2019届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议 13页

数学参考答案与评分细则 第 1 页（共 13 页） 2019 届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分． 1． 已知集合 ， ．若 ，则实数 a 的值为 ▲ ． 【答案】4 2． 复数 （ 为虚数单位）的实部为 ▲ ． 【答案】 3． 某单位普通职工和行政人员共 280 人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况， 现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为 56 的样本．已知从普通职工中抽取的人数为 49，则该单位行政人员的人数为 ▲ ． 【答案】35 4. 从甲、乙、丙、丁这 4 名学生中随机选派 2 人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有 1 人被选 中的概率为 ▲ ． 【答案】 5． 执行如图所示的伪代码，则输出的 S 的值为 ▲ ． 【答案】30 6. 函数 的定义域为 ▲ ． 【答案】 7. 将函数 的图象向左平移 个单位长度得到 的图象，则 的值为 ▲ ． 【答案】 8. 在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的右顶点 到渐近线的 距离为 ，则 b 的值为 ▲ ． 【答案】 {1 3 }=A a，， { 4 5}=B ， A B = { 4} 2 i 2 iz = + i 2 5 2 3 4 16xy = − [2 )+ ∞， 2sin3y x= π 12 ( )y f x= ( )π 3f 2− xOy 22 2 2 1( 0 0)yx a ba b − = > >， (2 0)A ， 2 2 i ← 1 S ← 2 While i< 7 S ← S × i i ← i + 2 End While Print S （第 5 题） 数学参考答案与评分细则 第 2 页（共 13 页） 9 ． 在△ABC 中，已知 C = 120° ，sinB = 2 sinA ，且△ABC 的面积为 ，则 AB 的长为 ▲ ． 【答案】 10．设 P，A，B，C 为球 O 表面上的四个点，PA，PB，PC 两两垂直，且 PA = 2 m，PB = 3 m， PC = 4 m，则球 O 的表面积为 ▲ m2． 【答案】 11．定义在 R 上的奇函数 满足 ，且在区间 上， 则函数 的零点的个数为 ▲ ． 【答案】5 12．已知关于 的不等式 ( a，b，c R ) 的解集为{ x | 3 < x < 4}，则 的最小 值为 ▲ ． 【答案】 13．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A，B 在圆 上，且 ，点 P（3，−1） ， ，设 的中点 M 的横坐标为 x0，则 x0 的所有值为 ▲ ． 【答案】 14．已知集合 ，从集合 中取出 个不同元 素，其和记为 ；从集合 中取出 个不同元素，其和记为 ．若 ，则 的 最大值为 ▲ ． 【答案】44 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分． 15. (本小题满分 14 分) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 设 向 量 a = ， b = ， 其 中 2 3 2 7 29π ( )f x ( 4) ( )f x f x+ = [ )2 4， 2 2 3( ) 4 3 4 x xf x x x − <=  − < ≤ ≤ ， ， ， ， 5( ) logy f x x= − | | x 2 0ax bx c+ + > ∈ 2 5c a b + + 4 5 2 2 4x y+ = 2 2AB = ( ) 16PO PA PB⋅ + =   AB 11 5， { | 2 1 } { | 8 8 }N NA x x k k B x x k k∗ ∗= = − ∈ = = − ∈， ， ， A m S B n T 967S T+ ≤ nm 2+ (cos sin )α α， ( )π πsin( ) cos( )6 6 α α+ +， 数学参考答案与评分细则 第 3 页（共 13 页） ． （1）若 a∥b，求 的值； （2）若 ，求 的值． 【解】（1）因为 a∥b， 所以 ，……………………………………………2 分 所以 ． …………………………………………………………………4 分 因为 ，所以 ． 于是 解得 ． ………………………………………………………6 分 （2）因为 ，所以 ，又 ，故 ． 因为 ，所以 ， 又 ， 解得 ．……………………………………………………10 分 因此， …………………………12 分 ． ……………………………………14 分 16. (本小题满分 14 分) 如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，侧面 BCC1B1 为正方形，A1B1⊥B1C1．设 A1C 与 AC1 交于 点 D，B1C 与 BC1 交于点 E． 