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  • 2021-06-21 发布

浙江专用2020高考数学二轮复习专题一集合常用逻辑用语函数与导数不等式第1讲集合常用逻辑用语教案

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第1讲 集合、常用逻辑用语 集合的概念及运算 ‎[核心提炼]‎ ‎1.集合的运算性质及重要结论 ‎(1)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A;‎ ‎(2)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A;‎ ‎(3)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U;‎ ‎(4)A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.‎ ‎2.集合运算中的常用方法 ‎(1)若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解;‎ ‎(2)若已知的集合是点集,用数形结合法求解;‎ ‎(3)若已知的集合是抽象集合,用Venn图求解.‎ ‎[典型例题]‎ ‎ (1)(2018·高考浙江卷)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁UA=(  )‎ A.∅ B.{1,3}‎ C.{2,4,5} D.{1,2,3,4,5}‎ ‎(2)(2019·高考浙江卷)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则∩B=(  )‎ A.{-1} B.{0,1}‎ C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,3}‎ ‎(3)(2019·金华模拟)已知集合U={1,2,3,4,5,6},S={1,2,5},T={2,3,6},则S∩(∁UT)=________,集合S共有________个子集.‎ ‎【解析】 (1)因为U={1,2,3,4,5},A={1,3},‎ 所以∁UA={2,4,5},故选C.‎ ‎(2)由题意可得∁UA={-1,3},则(∁UA)∩B={-1}.故选A.‎ ‎(3)集合U={1,2,3,4,5,6},‎ S={1,2,5},T={2,3,6},‎ 所以∁UT={1,4,5},‎ 所以S∩(∁UT)={1,5},‎ S={1,2,5}的子集的个数为23=8.‎ ‎【答案】 (1)C (2)A (3){1,5} 8‎ - 18 -‎ 集合的运算与不等式相结合问题求解策略 解决此类问题的思路主要有两个:一是直接法,即先化简后运算,也就是先解不等式求出对应集合,然后利用数轴表示,从而求得集合运算的结果;二是间接法,由于此类问题多以选择题的形式进行考查,故可根据选项的差异性选取特殊元素进行验证,排除干扰项从而得到正确选项.  ‎ ‎[对点训练]‎ ‎1.(2019·宁波市高考模拟)已知全集U=A∪B=,A∩(∁UB)=,则B=(  )‎ A. ‎ B. C. ‎ D. 解析:选C.因为U=A∪B=,‎ 又因为A∩(∁UB)=,‎ 所以B=,故选C.‎ ‎2.(2019·温州二模)已知集合A={x||x-1|≤2},B={x|049成立,则当k≥8时,均有f(k)0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2)(2018·高考浙江卷)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解析】 (1)通解:因为a>0,b>0,所以a+b≥2,由a+b≤4可得2≤4,解得ab≤4,所以充分性成立;当ab≤4时,取a=8,b=,满足ab≤4,但a+b>4,所以必要性不成立.所以“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.故选A.‎ 优解:在同一直角坐标系内作出函数b=4-a,b=的图象,如图所示,则不等式a+b≤4与 - 18 -‎ ab≤4表示的平面区域分别是直线a+b=4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b=及其左下方(第一象限中的部分),易知当a+b≤4成立时,ab≤4成立,而当ab≤4成立时,a+b≤4不一定成立.故选A.‎ ‎(2)若m⊄α,n⊂α,m∥n,由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α,m⊄α,n⊂α,不一定推出m∥n,直线m与n可能异面,故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.故选A.‎ ‎【答案】 (1)A (2)A 判断充分、必要条件时应关注的三点 ‎(1)要弄清先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A.‎ ‎(2)要善于举出反例:当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以通过举出恰当的反例来说明.