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‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分）‎ ‎1. 如图，在正四棱锥P−ABCD中，∠APC=60°，则二面角A−PB−C的平面角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 设实数a使得不等式|2x−a|+|3x−‎2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（ ）‎ A. B. C. D. [−3，3]‎ ‎3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a−2b+10>0成立的事件发生的概率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意实数x恒成立，则的值等于（ ）‎ A. B. C. −1 D. 1‎ ‎5. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（ ）‎ ‎6. 已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（ ）‎ A. 62 B. ‎66 ‎C. 68 D. 74‎ 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）‎ ‎7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A(−3，0)，B(1，−1)，C(0，3)，D(−1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为__________。‎ ‎8. 在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，‎ ‎，若，则与的夹角的余弦值等于________。‎ ‎9. 已知正方体ABCD−A1B‎1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。‎ ‎10. 已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数。若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于________。‎ ‎11. 已知函数，则f(x)的最小值为________。‎ ‎12. 将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。‎ 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）‎ ‎13. 设，求证：当正整数n≥2时，an+10成立的事件发生的概率等于（ D ）‎ A. B. C. D. ‎ 解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。由不等式a−2b+10>0得2b0…(1)，…(2)，…(3)，由此解得。对求导，得，则，，于是直线l1的方程为，即，化简后得到直线l1的方程为…(4)。同理可求得直线l2的方程为…(5)。(4)−(5)得，因为x1≠x2，故有…(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2。(4)+(5)得…(7)，其中，，代入(7)式得2yp=(3−2k)xp+2，而xp=2，得yp=4−2k。又由得，即点P的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）。‎ ‎15. 设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，4)满足：（1）对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+π)=fi(x)；（2）对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。‎ 证明：记，，则f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，对任意的x∈R，g(x+2π)=g(x)，h(x+2π)=h(x)。令 ‎，，，，其中k为任意整数。‎ 容易验证fi(x)，i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈R，fi(x+π)=fi(x)，i=1，2，3，4。下证对任意的x∈R，有f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。当时，显然成立；当时，因为，而 ‎，故对任意的x∈R，f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。‎ 下证对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。当时，显然成立；当x=kπ时，h(x)=h(kπ)=h(kπ−2kπ)=h(−kπ)=−h(kπ)，所以h(x)=h(kπ)=0，而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0，故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x；当时，‎ ‎，故，又f4(x)sin2x=0，从而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x。‎ 于是，对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。综上所述，结论得证。‎ ‎ ‎