Sn=[a1]+ [a2]+···+[an],[t]表示不超过t的最大整数,则S2019的值为( )
A. 2019 B. 2018 C. 4038 D. 4037
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出数列的前几项,猜想时构造函数证明猜想是正确的,即可求出.
【详解】解:依题意得,,
可猜想时
证明:令
则
可得在单调递减,在单调递增.
即
,满足条件,故猜想正确;
故选:
【点睛】本题考查由递推公式求数列的和,综合性较强,难度比较大。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为_________
【答案】
【解析】
由直线y=kx与圆相交得
所以概率为 .
14.如图,在△ABC中,AB>AC,BC=,A=60°,△ABC的面积等于,则角平分线AD的长等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知利用三角形的面积公式可求,由余弦定理可得,联立解得:
,根据余弦定理可求的值,利用角平分线可得,结合,解得的值,在中,由余弦定理可得的值.
【详解】解:,,的面积等于,
解得:,①
由余弦定理,
可得:,
解得:,②
由①②联立解得:,或(由于,舍去).
, 为角平分线,可得,且,
解得:,
在中,由余弦定理可得:
.
故答案为: .
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式,余弦定理,同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
15.已知数列{an}满足an+an+1=15-2n,其前n项和为Sn,若Sn≤S8恒成立,则a1的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意设,由递推式表示出、,要使恒成立则解得。
【详解】解:设,因为,则,,,,,,,,;
可知数列奇数项是递减的,且偶数项也是递减的.
且当时
当时
要使恒成立
则解得即
故答案为:
【点睛】本题考查数列的递推关系式及数列的前项和的性质,属于中档题。
16.已知P为椭圆C:上一个动点,F1、F2是椭圆C的左、右焦点,O为坐标原点,O到椭圆C在P点处的切线距离为d,若,则d=__________.
【答案】
【解析】
【分析】
计算,的值得出点坐标,再求出切线方程,利用点到直线的距离公式计算.
【详解】解:设,,则,
不妨设在第一象限,则,,
故以为圆心以为半径的圆为:,①
以为圆心以为半径的圆为:,②
①②得:,代入椭圆方程可得:,
故,,
当时,由得,故,
椭圆在处的切线的斜率.
切线方程为:,即,
原点到切线的距离.
故答案为:.
【点睛】本题考查了椭圆的性质,切线的求法,点到直线的距离应用,属于中档题.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:60分.
17.已知函数f(x)=sinx-cosx
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若f(B)=,b=3,求△ABC面积的最大值.
【答案】(1),;(2).
【解析】
【分析】
(1)利用辅助角公式将函数化简,根据正弦函数的单调性求出函数的单调区间;
(2)由(1)可求利用余弦定理及重要不等式,可求面积最大值。
【详解】解:
(1)令,解得
,
故函数的单调递增区间为,
(2)由
或,
或,
是三角形的内角,
即
当且仅当时, 的面积取最大值是
【点睛】本题考查三角函数的性质,余弦定理在解三角形中的应用,属于一般题。
18.如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD//BC,BC=2AD,AD⊥CD,PD⊥平面ABCD,E为PB的中点.
(1)求证:AE//平面PDC;
(2)若BC=CD=PD,求直线AC与平面PBC所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
【分析】
(1)取的中点,连结、,推导出四边形是平行四边形,从而,由此能证明平面.
(2)推导出,由,得,再推导出,,从而平面,,,,进而平面,连结,,则就是直线与平面所成角,由此能求出直线与平面所成角的余弦值.
【详解】解:(1)证明:取的中点,连结、,
是的中点,,且,
,,,且,
四边形是平行四边形,,
又平面,平面.
(2)解:,是等腰三角形,
,又,,
平面,平面,
,又,平面,
平面,,,
又,平面,
连结,,则就是直线与平面所成角,
设,
在中,解得,,,
在中,解得,
在中,,
直线与平面所成角的余弦值为.