求证：（1）DE∥平面 ABB1A1； （2）BC1⊥平面 A1B1C． 【证明】（1）因为三棱柱 ABC−A1B1C1 为直三棱柱， 所以侧面 ACC1 A1 为平行四边形． 又 A1C 与 AC1 交于点 D，所以 D 为 AC1 的中点， π0 2 α< < α 1tan 2 7 α = − ⋅a b π πcos cos( ) sin sin( ) 06 6 α α α α+ − + = πcos(2 ) 06 α + = π0 2 α< < π π 7π26 6 6 α< + < π π2 6 2 α + = ， π 6 α = π0 2 α< < 0 2 πα< < 1tan 2 07 α = − < π 2 π2 α< < sin 2 1tan 2 cos2 7 αα α= = − cos2 7sin 2 0α α= − < 2 2sin 2 cos 2 1α α+ = 2 7 2sin 2 cos210 10 α α= = −， ⋅a b π π πcos sin( )+sin cos( ) sin(2 )6 6 6 α α α α α= + + = + π πsin 2 cos cos2 sin6 6 α α= + ( )3 6 7 22 7 2 1 10 2 10 2 20 −= ⋅ + − ⋅ = A B C A1 B1 C1 ED （第 16 题） 数学参考答案与评分细则 第 4 页（共 13 页） 同理，E 为 BC1 的中点．所以 DE∥AB．………………3 分 又 AB⊂平面 ABB1 A1，DE⊄平面 ABB1 A1， 所以 DE∥平面 ABB1A1． ………………………………………………………………6 分 （2）因为三棱柱 ABC−A1B1C1 为直三棱柱，所以 BB1⊥平面 A1B1C1． 又因为 A1B1⊂平面 A1B1C1，所以 BB1⊥A1B1． ………………………………………8 分 又 A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1⊂平面 BCC1B1，BB1∩B1C1 = B1， 所以 A1B1⊥平面 BCC1B1． ……………………………………………………………10 分 又因为 BC1⊂平面 BCC1B1，所以 A1B1⊥BC1．………………………………………12 分 又因为侧面 BCC1B1 为正方形，所以 BC1⊥B1C． 又 A1B1∩B1C = B1，A1B1，B1C ⊂平面 A1B1C， 所以 BC1⊥平面 A1B1C．………………………………………………………………14 分 17. (本小题满分 14 分) 图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构 成，其中前后两坡屋面 ABFE 和 CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面 EAD 和 FBC 是全 等的三角形．点 F 在平面 ABCD 和 BC 上的射影分别为 H，M．已知 HM = 5 m，BC = 10 m， 梯形 ABFE 的面积是△FBC 面积的 2.2 倍．设∠FMH = ． （1）求屋顶面积 S 关于 的函数关系式； （2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为 k（k 为正的常数），下部主体造价与其 高度成正比，比例系数为 16 k．现欲造一栋上、下总高度为 6 m 的别墅，试问：当 为 何值时，总造价最低？ 【解】（1）由题意 FH⊥平面 ABCD，FM⊥BC， θ π(0 )4 θ< < θ θ ① （第 17 题） ② A B CD E F H M θ A B CD E F H M θ 数学参考答案与评分细则 第 5 页（共 13 页） 又因为 HM ⊂平面 ABCD，得 FH⊥HM． …………2 分 在 Rt△FHM 中，HM = 5， ， 所以 ．……………………………………4 分 因此△FBC 的面积为 ． 从而屋顶面积 ． 所以 S 关于 的函数关系式为 ( )． ………………………………6 分 （2）在 Rt△FHM 中， ，所以主体高度为 ． ……………8 分 所以别墅总造价为 …………………………………………10 分 记 ， ， 所以 ， 令 ，得 ，又 ，所以 ．………………………………12 分 列表： 所以当 时， 有最小值． 答：当 为 时该别墅总造价最低． …………………………………………………14 分 18．（本小题满分 16 分） − 0 + FMH θ∠ = 5 cosFM θ= 1 5 25102 cos cosθ θ× × = 2 2= +  梯形FBC ABFES S S 25 25 1602 2 2.2cos cos cosθ θ θ= × + × × = θ 160 cosS θ= π0 4 θ< < 5tan=FH θ 6 5tan= −h θ 16= ⋅ + ⋅y S k h k 160 (6 5tan ) 16cos = ⋅ + − ⋅k kθθ 160 80sin 96cos cos = − +k k kθ θ θ ( )2 sin80 96cos −= ⋅ +k kθ θ 2 sin( ) cos −=f θθ θ π0 4 θ< < 2sin 1( ) cosf θθ θ −′ = 2 ( ) 0′ =f θ 1sin 2 =θ π0 4 θ< < π 6 =θ π 6 =θ ( )f θ θ π 6 θ ( )π0 6， π 6 ( )π π 6 4， ( )f θ′ ( )f θ  3  数学参考答案与评分细则 第 6 页（共 13 页） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 椭 圆 C1 ： ， 椭 圆 C2 ： ， C2 与 C1 的长轴长之比为 ∶1，离心率相同． （1）求椭圆 C2 的标准方程； （2）设点 为椭圆 C2 上一点． ① 射线 与椭圆 C1 依次交于点 ，求证： 为定值； ② 过点 作两条斜率分别为 的直线 ，且直线 与椭圆 C1 均有且只有 一个公共点，求证： 为定值． 