2018年高三文科数学试卷（二）（教师版） 7页

此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号 绝密★启用前 ‎2018年好教育云平台最新高考信息卷 文科数学（二）‎ 注意事项：‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。‎ ‎2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。‎ ‎3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。‎ ‎4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合，，则=（）‎ A． B．或 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得，解得，或，故．‎ 故选A．‎ ‎2．设复数满足，则（）‎ A．3 B． C．9 D．10‎ ‎【答案】A ‎【解析】，．故选A．‎ ‎3．已知实数，满足：，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数为增函数，故．而对数函数为增函数，所以，故选B．‎ ‎4．已知命题对任意，总有；命题直线，，若，则或；则下列命题中是真命题的是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造函数，，，故函数在上单调递增，故，也即，故为真命题．由于两直线平行，故，解得或，当时，与重合，故为假命题．故为真命题．所以选D．‎ ‎5．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】正方形面积为，正方形的内切圆半径为，中间黑色大圆的半径为，黑色小圆的半径为，所以白色区域的面积为，所以黑色区域的面积为，在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为，故选C．‎ ‎6．将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】向右平移个单位长度得带，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)得到，故选C．‎ ‎7．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的，分别为5，2，则输出的（）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】模拟程序运行，可得：，，‎ ‎，，，不满足条件，执行循环体；‎ ‎，，，不满足条件，执行循环体；‎ ‎，，，不满足条件，执行循环体；‎ ‎，，，满足条件，退出循环，输出的值为．‎ 故选B．‎ ‎8．已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．则的值为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由正弦定理和余弦定理得，化简得．‎ ‎9．一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于（）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，由侧视图为边长为的正三角形，结合三视图的性质可知四棱锥底面是边长为和的矩形，四棱锥的高为，故四棱锥体积，故选D．‎ ‎10．已知抛物线的焦点是椭（）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于、两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题知线段是椭圆的通径，线段与轴的交点是椭圆的下焦点，且椭圆的，又，，，由椭圆定义知，，，故选C．‎ ‎11．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，异面直线与所成角为，点，，，都在同一个球面上，则该球的表面积为（）‎ A． B．84π C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由底面的几何特征易得，由题意可得：，由于，异面直线与所成角为，故，则，‎ 设三棱锥外接球半径为，结合，，可得：‎ ‎，该球的表面积为：．故选B．‎ ‎12．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数，可得，有唯一极值点，有唯一根，无根，即与无交点，可得，由得，在上递增，由得，在上递减，，，即实数的取值范围是，故选A．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．已知平面向量，的夹角为，且，．则______________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】．‎ ‎14．已知变量，满足，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出表示的可行域，如图，‎ 由，可得平移直线，由图知，当直线经过点，直线在以轴上截距最小，此时取得最小值为，故答案为．‎ ‎15．设是直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是___________．（填写序号）‎ ‎①若，，则． ②若，，则．‎ ‎③若，，则． ④若，，则．‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】①由，，不一定推出．‎ 反例如图：‎ 所以①不正确；‎ ‎②如图所示：‎ 过作平面交平面于直线，因为，所以，又，所以，，故，所以②正确；‎ ‎③由，，不能推出；反例如图：‎ 故③不正确；‎ ‎④若，，未必有．反例如图：‎ 故④不正确；故所给命题正确的是②．‎ ‎16．把函数所有的零点按从小到大的顺序排列，构成数列，数列满足，则数列的前项和__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得：，，．．．，则，‎ ‎，，‎ 相减得：，‎ ‎．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．数列为正项数列，，且对，都有；‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，为数列的前项和，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）∵，∴，‎ ‎∴，∵数列为正项数列，‎ ‎∴，∴是以为首项，为公比的等比数列，‎ ‎∴．‎ ‎（2），‎ ‎．‎ ‎18．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50‎ 户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标和，制成下图，其中“”表示甲村贫困户，“”表示乙村贫困户．若，则认定该户为“绝对贫困户”，若，则认定该户为“相对贫困户”，若，则认定该户为“低收入户”；若，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．‎ ‎（1）从乙村的50户中随机选出一户，求该户为“绝对贫困户”的概率；‎ ‎（2）从甲村所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中任选2户，求选出的2户均为“低收入户”的概率；‎ ‎（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标的方差的大小（只需写出结论）．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）甲村指标的方差大于乙村指标的方差．‎ ‎【解析】（1）由图知，在乙村50户中，指标的有15户，‎ 所以，从乙村50户中随机选出一户，该户为“绝对贫困户”的概率为．‎ ‎（2）甲村“今年不能脱贫的非绝对贫困户”共有6户，其中“相对贫困户”有3户，分别记为，，．“低收入户”有3户，分别记为，，，所有可能的结果组成的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，．共15个．‎ 其中两户均为“低收入户”的共有3个，‎ 所以，所选2户均为“低收入户”的概率．‎ ‎（3）由图可知，这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差．‎ ‎19．如图，直三棱柱中，是的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，，求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）连接，设与的交点为，则为的中点，连接，‎ 又是的中点，所以．‎ 又平面，平面，所以平面．‎ ‎（2）由，是的中点，所以，‎ 在直三棱柱中，，，所以，‎ 又，所以，，所以．‎ 设点到平面的距离为，因为的中点在平面上，‎ 故到平面的距离也为，三棱锥的体积，‎ 的面积，则，得，‎ 故点到平面的距离为．‎ ‎20．已知椭圆过点和点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，，是否存在实数，使得?若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）不存在．‎ ‎【解析】（1）椭圆过点和点，‎ 所以，由，解得，所以椭圆．‎ ‎（2）假设存在实数满足题设，‎ 由，得，‎ 因为直线与椭圆有两个交点，‎ 所以，即，‎ 设的中点为，，分别为点，的横坐标，‎ 则，从而，所以，‎ 因为，所以，所以，而，‎ 所以，即，与矛盾，‎ 因此，不存在这样的实数，使得．‎ ‎21．已知．‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）设，对于任意，，总有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）的极小值为，极大值为；（2）．‎ ‎【解析】（1），．‎ 所以的极小值为，极大值为．‎ ‎（2）由（1）可知当时，函数的最大值为，‎ 对于任意，，总有成立，等价于恒成立，‎ ‎．‎ ‎①时，因为，所以，‎ 即在上单调递增，恒成立，符合题意．‎ ‎②当时，设，，‎ 所以在上单调递增，且，则存在，使得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，又，‎ 所以不恒成立，不合题意．‎ 综合①②可知，所求实数的取值范围是．‎ ‎22．已知曲线的参数方程为（为参数）；直线（，）与曲线相交于，两点，以极点为原点，极轴为轴的负半轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）记线段的中点为，若恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），‎ ‎∴所求方程为，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为．‎ ‎（2）联立和，得，‎ 设、，则，‎ 由，得，‎ 当时，取最大值，故实数的取值范围为．‎ ‎23．【选修4—5：不等式选讲】‎ 已知函数，‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式的解集为，，且满足，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）可化为，‎ ‎，或，或；‎ ‎，或，或；‎ 不等式的解集为．‎ ‎（2）易知，所以，‎ 所以在恒成立；‎ 在恒成立；‎ 在恒成立；‎ ‎．‎