【点睛】本题考查线面平行的证明,考查线面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
19.已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球,现从甲,乙两个盒内各取2个球.
(1)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;
(2)设ξ为取出的4个球中红球的个数,求ξ的分布列和数学期望.
【答案】(1);(2)分布列见解析,
【解析】
【分析】
(1)设事件“从甲盒内取出的个红球;事件为“从乙盒内取出的个红球”,表示出事件的概率,取出的4个球中恰有1个红球的,包含两个基本事件,利用互斥事件和概率计算公式计算;
(2)为取出的4个球中红球的个数,则可能的取值为0,1,2,3,4,结合(1)中信息分别求出相应的概率,写出分布列即可.
【详解】(1)设事件“从甲盒内取出个红球;事件为“从乙盒内取出的个红球”
则,
设事件为“取出的4个球中恰有1个红球”,
取出的4个球中恰有1个红球的概率为,
(2)可能的取值为0,1,2,3,4.
由(1)得,,,
,,
则的分布列为:
0
1
2
3
4
即
【点睛】本题考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列,考查运用概率知识解决实际问题的能力.
20.如图,斜率为k的直线l与抛物线y2=4x交于A、B两点,直线PM垂直平分弦AB,且分别交AB、x轴于M、P,已知P(4,0).
(1)求M点的横坐标;
(2) 求面积的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)设,,,,,,运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公式,解方程可得所求坐标;
(2)设直线即,与抛物线联立,运用韦达定理和弦长公式,以及点到直线的距离公式,化简整理,运用导数判断单调性,可得最大值.
【详解】解:(1)设,,,,,,
则,,,
,
而,
由得,即;
(2)设直线即,
与抛物线联立得,
则,,
所以,
而到直线的距离为,
所以,
又由于,
所以,
令,则且,
所以,
令,
则,
当,,当时,,
故,
即面积的最大值为8.
【点睛】本题考查抛物线的方程和性质,直线和抛物线方程联立,运用韦达定理和弦长公式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
21.已知函数.
(1)若a=0,求函数f(x)值域;
(2)设函数f(x)的两个零点为x1,x2,且x1≠x2,求证:x1·x2>e2.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)求出函数的导数,即可计算出函数的最大值,即可求出函数的值域。
(2)因为可得,设则,要证即证构造函数证明其恒大于零即可。
【详解】解(1)当时,
令解得
当时,,在上单调递增,
当时,,在上单调递减,
即函数的值域为
(2)不妨设,
即
设
要证
即证
即
设
在单调递增,
即
【点睛】本题考查导数与函数,利用导数求函数的最值及证明不等式,属于难题。
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点P的极坐标为,直线l的极坐标方程为.
(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程;
(2)若Q是曲线C上的动点,M为线段PQ的中点,直线l上有两点A,B,始终满足|AB|=4,求△MAB面积的最大值与最小值.
【答案】(1),;(2)最大值为,最小值为.
【解析】
【分析】
(1)由,,可将直线的方程转化为直角坐标方程,由曲线的参数方程消去参数,可得其普通方程;
(2)设,由条件可得,再由到直线的距离求出最值即可.
【详解】解:(1)直线的极坐标方程为,即.
由,,可得直线的直角坐标方程为,
将曲线参数方程,消去参数,
得曲线的普通方程为;
(2)设,,
点的极坐标化为直角坐标为,
则,
点到直线的距离,其中
所以
面积的最大值为,最小值为
【点睛】本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程,参数方程转化为普通方程和利用参数法求点到直线的距离,考查了转化思想和计算能力,属中档题.
23.已知a,b,c为正实数,且满足a+b+c=3.证明:
(1)ab+bc+ac≤3;
(2).
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用重要不等式证明;
(2)由基本不等式有:,,,三式相加可得:,即可证明.
【详解】(1)证明:正实数,,满足,
,,
当且仅当时等号成立
(2),,
当且仅当时等号成立
【点睛】本题考查了重要不等式、基本不等式的性质,属于基础题.
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