浙江省2021届高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑用语第2节命题及其关系充分条件与必要条件课件 27页

第 2 节　命题及其关系、充分条件与必要条件 考试要求　 1. 了解命题的概念，了解 “ 若 p ，则 q ” 形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，了解四种命题的相互关系； 2. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件 . 知 识 梳 理 1 . 命题 用语言、符号或式子表达的，可以 _________ 的陈述句叫做命题，其中 _________ 的语句叫做真命题， _________ 的语句叫做假命题 . 判断真假 判断为真 判断为假 2 . 四种命题及其相互关系 (1) 四种命题间的相互关系 (2) 四种命题的真假关系 ① 两个命题互为逆否命题，它们具有 ______ 的真假性 . ② 两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性 __________ . 若 q ，则 p 若 綈 p ，则 綈 q 若 綈 q ，则 綈 p 相同 没有关系 3 . 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 p ⇒ q ，则 p 是 q 的 ______ 条件 ， q 是 p 的 ______ 条件   p 是 q 的 ____________ 条件 p ⇒ q 且 q p p 是 q 的 ____________ 条件 p q 且 q ⇒ p p 是 q 的 ______ 条件 p ⇔ q p 是 q 的 ____________________ 条件 p q 且 q p 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 [ 常用结论与易错提醒 ] 若 A ＝ { x | p ( x )} ， B ＝ { x | q ( x )} ，则 (1) 若 A ⊆ B ，则 p 是 q 的充分条件； (2) 若 A ⊇ B ，则 p 是 q 的必要条件； (3) 若 A ＝ B ，则 p 是 q 的充要条件； (4) 若 A  B ，则 p 是 q 的充分不必要条件； (5) 若 A  B ，则 p 是 q 的必要不充分条件； (6) 若 A  B 且 A  B ，则 p 是 q 的既不充分又不必要条件 . 诊 断 自 测 1. 判断下列说法的正误 . (1) “ x 2 ＋ 2 x － 3<0 ” 是命题 .( 　　 ) (2) 命题 “ 若 p ，则 q ” 的否命题是 “ 若 p ，则 綈 q ”. ( 　　 ) (3) 当 q 是 p 的必要条件时， p 是 q 的充分条件 .( 　　 ) (4) “ 若 p 不成立，则 q 不成立 ” 等价于 “ 若 q 成立，则 p 成立 ”. ( 　　 ) 解析　 (1) 错误 . 该语句不能判断真假，故该说法是错误的 . (2) 错误 . 否命题既否定条件，又否定结论 . 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) √ 答案　 C 3. 命题 “ 若 a > － 3 ，则 a > － 6 ” 以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　 原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为 “ 若 a > － 6 ，则 a > － 3 ” 是假命题，从而其否命题也是假命题 . 因此四个命题中有 2 个假命题 . 答案　 B 4. (2020· 杭州质检 ) 设 x ∈ R ，则 “ x ＞ 2 ” 是 “ | x | ＞ 2 ” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 解析 　由 | x | ＞ 2 得 x ＞ 2 或 x ＜－ 2 ，所以 “ x ＞ 2 ” 是 “ | x | ＞ 2 ” 的充分不必要条件，故选 A. 答案 　 A 答案　－ 1 ，－ 2( 答案不唯一 ) 6. 已知命题 p ： “ 若 a 2 ＝ b 2 ，则 a ＝ b ” ，则命题 p 的否命题为 ________ ，该否命题是一个 ________ 命题 ( 填 “ 真 ” ， “ 假 ” ). 解析　 由否命题的定义可知命题 p 的否命题为 “ 若 a 2 ≠ b 2 ，则 a ≠ b ”. 由于命题 p 的逆命题 “ 若 a ＝ b ，则 a 2 ＝ b 2 ” 是一个真命题， ∴ 否命题是一个真命题 . 答案 　 “ 若 a 2 ≠ b 2 ，则 a ≠ b ” 　真 考点一　四种命题的关系及其真假判断 【例 1 】 (1) 命题 “ 若 x 2 － 3 x － 4 ＝ 0 ，则 x ＝ 4 ” 的逆否命题及其真假性为 ( 　　 ) A. “ 若 x ＝ 4 ，则 x 2 － 3 x － 4 ＝ 0 ” 为真命题 B. “ 若 x ≠ 4 ，则 x 2 － 3 x － 4 ≠ 0 ” 为真命题 C. “ 若 x ≠ 4 ，则 x 2 － 3 x － 4 ≠ 0 ” 为假命题 D. “ 若 x ＝ 4 ，则 x 2 － 3 x － 4 ＝ 0 ” 为假命题 (2) 原命题为 “ 若 z 1 ， z 2 互为共轭复数，则 | z 1 | ＝ | z 2 | ” ，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是 ( 　　 ) A. 真、假、真 B . 假、假、真 C. 真、真、假 D . 假、假、假 解析　 (1) 根据逆否命题的定义可以排除 A ， D ；由 x 2 － 3 x － 4 ＝ 0 ，得 x ＝ 4 或－ 1 ，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题 . (2) 由共轭复数的性质， | z 1 | ＝ | z 2 | ， ∴ 原命题为真，因此其逆否命题为真；取 z 1 ＝ 1 ， z 2 ＝ i ，满足 | z 1 | ＝ | z 2 | ，但是 z 1 ， z 2 不互为共轭复数， ∴ 其逆命题为假，故其否命题也为假 . 答案　 (1)C 　 (2)B 规律方法 　 (1) 由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是 “ 若 p ，则 q ” 的形式，应先改写成 “ 若 p ，则 q ” 的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变 . (2) 判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例 . (3) 根据 “ 原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假 ” 这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假 . 