‎ ‎(3)要注意转化:¬p是¬q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件;¬p是¬q的充要条件⇔p是q的充要条件.  ‎ ‎[对点训练]‎ ‎1.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选C.因为{an}为等差数列,所以S4+S6=4a1+6d+6a1+15d=10a1+21d,2S5=10a1+20d,S4+S6-2S5=d,所以d>0⇔S4+S6>2S5,故选C.‎ ‎2.(2019·高三“吴越联盟”)已知a,b∈R,则使|a|+|b|>4成立的一个充分不必要条件是(  )‎ A.|a|+|b|≥4        B.|a|≥4‎ C.|a|≥2且|b|≥2 D.b<-4‎ 解析:选D.由b<-4可得|a|+|b|>4,但由|a|+|b|>4得不到b<-4,如a=1,b=5.‎ ‎3.设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:“+>+”是“|a-b|<|c-d|”的充要条件.‎ 证明:充分性:‎ 因为+>+,‎ 则(+)2>(+)2,‎ - 18 -‎ 即a+b+2>c+d+2.‎ 因为a+b=c+d,所以ab>cd,‎ 于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.‎ 因此|a-b|<|c-d|.‎ 必要性:‎ 因为|a-b|<|c-d|,‎ 则(a-b)2<(c-d)2,‎ 即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.‎ 因为a+b=c+d,所以ab>cd,‎ 所以(+)2>(+)2,‎ 即+>+.‎ 综上,“+>+”是“|a-b|<|c-d|”的充要条件.‎ 专题强化训练 ‎[基础达标]‎ ‎1.已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)=(  )‎ A.[2,3] B.(-2,3]‎ C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)‎ 解析:选B.由于Q={x|x≤-2或x≥2},∁RQ={x|-2<x<2},故得P∪(∁RQ)={x|-2<x≤3}.故选B.‎ ‎2.(2019·金华模拟)已知集合A={y|y=log2x,x>2},B={y|y=,x<1},则A∩B=(  )‎ A.(1,+∞) B. C. D. 解析:选A.法一:因为A={y|y=log2x,x>2}={y|y>1},B={y|y=,x<1}={y|y>},所以A∩B={y|y>1},故选A.‎ 法二:取2∈A∩B,则由2∈A,得log2x=2,解得x=4>2,满足条件,同时由2∈B,得=2,x=-1,满足条件,排除选项B,D;取1∈A∩B,则由1∈A,得log2x=1,解得x=2,不满足x>2,排除C,故选A.‎ ‎3.(2019·温州市统一模拟考试)已知集合A={1,2,3},B={x|x2-3x+a=0,a∈A},若A∩B≠∅,则a的值为(  )‎ - 18 -‎ A.1 B.2‎ C.3 D.1或2‎ 解析:选B.当a=1时,B中元素均为无理数,A∩B=∅;当a=2时,B={1,2},A∩B={1,2}≠∅;当a=3时,B=∅,则A∩B=∅,故a的值为2,选B.‎ ‎4.(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知a,b为两个非零向量,设命题p:|a·b|=|a||b|,命题q:a与b共线,则命题p是命题q成立的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选C.|a·b|=|a||b|⇔|a||b||cos〈a,b〉|=|a||b|⇔cos〈a,b〉=±1⇔a∥b,故是充要条件,选C.‎ ‎5.(2019·衢州质检)已知全集U为R,集合A={x|x2<16},B={x|y=log3(x-4)},则下列关系正确的是(  )‎ A.A∪B=R B.A∪(∁UB)=R C.(∁UA)∪B=R D.A∩(∁UB)=A 解析:选D.因为A={x|-44},‎ 所以∁UB={x|x≤4},所以A∩(∁UB)=A,故选D.‎ ‎6.“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(  )‎ A.m> B.0<m<1‎ C.m>0 D.m>1‎ 解析:选C.若不等式x2-x+m>0在R上恒成立,则Δ=(-1)2-4m<0,解得m>,因此当不等式x2-x+m>0在R上恒成立时,必有m>0,但当m>0时,不一定推出不等式在R上恒成立,故所求的必要不充分条件可以是m>0,故选C.‎ ‎7.设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的(  )‎ A.充要条件 ‎ B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 ‎ D.既不充分也不必要条件 解析:选C.由题意得,an=a1qn-1(a1>0),a2n-1+a2n=a1q2n-2+a1q2n-1=a1q2n-2(1+q).