【解】（1）设椭圆 C2 的焦距为 2c，由题意， ， ， ， 解得 ，因此椭圆 C2 的标准方程为 ． ……………………………3 分 （2）①1°当直线 OP 斜率不存在时， ， ，则 ． ……………………………4 分 2°当直线 OP 斜率存在时，设直线 OP 的方程为 ， 代入椭圆 C1 的方程，消去 y，得 ， 所以 ，同理 ．………6 分 所以 ，由题意， 同号，所以 ， 从而 ． 所以 为定值． ……………………………………………………………8 分 ②设 ，所以直线 的方程为 ，即 ， 记 ，则 的方程为 ， 代入椭圆 C1 的方程，消去 y，得 ， 因为直线 与椭圆 C1 有且只有一个公共点， 2 2 14 x y+ = 22 2 2 1( 0)yx a ba b + = > > 2 P PO A B， PA PB P 1 2k k， 1 2l l， 1 2l l， 1 2k k⋅ 2 2a = 3 2 c a = 2 2 2a b c= + 2b = 22 18 2 yx + = 2 1PA = − 2 1PB = + 2 1 3 2 2 2 1 PA PB −= = − + y kx= 2 2(4 1) 4k x+ = 2 2 4 4 1Ax k = + 2 2 8 4 1Px k = + 2 22P Ax x= P Ax x与 2P Ax x= | | | | 2 1 3 2 2| | | | 2 1 P A P A P B P A x x x xPA PB x x x x − − −= = = = −− + + 3 2 2PA PB = − 0 0( )P x y， 1l 0 1 0( )y y k x x− = − 1 1 0 0y k x k y x= + − 1 0 0t k y x= − 1l 1y k x t= + 2 2 2 1 1(4 1) 8 4 4 0k x k tx t+ + + − = 1l P A B （第 18 题） x y O 数学参考答案与评分细则 第 7 页（共 13 页） 所以 ，即 ， 将 代入上式，整理得， ， ……………12 分 同理可得， ， 所以 为关于 k 的方程 的两根， 从而 ．……………………………………………………………………14 分 又点在 椭圆 C2： 上，所以 ， 所以 为定值． ………………………………………………16 分 19．（本小题满分 16 分） 已知函数 ． （1）当 时，求函数 的极值； （2）设函数 在 处的切线方程为 ，若函数 是 上 的单调增函数，求 的值； （3）是否存在一条直线与函数 的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 【解】（1）当 时，函数 的定义域为 ． 则 ， 令 得， 或 ． ………………………………………………………2 分 列表： 所以函数 的极大值为 ；极小值为 ． ………………4 分 1 2 + 0 − 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 2 2 2 1 1(8 ) 4(4 1)(4 4) 0k t k t= − + − = 2 2 14 1 0k t− + = 1 0 0t k y x= − 2 2 2 0 1 0 0 1 0( 4) 2 1 0x k x y k y− − + − = 2 2 2 0 2 0 0 2 0( 4) 2 1 0x k x y k y− − + − = 1 2k k， 2 2 2 0 0 0 0( 4) 2 1 0x k x y k y− − + − = 2 0 1 2 2 0 1 4 yk k x −⋅ = − 0 0( )P x y， 22 18 2 yx + = 2 2 0 0 12 4y x= − 2 0 1 2 2 0 12 1 14 44 x k k x − − ⋅ = = −− 21( ) 2ln 2f x x x ax a= + − ∈， R 3a = ( )f x ( )f x 0x x= ( )y g x= ( ) ( )y f x g x= − ( )0 + ∞， 0x ( )y f x= 3a = 21( ) 2ln 32f x x x x= + − ( )0 + ∞， 22 3 2( ) 3 x xf x xx x − +′ = + − = ( )f x′ 0= 1x = 2x = ( )f x 5(1) 2f = − ( 2 ) 2ln 2 4f = − x ( )0 1， ( )1 2， ( )2 + ∞， ( )f x′ ( )f x 数学参考答案与评分细则 第 8 页（共 13 页） （2）依题意，切线方程为 ， 从而 ， 记 ， 则 在 上为单调增函数， 所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立． …………………………………8 分 法一：变形得 在 上恒成立 ， 所以 ，又 ，所以 ． ………………………………………………10 分 法二：变形得 在 上恒成立 ， 因为 （当且仅当 时，等号成立）， 所以 ，从而 ，所以 ．