【训练 1 】 (1) 已知：命题 “ 若函数 f ( x ) ＝ e x － mx 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是增函数，则 m ≤ 1 ” ，则下列结论正确的是 ( 　　 ) A. 否命题是 “ 若函数 f ( x ) ＝ e x － mx 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是减函数，则 m ＞ 1 ” ，是真命题 B. 逆命题是 “ 若 m ≤ 1 ，则函数 f ( x ) ＝ e x － mx 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是增函数 ” ，是假命题 C. 逆否命题是 “ 若 m ＞ 1 ，则函数 f ( x ) ＝ e x － mx 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是减函数 ” ，是真命题 D. 逆否命题是 “ 若 m ＞ 1 ，则函数 f ( x ) ＝ e x － mx 在 (0 ，＋ ∞ ) 上不是增函数 ” ，是真命题 (2) (2018· 北京卷 ) 能说明 “ 若 f ( x )> f (0) 对任意的 x ∈ (0 ， 2] 都成立，则 f ( x ) 在 [0 ， 2] 上是增函数 ” 为假命题的一个函数是 ________. 解析　 (1) 由 f ( x ) ＝ e x － mx 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是增函数，则 f ′( x ) ＝ e x － m ≥ 0 恒成立， ∴ m ≤ 1. 因此原命题是真命题，所以其逆否命题 “ 若 m ＞ 1 ，则函数 f ( x ) ＝ e x － mx 在 (0 ，＋ ∞ ) 上不是增函数 ” 是真命题 . (2) 这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足 f ( x )> f (0) 对任意 x ∈ (0 ， 2] 都成立 ，且函数 f ( x ) 在 [0 ， 2] 上不是增函数即可 . 如 f ( x ) ＝ sin x ，答案不唯一 . 答案　 (1)D 　 (2) f ( x ) ＝ sin x ( 答案不唯一 ) 答案　 (1)D 　 (2)B 规律方法 　充要条件的三种判断方法 (1) 定义法：根据 p ⇒ q ， q ⇒ p 进行判断 . (2) 集合法：根据使 p ， q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断 . (3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断 . 这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如 “ xy ≠ 1 ” 是 “ x ≠ 1 或 y ≠ 1 ” 的何种条件，即可转化为判断 “ x ＝ 1 且 y ＝ 1 ” 是 “ xy ＝ 1 ” 的何种条件 . 【训练 2 】 (1) (2018· 北京卷 ) 设 a ， b 均为单位向量，则 “ | a － 3 b | ＝ |3 a ＋ b | ” 是 “ a ⊥ b ” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 (2) (2019· 浙江教育绿色评价联盟三联 ) 已知 x ， y 为实数，则 “ xy ≥ 0 ” 是 “ | x ＋ y | ≥ | x － y | ” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要件条 D. 既不充分也不必要条件 解析　 (1) ∵ | a － 3 b | ＝ |3 a ＋ b | ， ∴ ( a － 3 b ) 2 ＝ (3 a ＋ b ) 2 ， ∴ a 2 － 6 a · b ＋ 9 b 2 ＝ 9 a 2 ＋ 6 a · b ＋ b 2 ，又 ∵ | a | ＝ | b | ＝ 1 ， ∴ a · b ＝ 0 ， ∴ a ⊥ b ；反之也成立 . 故选 C. (2) 由不等式的性质，知 | x ＋ y | ≥ | x － y | ⇔ ( x ＋ y ) 2 ≥ ( x － y ) 2 ⇔ xy ≥ 0 ，则 “ xy ≥ 0 ” 是 “ | x ＋ y | ≥ | x － y | ” 的充分且必要条件 . 故选 C. 答案　 (1)C 　 (2)C 考点三　充分条件、必要条件的应用 【例 3 】 ( 经典母题 ) 已知 P ＝ { x | x 2 － 8 x － 20 ≤ 0} ，非空集合 S ＝ { x |1 － m ≤ x ≤ 1 ＋ m }. 若 “ x ∈ P ” 是 “ x ∈ S ” 的必要条件，求 m 的取值范围 . 解 　由 x 2 － 8 x － 20 ≤ 0 ，得－ 2 ≤ x ≤ 10 ， ∴ P ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 10}. ∵“ x ∈ P ” 是 “ x ∈ S ” 的必要条件，则 S ⊆ P . 变式迁移 又 ∵ S 为非空集合， ∴ 1 － m ≤ 1 ＋ m ，解得 m ≥ 0 ， 综上，可知当 0 ≤ m ≤ 3 时， “ x ∈ P ” 是 “ x ∈ S ” 的必要条件 . 【变式迁移 1 】 本例条件不变，问是否存在实数 m ，使 “ x ∈ P ” 是 “ x ∈ S ” 的充要条件？ 解 　由例题知 P ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 10}. 若 “ x ∈ P ” 是 “ x ∈ S ” 的充要条件，则 P ＝ S ， 这样的 m 不存在 . 【变式迁移 2 】 本例条件不变，若 “ x ∈ P ” 是 “ x ∈ S ” 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围 . 解　由例题知 P ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 10}. ∵“ x ∈ P ” 是 “ x ∈ S ” 的充分不必要条件 ， ∴ P  S . ∴ [ － 2 ， 10]  [1 － m ， 1 ＋ m ]. ∴ m ≥ 9 ，则 m 的取值范围是 [9 ，＋ ∞ ). 规律方法　 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上 . 解题时需注意： (1) 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 ( 或不等式组 ) 求解； (2) 要注意区间端点值的检验 . 【训练 3 】 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 只有负实根的充要条件是 ________. 当 a ≠ 0 时，原方程为一元二次方程， 又 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 只有负实根， 综上，方程只有负根的充要条件是 0 ≤ a ≤ 1. 答案　 0 ≤ a ≤ 1