2020高中数学 课时分层作业11 定积分的简单应用 新人教A版选修2-2 7页

课时分层作业(十一)　定积分的简单应用 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．用S表示图176中阴影部分的面积，则S的值是(　　)‎ 图176‎ D　[在区间[a，b]上图形在x轴下方，积分为负值，‎ ‎∴S＝f(x)dx－f(x)dx.故选D.]‎ ‎2．如图177，阴影部分的面积是(　　)‎ 图177‎ A．2　　　　　　 B．2－ C． D． C　[S＝ (3－x2－2x)dx＝＝.]‎ ‎3．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为(　　)‎ A．44 J B．46 J 7‎ C．48 J D．50 J B　[W＝F(x)dx＝10dx＋ (3x＋4)dx ‎＝10x＋＝46(J)．]‎ ‎4．以初速度‎40 m/s竖直向上抛一物体，t s时速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为(　　)‎ ‎ 【导学号：31062103】‎ A. m B. m C. m D. m A　[v＝0时物体达到最高，‎ 此时40－10t2＝0，则t＝2 s.‎ 又∵v0＝‎40 m/s，∴t0＝0 s.‎ ‎∴h＝‎ ‎5．如果1 N的力使弹簧伸长‎1 cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长‎10 cm，拉力所做的功为(　　)‎ A．0.5 J B．1 J C．50 J D．100 J A　[由于弹簧所受的拉力F(x)与伸长量x成正比，依题意，得F(x)＝x，为了将弹簧拉长‎10 cm，拉力所做的功为W＝F(x)dx＝xdx＝＝50(N·cm)＝0.5(J)．]‎ 二、填空题 ‎6．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c＞0)围成图形的面积是，则c＝________.‎ ‎[解析]　由得 由题意可知 ‎[答案]　 ‎7．质点运动的速度是(18t－3t2)m/s，质点在[0,8]时间段内所通过的路程为________. ‎ 7‎ ‎【导学号：31062104】‎ ‎[解析]　路程s＝ (18t－3t2)dt＋ (3t2－18t)dt ‎＝(9t2－t3) ＋(t3－9t2) ＝9×62－63＋83－9×82－63＋9×62＝152(m)．‎ ‎[答案]　152(m)‎ ‎8．如图178，阴影部分是由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________．‎ 图178‎ ‎[解析]　S＝dx＋dx ‎＝x＋ln x ‎＝＋ln 2.‎ ‎[答案]　＋ln 2‎ 三、解答题 ‎9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图179所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值．‎ 图179‎ ‎[解]　由图知方程f(x)＝0有三个实根，‎ 其中有两个相等的实根x1＝x2＝0，‎ 于是b＝0，‎ 所以f(x)＝x2(x＋a)．‎ 有 [0－(x3＋ax2)]dx 7‎ ‎＝－＝，‎ 所以a＝±3.‎ 又－a＞0⇒a＜0，‎ 所以a＝－3.‎ ‎10．一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求：‎ ‎(1)此点在t＝4 s时的位置；‎ ‎(2)此点在t＝4 s时运动的路程. ‎ ‎ 【导学号：31062105】‎ ‎[解]　因为位置决定于位移，所以它是v(t)在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]上哪些时间段的位移为负．‎ ‎(1)在t＝4 s时，该点的位移为 即在t＝4 s时该点在距出发点 m处．‎ ‎(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，‎ ‎∴在区间[0,1]及[3,4]上，v(t)≥0，‎ 在区间[1,3]上，v(t)≤0，∴该点在t＝4 s时的路程为 S＝ (t2－4t＋3)dt＋ (t2－4t＋3)dt＝ (t2－4t＋3)dt－ (t2－4t＋3)dt＋ (t2－4t＋3)dt＝4(m)．‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.已知二次函数y＝f(x)的图象如图1710所示，则它与x轴所围成的图形的面积为(　　)‎ 图1710‎ A. B. C. D. B　[由图可知f(x)＝－x2＋1.∴f(x)与x轴围成的图形的面积S＝‎ 7‎ ‎ (1－x2)dx＝＝－＝＋＝.]‎ ‎2．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)‎ A．1＋25ln 5 B．8＋25ln C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2‎ C　[令v(t)＝0，‎ 得t＝4或t＝－(舍去)，‎ ‎∴汽车行驶距离s＝‎ ‎＝7t－t2＋25ln(1＋t) ‎＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.]‎ ‎3．抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成的面积为________．‎ ‎[解析]　由y′＝－2x＋4，得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两切线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6.‎ 由得C(2,2)．‎ ‎∴S＝S△ABC－ (－x2＋4x－3)dx ‎＝‎ ‎＝2－＝.‎ ‎[答案]　 ‎4．如图1711所示，一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B，C运动到D，其中AB＝‎50 m，BC＝‎40 m，CD＝‎30 m，变力F＝(单位：N)，在AB段运动时F与运动方向成30°角，在BC段运动时F与运动方向成45°角，在CD段运动时F与运动方向相同，则物体由A运动到D所做的功为________．(≈1.732，≈1.414，精确到1 J) ‎ ‎【导学号：31062106】‎ 7‎ 图1711‎ ‎[解析]　在AB段运动时F在运动方向上的分力F1＝Fcos 30°，在BC段运动时F在运动方向上的分力F2＝Fcos 45°.‎ 由变力做功公式得：‎ W＝cos 45°dx＋600‎ ‎＝＋600‎ ‎＝ ＋450＋600≈1 723(J)．‎ 所以物体由A运动到D变力F所做的功为1 723 J.‎ ‎[答案]　1 723 J ‎5．已知S1为直线x＝0，y＝4－t2及y＝4－x2所围成图形的面积，S2为直线x＝2，y＝4－t2及y＝4－x2所围成图形的面积(t为常数)．‎ 图1712‎ ‎(1)若t＝，求S2；‎ ‎(2)若t∈(0,2)，求S1＋S2的最小值．‎ ‎[解]　(1)当t＝时，‎ ‎(2)当t∈(0,2)时，S1＝ [(4－x2)－(4－t2)]dx ‎＝.‎ S2＝ [(4－t2)－(4－x2)]dx 7‎ ‎＝.‎ 所以S＝S1＋S2＝t3－2t2＋.‎ S′＝4t2－4t＝4t(t－1)，‎ 令S′＝0，得t＝0(舍去)或t＝1，‎ 当0＜t＜1时，S′＜0，S单调递减，‎ 当1＜t＜2时，S′＞0，S单调递增，‎ 所以当t＝1时，Smin＝2.‎ 7‎