……………………………10 分 （3）假设存在一条直线与函数 的图象有两个不同的切点 ， ， 不妨 ，则 处切线 的方程为： ， 处切线 的方程为： ． 因为 ， 为同一直线，所以 ……………………12 分 即 整理得， ………………………………………………14 分 消去 得， ． 0 0 0 0( )( ) ( ) ( 0)y f x x x f x x′= − + > 0 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( 0)g x f x x x f x x′= − + > ( ) ( ) ( )p x f x g x= − 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )( )p x f x f x f x x x′= − − − ( )0 + ∞， 0( ) ( ) ( ) 0p x f x f x′ ′ ′= − ≥ ( )0 + ∞， 0 0 2 2( ) 0p x x xx x ′ = − + − ≥ ( )0 + ∞， ( ) 0 0 2 ( ) 0x x xx − − ≥ ( )0 + ∞， 0 0 2 xx = 0 0x > 0 2x = 0 0 2 2x xx x + +≥ ( )0 + ∞， 2 22 2 2x xx x + ⋅ =≥ 2x = 0 0 22 2 x x +≥ ( )2 0 2 0x − ≤ 0 2x = ( )f x 1 1 1( )T x y， 2 2 2( )T x y， 1 20 x x< < 1T 1l 1 1 1( ) ( )( )y f x f x x x′− = − 2T 2l 2 2 2( ) ( )( )y f x f x x x′− = − 1l 2l 1 2 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . f x f x f x x f x f x x f x ′ ′=  ′ ′− = − ， ( ) ( )1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 22ln 2ln .2 2 x a x ax x x x ax x x a x x ax x x ax x  + − = + −  + − − + − = + − − + − ， 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 12ln 2ln .2 2 x x x x x x = − = − ， 2x 2 2 1 1 2 1 22ln 02 2 x x x + − = ① 数学参考答案与评分细则 第 9 页（共 13 页） 令 ，由 与 ，得 ， 记 ，则 ， 所以 为 上的单调减函数，所以 ． 从而 式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数 的图象有两个 不同的切点． ……………………………………………………………………………16 分 20．（本小题满分 16 分） 已知数列 的各项均不为零．设数列 的前 n 项和为 Sn，数列 的前 n 项和为 Tn， 且 ． （1）求 的值； （2）证明：数列 是等比数列； （3）若 对任意的 恒成立，求实数 的所有值． 【解】（1）因为 ， ． 令 ，得 ，因为 ，所以 ． 令 ，得 ，即 ， 因为 ，所以 ．……………………………………………………………3 分 （2）因为 ， ① 所以 ， ② ② ①得， ， 因为 ，所以 ，③ …………………………………5 分 所以 ， ④ 当 时，③ ④得， ，即 ， 2 1 2 xt = 1 20 x x< < 1 2 2x x = (0 1)t ∈ ， 1( ) 2lnp t t tt = + − 2 2 2 ( 1)2 1( ) 1 0tp t t t t −′ = − − = − < ( )p t (0 1)， ( ) (1) 0p t p> = ① ( )f x { }na { }na { }2 na 23 4 0n n nS S T− + = ，n ∗∈N 1 2a a， { }na 1( )( ) 0n nna naλ λ +− − < n ∗∈N λ 23 4 0n n nS S T− + = *n∈N 1n = 2 2 1 1 13 4 0a a a− + = 1 0a ≠ 1 1a = 2n = ( ) ( ) ( )2 2 2 2 23 1 4 1 1 0a a a+ − + + + = 2 2 22 0a a+ = 2 0a ≠ 2 1 2a = − 23 4 0n n nS S T− + = 2 1 1 13 4 0n n nS S T+ + +− + = − ( ) 2 1 1 1 13 4 0n n n n nS S a a a+ + + ++ − + = 1 0na + ≠ ( )1 13 4 0n n nS S a+ ++ − + = ( )13 4 0 ( 2)n n nS S a n−+ − + = ≥ 2n≥ − ( )1 13 0n n n na a a a+ ++ + − = 1 1 2n na a+ = − 数学参考答案与评分细则 第 10 页（共 13 页） 因为 ，所以 ． 