2018年高三理科数学试卷（四）（教师版） 7页

此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号 绝密★启用前 ‎2018年好教育云平台最新高考信息卷 理科数学（四）‎ 注意事项：‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 ‎ ‎2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。‎ ‎3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。‎ ‎4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．复数的共轭复数为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意化简得，．故选A．‎ ‎2．等比数列的前项和为，则的值为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时，，当时，，‎ 所以，，故选B．‎ ‎3．若实数，满足约束条件，则的最小值为（）‎ A． B． C． D．不存在 ‎【答案】B ‎【解析】由题得，不等式组对应的区域为如图所示的开放区域（阴影部分），当直线经过点时，直线的纵截距最小，所以的最小值为．故选B．‎ ‎4．已知函数，，则函数的大致图象是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于函数，当时，，所以，同理当时，，所以函数是偶函数．令，所以，所以函数是偶函数，所以排除B，D．‎ 当时，，，．故选A．‎ ‎5．从3名男生，2名女生中选3人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得总的基本事件个数为，事件分三类，第一类：从三个男生中选两个男生和另外一个女生组合，有种方法；第二类：选除了甲以外的两个男生和女生乙，有一种方法；第三类：选两个女生，从除了甲以外的两个男生中选一个，有种方法，共有种方法，‎ 所以由古典概型的公式得．故选D．‎ ‎6．若，则的值不可能为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得，，‎ 所以，把代入，显然不成立，故选B．‎ ‎7．如图所示的一个算法的程序框图，则输出d的最大值为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先读懂程序框图，由程序框图得，表示的就是上半圆上的点到直线的距离，画图由数形结合可以得到，故选C．‎ ‎8．如图，点在正方体的棱上，且，削去正方体过，，三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先作出经过，，三点所在的平面，可以取上一点，使，则平行四边形就是过，，三点所在的平面（两个平行的平面被第三个平面所截交线平行），所以剩下部分的三视图是A．故选A．‎ ‎9．二项式的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中的指数为整数的顶的个数为（）‎ A．3 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为展开式中只有第项的二项式系数最大，所以．二项式展开式的通项为 ‎，由题得为整数，所以．故选D．‎ ‎10．设，函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的图象向右平移个单位长度后，得到，与函数图象重合，则：，，解得：，，当时，，故选C．‎ ‎11．已知，为椭圆上关于长轴对称的两点，，分别为椭圆的左、右顶点，设，分别为直线，的斜率，则的最小值为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，，，，，‎ ‎，‎ 由题得，所以．故选C．‎ ‎12．已知数列满足对时，，且对，有，则数列的前项的和为（）‎ A．2448 B．2525 C．2533 D．2652‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得，‎ ‎，‎ 是周期为的函数，且，，，，‎ ‎．‎ 故选B．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．已知向量，满足，，，，则，的夹角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题得，因为，所以，，，．故填．‎ ‎14．点，，分别为双曲线的焦点、实轴端点、虚轴端点，且为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题得，所以，，．‎ 所以，（舍去负根），所以．故填．‎ ‎15．在三棱锥中，，，，当三梭锥的体积最大时，其外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，，，∴，即为直角三角形，当面时，三梭锥的体积最大，又∵，外接圆的半径为，‎ 故外接球的半径满足，∴外接球的表面积为．‎ 故答案为．‎ ‎16．已知函数，函数有三个零点，则实数的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题得有三个零点，所以有三个零点，令，‎ 所以函数的图像就是坐标系中的粗线部分，‎ 表示过定点的直线，所以直线和粗线有三个交点．‎ 所以，由题得，．‎ 所以，，所以的取值范围为．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（12分）如图，中为钝角，过点作，交于，已知，．‎ ‎（1）若，求的大小；‎ ‎（2）若，求的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）在中，由正弦定理得，，‎ 解得，又为钝角，则，故．‎ ‎（2）设，则．‎ ‎∵，∴，∴．‎ 在中由余弦定理得，，‎ ‎∴，解得，故．‎ ‎18．（12分）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式(，为大于的常数)．现随机抽取件合格产品，测得数据如下：‎ 对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表：‎ ‎（1）根据所给数据，求关于的回归方程；‎ ‎（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品．现从抽取的件合格产品中再任选件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望．‎ 附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）对，两边取自然对数得，‎ 令，，得，‎ 由，，故所求回归方程为．‎ ‎（2）由，即优等品有件，‎ 的可能取值是，，，，且 ‎，，‎ ‎，．‎ 其分布列为 ‎∴．‎ ‎19．（12分）如图，在五棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，和都是边长为的正三角形．‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）证明：分别取和的中点，，连接，，．‎ 由平面几何知识易知，，共线，且．‎ 由，得，从而，‎ ‎∴，又，∴．‎ ‎∴面，∴．‎ 在中，，∴，‎ 在等腰梯形中，，，‎ ‎∴，∴，‎ 又，面，∴面．‎ ‎（2）由（1）知面，且，故建立空间直角坐标系如图所示．‎ 则，，，，‎ ‎，．‎ 由（1）知面的法向量为．‎ 设面的法向量为，则由，得，‎ 令，得，∴．‎ 所以二面角大小为．‎ ‎20．（12分）直线与抛物线交于，两点，且，其中为原点．‎ ‎（1）求此抛物线的方程；‎ ‎（2）当时，过，分别作的切线相交于点，点是抛物线上在，之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交直线和于点，，求与的面积比．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）设，，将代入，得．‎ 其中，，．‎ 所以，．‎ 由已知，，．所以抛物线的方程．‎ ‎（2）当时，，，‎ 易得抛物线在，处的切线方程分别为和．从而得．‎ 设，则抛物线在处的切线方程为，‎ 设直线与轴交点为，则．‎ 由和联立解得交点，‎ 由和联立解得交点，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以与的面积比为．‎ ‎21．（12分）已知函数，．‎ ‎（1）若对恒成立，求的取值范围；‎ ‎（2）证明：不等式对于正整数恒成立，其中为自然对数的底数．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）法一：记，‎ 则，，‎ ‎①当时，∵，∴，∴在上单减，‎ 又，∴，即在上单减，‎ 此时，，即，所以．‎ ‎②当时，‎ 考虑时，，∴在上单增，‎ 又，∴，即在上单増，‎ ‎，不满足题意．综上所述，．‎ 法二：当时，等价于，‎ ‎，记，则，‎ ‎∴在上单减，∴，‎ ‎∴，即在上单减，，故．‎ ‎（2）由（1）知：取，当时，恒成立，‎ 即恒成立，即恒成立，‎ 即对于恒成立，‎ 由此，，，‎ 于是 ‎，‎ 故．‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（10分）【选修4-4坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）．在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为．‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线l交于点，，求的大小．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由，得圆的直角坐标方程为：．‎ ‎（2）将直线l的参数方程代入圆的方程可得：，‎ 整理得：．∴，．‎ 根据参数方程的几何意义，由题可得：‎ ‎．‎ ‎23．（10分）【选修4-5不等式选讲】‎ 已知，．‎ ‎（1）若且的最小值为，求的值；‎ ‎（2）不等式的解集为，不等式的解集为，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）(当时，等号成立），‎ ‎∵的最小值为，∴，∴或，又，∴．‎ ‎（2）由得，，∵，‎ ‎∴，，‎ 即，且，‎ 且．‎