2020年高中数学第二章数列 4页

第1课时 等差数列的前n项和公式 ‎[课时作业]页 ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于(　　)‎ A．5或7　　　　　　　 B．3或5‎ C．7或－1 D．3或－1‎ 解析：由题意，得即 解得或 答案：D ‎2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d为(　　)‎ A．7 B．6‎ C．3 D．2‎ 解析：由S2＝4，S4＝20，得‎2a1＋d＝4,‎4a1＋6d＝20，解得d＝3.‎ 答案：C ‎3．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10等于(　　)‎ A．138 B．135‎ C．95 D．23‎ 解析：由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，可知d＝3，a1＝－4.∴S10＝－40＋×3＝95.‎ 答案：C ‎4．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于(　　)‎ A．12 B．13‎ C．14 D．15‎ 解析：由S5＝‎5a3＝25，∴a3＝5.‎ ‎∴d＝a3－a2＝5－3＝2.‎ ‎∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.‎ 答案：B ‎5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于(　　)‎ A．9 B．8‎ C．7 D．6‎ 解析：当n＝1时，a1＝S1＝－8；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－9n)－[(n－1) 2－9(n－1)]＝2n－10.‎ 综上可得数列{an}的通项公式an＝2n－10.‎ 所以ak＝2k－10.令5＜2k－10＜8，解得k＝8.‎ 4‎ 答案：B ‎6．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．‎ 解析：∵n≥2时，an＝an－1＋，且a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列，所以S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.‎ 答案：27‎ ‎7．等差数列{an}中，若a10＝10，a19＝100，前n项和Sn＝0，则n＝________.‎ 解析：，∴d＝10，a1＝－80.‎ ‎∴Sn＝－80n＋×10＝0，‎ ‎∴－80n＋5n(n－1)＝0，n＝17.‎ 答案：17‎ ‎8．等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，则S13＝________.‎ 解析：因为a1＋a13＝a2＋a12＝‎2a7，‎ 又a2＋a7＋a12＝24，‎ 所以a7＝8.‎ 所以S13＝＝13×8＝104.‎ 答案：104‎ ‎9．在等差数列{an}中：‎ ‎(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；‎ ‎(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.‎ 解析：(1)由已知条件得 解得 ‎∴S10＝‎10a1＋d＝10×3＋×4＝210.‎ ‎(2)S7＝＝‎7a4＝42，‎ ‎∴a4＝6.‎ ‎∴Sn＝＝＝＝510.‎ ‎∴n＝20.‎ ‎10．在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15，‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值．‎ 4‎ 解析：(1)设{an}的首项，公差分别为a1，d.‎ 则 解得a1＝－9，d＝3，‎ ‎∴an＝3n－12.‎ ‎(2)Sn＝＝(3n2－21n)‎ ‎＝2－，‎ ‎∴当n＝3或4时，前n项的和取得最小值为－18.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．Sn是等差数列{an}的前n项和，a3＋a6＋a12为一个常数，则下列也是常数的是(　　)‎ A．S17 B．S15‎ C．S13 D．S7‎ 解析：∵a3＋a6＋a12为常数，∴a2＋a7＋a12＝‎3a7为常数，∴a7为常数．又S13＝‎13a7，∴S13为常数．‎ 答案：C ‎2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ 解析：am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，‎ ‎∴d＝am＋1－am＝1，由Sm＝＝0，‎ 知a1＝－am＝－2，am＝－2＋(m－1)＝2，‎ 解得m＝5.‎ 答案：C ‎3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于________．‎ 解析：由等差数列的性质，＝＝＝，‎ ‎∴＝＝×＝1.‎ 答案：1‎ ‎4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项和为180，Sn＝324(n>6)，则数列的项数n＝________，a9＋a10＝________.‎ 解析：由题意，可知a1＋a2＋…＋a6＝36　①，an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180　②，由①＋‎ 4‎ ‎②，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36.又Sn＝＝324，∴18n＝324，∴n＝18，∴a1＋a18＝36，∴a9＋a10＝a1＋a18＝36.‎ 答案：18　36‎ ‎5．等差数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.‎ 解析：a1＝S1＝101，当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝－n2＋n－＝－3n＋104，a1＝S1＝101也适合上式，所以an＝－3n＋104，令an＝0，n＝34，故n≥35时，an<0，n≤34时，an>0，所以对数列{|an|}，n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝－n2＋n，‎ 当n≥35时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a34－a35－…－an ‎＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S34－Sn＝n2－n＋3 502，‎ 所以Tn＝ ‎6．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.‎ 解析：设等差数列{an}的公差为d，‎ 则Sn＝na1＋n(n－1)d，‎ ‎∵S7＝7，S15＝75，‎ ‎∴ 即解得 ‎∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，‎ ‎∵－＝，‎ ‎∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，‎ ‎∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.‎ 4‎