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- 2021-06-21 发布
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梅州市高三总复习质检试题(2018.5)
理科数学参考答案与评分意见
一、选择题:(每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
D
C
D
B
A
C
A
A
D
二、填空题:(每小题5分,共20分)
13. 14. 15.98 16.
三、解答题:(6小题,共70分)
17.解:(Ⅰ)由当时,得. …………1分
当时, …………2分
得 …………3分
所以是以2为首项,以2为公比的等比数列, …………4分
所以时,又, …………5分
故数列的通项公式(). …………6分
(Ⅱ)由得 …………7分
所以 , ……8分
得 …………9分
相减得
………11分
得 …………12分
18.解: (Ⅰ)
所以估计该校学生每周平均使用手机上网时间为5.8小时. …………3分
(Ⅱ)估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率为
…………6分
(Ⅲ)补全列联表如下:
近视
不近视
合计
长时间使用手机
65
10
75
不长时间使用手机
10
15
25
合计
75
25
100
…………8分
……10分
所以有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”.……12分
19.(Ⅰ)证明:为矩形, …………1分
平面 …………2分
又平面平面
…………3分
又 …………4分
平面 …………5分
…………6分
(II)解:因为
平面 …………7分
由(I)得平面 所以
两两互相垂直.
建立如图的空间直角坐标系.
,
得得 …………8分
得 …………9分
设平面的法向量为
则 令所以 …………10分
…………11分
所以直线与平面的所成角的正弦值为 …………12分
20. 解:(I)依题意 …………1分
解得 …………3分
所以椭圆的方程为 …………4分
(II)根据椭圆的对称性,猜想直线的交点在直线上. ……5分
当点为椭圆的上顶点时,此时直线的方程为
由得可得点 …………6分
则联立直线的解析式和直线的解析式,可得点
据此猜想点在直线上. ………7分
下面对猜想给予证明.
设直线的方程为,
由得
由韦达定理可得 …………8分
直线的解析式为和直线的解析式为.……9分
联立两直线方程得(其中为的横坐标).
若猜想成立,则需证 …………10分
即证
即证 …………11分
将式代入上式可得
此式显然成立,原命题得证. …………12分
所以直线的交点在定直线上.
21. 解:(Ⅰ) …………1分
依题意得是的两个不等正实数根, …………2分
令
当时, 当时,
在上单调递增,在上单调递减,且 …………3分
当时,
解得故实数的取值范围是 …………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
两式相减,得 …………5分
,
…………6分
得
令 …………7分
,
…………8分
①当时, ,在上单调递减,
在上单调递增, 符合题意. …………9分
②当时, 在上单调递增,
在上单调递减, 不符合题意. …………10分
③当时, 在上单调递增,
在上单调递减, 不符合题意. …………11分
综上所述, 实数的取值范围是 …………12分
22. 解:(Ⅰ) 由得 …………2分
得
得圆的标准方程为 …………4分
(Ⅱ) 直线关于点对称直线的方程为 …………6分
而为圆的直径,故直线上存在点,使得的充要条件是
直线与圆有公共点. …………8分
所以解得
所以的最大值为 …………10分
23.解:(I) 可等价于 …………1分
由可得:
①当时,显然不满足题意; …………2分
②当时,,解得 …………3分
③当时,恒成立. …………4分
综上,的解集为. …………5分
(II)不等式等价于
令,则解集非空只需要 …………6分
①当时, …………7分
②当时, …………8分
③当时, …………9分
综上,
故的取值范围是 …………10分
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