又由（1）知， ， ，所以 ， 所以数列 是以 1 为首项， 为公比的等比数列． ……………………………8 分 （3）由（2）知， ． 因为对任意的 ， 恒成立， 所以 的值介于 和 之间． 因为 对任意的 恒成立，所以 适合． ……………10 分 若 ，当 为奇数时， 恒成立，从而有 恒成立． 记 ，因为 ， 所以 ，即 ，所以 （*）， 从而当 时，有 ，所以 不符． ………………………13 分 若 ，当 为奇数时， 恒成立，从而有 恒成立． 由（*）式知，当 时，有 ，所以 不符． 综上，实数 的所有值为 0． ………………………………………………………………16 分 21．【选做题】 A．[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分） 已知 m，n∈R，向量 是矩阵 的属于特征值 3 的一个特征向量，求矩阵 M 及另一个特征值． 【解】由题意得， 即 所以 即矩阵 . …………………………………………………5 分 0na ≠ 1 1 2 n n a a + = − 1 1a = 2 1 2a = − 2 1 1 2 a a = − { }na 1 2 − ( ) 11 2 n na − = − *n∈N ( )( )1 0n nna naλ λ +− − < λ ( ) 11 2 n n − − ( )1 2 n n − ( ) ( )11 1 02 2 n n n n − − ⋅ − < *n∈N 0λ = 0λ > n ( ) ( ) 11 1 2 2 n n n nλ − − < < − 12n nλ −< 2 ( ) ( 4)2n np n n= ≥ 2 2 2 1 1 ( 1) 2 1( 1) ( ) 02 2 2n n n n n n np n p n + + + − + ++ − = − = < ( ) (4) 1p n p =≤ 2 12n n ≤ 1 2n n n≤ 25n n λ≥ 且 ≥ 1 2 2n n n λ −≥ ≥ 0λ > 0λ < n ( ) ( ) 11 1 2 2 n n n nλ − − < < − 2n nλ− < 15n n λ≥ 且 ≥- 1 2n n n λ− ≥ ≥ 0λ < λ 1 1  =   α 1 2 m n  =   M 3= ，Mα α 1 1 1 3 2 1 2 3 m m n n +       = =       +        ， 2 1.m n= =， 1 2 2 1     =M 数学参考答案与评分细则 第 11 页（共 13 页） 矩阵 的特征多项式 ， 解得矩阵 的另一个特征值为 .…………………………………………………10 分 B．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 的参数方程为 ( t 为参数)，椭圆 C 的参数方程 为 .设直线 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求线段 AB 的长． 【解】由题意得，直线 的普通方程为 ．① 椭圆 C 的普通方程为 ．② …………………………………………………4 分 由①②联立，解得 A ，B ， ……………………………………………8 分 所以 ．…………………………………………………10 分 C．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 已知 x，y，z 均是正实数，且 求证： ． 【证】由柯西不等式得， ……………5 分 因为 ，所以 所以， 当且仅当“ ”时取等号． …………………………10 分 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分． 22.（本小题满分 10 分） 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，AB = 1，AP = AD = 2. （1）求直线 与平面 所成角的正弦值； （2）若点 M，N 分别在 AB，PC 上，且 平面 ，试确定点 M，N 的位置． M ( )21 2( ) 1 4 02 1f λλ λλ − −= = − − =− − M 1λ −= l 1x t y t = +  = ， )( sin cos2 为参数，θ θ θ    = = y x l l 1 0x y− − = 2 2 12 x y+ = (0 1)，- ( )4 1 3 3， ( ) ( )2 2 4 24 10 13 3 3AB = − + + = ，164 222 =++ zyx 6x y z+ + ≤ ( ) ( ) ( )22 22 2 2 212 1 12x y z x y z   + + + + + +     ≥ 2 2 24 16x y z+ + = ( )2 916 364x y z+ + × =≤ ， 6x y z+ + ≤ ， 2x y z= = ABCDP − ABCD ⊥PA ABCD PB PCD ⊥MN PCD 数学参考答案与评分细则 第 12 页（共 13 页） 【解】（1）由题意知，AB，AD，AP 两两垂直． 