若q<0,因为1+q的符号不确定,所以无法判断a2n-1+a2n的符号;反之,若a2n-1+a2n<0,即a1q2n-2(1+q)<0,可得q<-1<0.故“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的必要而不充分条件,故选C.‎ ‎8.下列命题中为真命题的是(  )‎ - 18 -‎ A.命题“若x>1,则x2>1”的否命题 B.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题 C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若tan x=,则x=”的逆否命题 解析:选B.对于选项A,命题“若x>1,则x2>1”的否命题为“若x≤1,则x2≤1”,易知当x=-2时,x2=4>1,故选项A为假命题;对于选项B,命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y”,分析可知选项B为真命题;对于选项C,命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,易知当x=-2时,x2+x-2=0,故选项C为假命题;对于选项D,命题“若tan x=,则x=”的逆否命题为“若x≠,则tan x≠”,易知当x=时,tan x=,故选项D为假命题.综上可知,选B.‎ ‎9.(2019·浙江五校联考模拟)已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,下列命题不正确的是(  )‎ A.平面ACB1∥平面A1C1D,且两平面的距离为 B.点P在线段AB上运动,则四面体PA1B1C1的体积不变 C.与所有12条棱都相切的球的体积为π D.M是正方体的内切球的球面上任意一点,N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点,则|MN|的最小值是 解析:选D.A.因为AB1∥DC1,AC∥A1C1,‎ 且AC∩AB1=A,‎ 所以平面ACB1∥平面A1C1D,‎ 正方体的体对角线BD1=,‎ 设B到平面ACB1的距离为h,‎ 则VBAB1C=××1×1×1=××××h,即h=,‎ 则平面ACB1与平面A1C1D的距离d=-2h=-2×=,故A正确.‎ B.点P在线段AB上运动,则四面体PA1B1C1的高为1,底面积不变,则体积不变,故B - 18 -‎ 正确,‎ C.与所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C=,则2R=,R=,则球的体积V=πR3=×π×()3=π,故C正确.‎ D.设正方体的内切球的球心为O,正方体的外接球的球心为O′,‎ 则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球O′的一个小圆,‎ 因为点M在正方体的内切球的球面上运动,点N在三角形ACB1的外接圆上运动,‎ 所以线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球的半径,‎ 因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,‎ 所以线段MN长度的最小值是-.故D错误.故选D.‎ ‎10.设A是自然数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k2∉A,且∉A,那么k是A的一个“酷元”,给定S={x∈N|y=lg(36-x2)},设M⊆S,集合M中有两个元素,且这两个元素都是M的“酷元”,那么这样的集合M有(  )‎ A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 解析:选C.由36-x2>0可解得-63(x-m)”是“q:x2+3x-4<0”成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围是________.‎ 解析:记P={x|(x-m)2>3(x-m)}={x|(x-m)·(x-m-3)>0}={x|xm+3},Q={x|x2+3x-4<0}={x|(x+4)(x-1)<0}={x|-41;‎ ‎④若Sn为数列{an}的前n项和,则此数列的通项公式an=Sn-Sn-1(n>1).‎ 解析:命题①:由数列{an}是等差数列,设其公差为d,则an-an-1=d(n≥2)(ⅰ),又数列{an}是等比数列,设其公比为q,则an=qan-1(n≥2)(ⅱ),把(ⅱ)代入(ⅰ)得:qan-1-an-1=(q-1)an-1=d(n≥2),要使(q-1)·an-1=d(n≥2)对数列中“任意项”都成立,则需q-1=d=0,也就是q=1,d=0.‎ 所以数列{an}为非零常数列,故不正确;‎ 命题②:由正弦定理可把sin2A+sin2B=sin2C转化为a2+b2=c2,由余弦定理得 cos C==0,所以三角形为直角三角形,故正确;‎ 命题③:若A、B是锐角三角形的两内角,‎ 则tan A>0,tan B>0,π>A+B>,‎ 则tan(A+B)=<0,‎ 得tan A·tan B>1,故正确;‎ 命题④:若Sn为数列{an}的前n项和,‎ 则此数列的通项公式an=,故不正确.‎ 故正确的命题为:②③.‎ 答案:②③‎ - 18 -‎