江苏省连云港高级中学2013届高三第三次联考数学试题 8页

数学I（正题）‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷分填空题和解答题两部分，共160分．考试用时120分钟．‎ ‎2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸的密封线内．答题时，填空题和解答题的答案写在答题纸上对应题目的空格内，答案写在试卷上无效．本卷考试结束后，上交答题纸．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．‎ ‎1.集合的所有子集个数为____▲____.‎ ‎2.设(为虚数单位),则=____▲____.‎ ‎（第4题）‎ ‎3.在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的，则中间一组的频数为 ▲ .‎ ‎4. 根据右图的算法，输出的结果是 ▲ ．‎ ‎5.设变量满足约束条件，则 目标函数的最小值是 ▲ .‎ ‎6. 已知、表示两个不同的平面，是平面内的一条直线，则“”是“”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要” 、“既不充分也不必要”之一）‎ ‎7. 若以连续掷两次骰子得到的点数分别为点的横、纵坐标，则点在圆内的概率为____▲____. ‎ ‎8. 若，，则＝____▲____.‎ ‎9. 在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线的左、右焦点，△ABC 的顶点C在双曲线的右支上，则的值是 ▲ ； ‎ ‎10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝1200，AB＝AC＝2，D为BC边上 的点，且，，则____▲____.‎ ‎11. 已知，若对任意两个不等 的正实数都有＞3恒成立，则实数的取值范围是 ▲ . ‎ ‎12. 设，a＞0，函数＝的最小值为25，则实数a＝____▲____.‎ ‎13. 已知数列，满足，，，且对任意的正整数，当时，都有，则的值是____▲____.‎ ‎14. 我们把形如的函数因其图像类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心画圆，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当时，在所有的“囧圆”中，圆的面积的最小值为____▲____.‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.（本小题满分14分） 已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）已知，且，求α的值．‎ ‎16.（本小题满分14分）如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.‎ ‎ （1） 求证：平面AEC⊥平面ABE；‎ ‎ （2） 点F在BE上，若DE∥平面ACF，求的值．‎ ‎ ‎ ‎17. (本题满分14分)‎ 第17题 如图,某小区准备在一直角围墙内的空地上植造一块“绿地”,其中长为定值, 长可根据需要进行调节(足够长).现规划在的内接正方形内种花,其余地方种草,且把种草的面积与种花的面积的比值称为“草花比”.‎ ‎（1）设,将表示成的函数关系式；‎ ‎ （2）当为多长时,有最小值?最小值是多少? ‎ ‎18. （本小题满分16分）已知椭圆E：的左焦点为F，左准线与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点. ‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）若直线FG与直线交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；‎ ‎（3）在平面上是否存在定点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎19.（本小题满分16分）已知函数图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底，）；‎ ‎（3）令，如果图象与轴交于，AB中点为，求证：．‎ ‎[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ ‎20．（本小题满分16分）已知数列{}中，a1＝1，an＋an＋1＝2n (n∈N*)，bn＝3an.‎ ‎(1) 试证数列{}是等比数列，并求数列{ bn }的通项公式．‎ ‎(2) 在数列{ bn }中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由．‎ ‎(3) 试证在数列{bn}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r，s，使得b1，br，bs成等差数列；并求出正整数r，s之间的关系．‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎2013届高三年级第三次检测数学试题参考答案 一、填空题：‎ ‎16.解：（1）证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥BC；‎ 第16题图 又因为平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB面ABCD，‎ 所以AB⊥平面BCE， ……………………3分 因为CE平面BCE，所以CE⊥AB ………………3分 又因为CE⊥BE，AB面ABE，BE 面ABE，AB∩BE＝B，‎ 所以CE⊥面ABE ………………6分 又CE平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABE；…………………8分 ‎（2）连结BD交AC于点O，连结OF，‎ 因为DE∥平面ACF，DE平面BDE，平面ACF∩平面BDF＝OF，‎ ‎ 所以DE∥OF， ………………12分 又因为矩形ABCD中，O为BD中点，‎ 所以F为BE的中点，从而BF：BE＝1：2． ………………………14分 ‎18. 解：（1）由椭圆E：，得：，，，‎ 又圆C过原点，所以圆C的方程为．………………………………4分 ‎（2）由题意，得，代入，得，‎ 所以的斜率为，的方程为， …………………8分 ‎（注意：若点G或FG方程只写一种情况扣1分）‎ 所以到的距离为，直线被圆C截得弦长为．‎ 故直线被圆C截得弦长为7．…………………………………………………………10分[来源:学科网ZXXK]‎ ‎（3）设，，则由，得，[来源:学|科|网]‎ 整理得①，…………………………12分 又在圆C：上，所以②，‎ ‎②代入①得， …………………………14分 又由为圆C 上任意一点可知，解得．‎ 所以在平面上存在一点P，其坐标为． …………………………16分 ‎[来源:学科网]‎ ‎（3），．‎ 假设结论成立，则有 ① ‎－②，得． ∴．‎ 由④得，‎ ‎∴．即． 即．⑤ …………………… 14分 ‎ 令，（0＜t＜1)，‎ 则＞0．∴在0＜t＜1上增函数． ‎ ‎，∴⑤式不成立，与假设矛盾．‎ ‎∴． ………………………………… 16分 ‎20．解： (1) 证明：由an＋an＋1＝2n，得an＋1＝2n －an ，‎ 所以＝＝＝－1.‎ 又因为a1－＝，所以数列{an－×2n}是首项为，公比为－1的等比数列．……4分 所以an－×2n＝×(－1)n－1，即an＝[2n－(－1)n]，所以bn＝2n－(－1)n. ………6分