以 为正交基底，建立如图所示的空间 直角坐标系 ，则 从而 设平面 PCD 的法向量 则 即 不妨取 则 ． 所以平面 PCD 的一个法向量为 ． ………………………………………3 分 设直线 PB 与平面 PCD 所成角为 所以 即直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 ．……………………………………5 分 （2）设 则 设 则 而 所以 ． ……………………………………8 分 由（1）知，平面 PCD 的一个法向量为 ， 因为 平面 PCD，所以 ∥ ． 所以 解得， ． 所以 M 为 AB 的中点，N 为 PC 的中点． …………………………………………10 分 23.（本小题满分 10 分） 已知 均为非负实数，且 ． { }AB AD AP  ， ， A xyz− (1 0 0) (1 2 0) (0 2 0) (0 0 2)B C D P，， ， ， ， ， ， ， ， ，， . (1 0 2) (1 2 2) (0 2 2)PB PC PD= − = − = −，， ， ， ， ， ， ， .   ( )x y z=n ， ， ， 0 0 PC PD  ⋅ = ⋅ = n n   ， ， 2 2 0 2 2 0 x y z y z + − =  − = ， ， 1y = ， 0 1x z= =， (0 1 1)=n ，， θ ， 10sin cos 5 PBPB PB θ ⋅= 〈 〉 = = ⋅ nn n  ， ， 10 5 ( 0 0)M a，， ， ( 0 0)MA a= − ，， ， PN PCλ= ，  ( )2 2PN λ λ λ= ， ，- ， (0 0 2)AP = ，， ， ( 2 2 2 )MN MA AP PN aλ λ λ= + + = − −    ， ， (0 1 1)=n ，， MN ⊥ MN n 0 2 2 2 aλ λ λ − =  = − ， ， 1 1 2 2aλ = =， * 1 2 ( 4)na a a n n∈N ≥， ， ， ， 1 2 2na a a+ + + = （第 22 题） A B C D P z x y 数学参考答案与评分细则 第 13 页（共 13 页） 证明：（1）当 时， ； （2）对于任意的 ， ． 证明：（1）当 时，因为 ， ，…， 均为非负实数，且 ， 所以 ………………………2 分 ．………………………………………………………………4 分 （2）①当 时，由（1）可知，命题成立； ②假设当 时，命题成立， 即对于任意的 ，若 ， ，…， 均为非负实数，且 ， 则 ． 则当 时，设 ，并不妨设 ． 令 ，则 ． 由归纳假设，知 ．………………………………………8 分 因为 均为非负实数，且 ， 所以 ． 所以 ， 即 ， 也就是说，当 时命题也成立． 所以，由①②可知，对于任意的 ， ．…………10 分 4n = 1 2 2 3 3 4 4 1+ + + 1a a a a a a a a ≤ * 4n n∈N ≥， 1 2 2 3 1 1+ + + + 1n n na a a a a a a a− ≤ 4n = 1a 2a 4a 1 2 3 4 2a a a a+ + + = 1 2 2 3 3 4 4 1 2 1 3 4 3 1 3 1 2 4+ + + = ( + )+ ( + ) ( + )( + )a a a a a a a a a a a a a a a a a a= 2 3 1 2 4( + )+( + ) =12 a a a a    ≤ 4n = ( 4)n k k= ≥ 4k≥ 1x 2x kx 1 2+ + + 2kx x x = 1 2 2 3 1 1+ + + + 1k k kx x x x x x x x− ≤ +1n k= 1 2 +1+ + + + 2k ka a a a =… { }+1 1 2 +1maxk k ka a a a a= ， ，… ， ， ( )1 1 2 2 3 1 1+ k k k kx a a x a x a x a− += = = =， ， ， 1 2+ + + 2kx x x =… 1 2 2 3 1 1+ + + + 1k k kx x x x x x x x− ≤ 1 2 3a a a， ， +1 1ka a≥ 1 2 1 1 2 3 1 1 2+ ( ) ( )k kx x x x a a a a a a+= + + + 2 3 1 1 1 3 1 2 1 2 2 3 1 1k k ka a a a a a a a a a a a a a+ + += + + + + +≥ 1 2 1 2 3 1 1 2 2 3 1 1 3 4 11 ( + )+( + + ) ( ) ( )k k k k k kx x x x x x x x a a a a a a a a a a− + ++ + + + + ≥ ≥ 1 2 2 3 +1 +1 1+ + + + 1k k ka a a a a a a a ≤ +1n k= 4n≥ 1 2 2 3 1 1+ + + + 1n n na a a a a a a a−… ≤