2018年高三文科数学试卷（五）（教师版） 7页

此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号 绝密★启用前 ‎2018年好教育云平台最新高考信息卷 文科数学（五）‎ 注意事项：‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。‎ ‎2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。‎ ‎3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。‎ ‎4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知为虚数单位，实数，满足，则（）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，，‎ 则，故选D．‎ ‎2．已知集合，集合，‎ 若，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 得到，，，，故选A．‎ ‎3．函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题可知，函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，即平移后得到的函数为奇函数，即为奇函数，对照选项可知选B．‎ ‎4．地的天气预报显示，地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0—9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：‎ 则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由随机数表可知，满足题意的数据为978，479，588，779，据此可知，这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为，选D．‎ ‎5．如图所示的三视图表示的几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图可得该几何体为底面边长为4、，一条侧棱垂直底面的四棱锥，设高为4，则，，将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为，故这个几何体的外接球的表面积为．故选C．‎ ‎6．《九章算术》是我国古代一部数学名著，某数学爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框 图，其中表示除以的余数，例如．若输入的值为8时，则输出的值为（）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】模拟执行程序框图，可得：，，，满足条件，满足条件，，，满足条件，不满足条件，，满足条件，满足条件，，，…，，可得：2，4，8，∴共要循环3次，故．故选B．‎ ‎7．已知，则、、的大小排序为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，为正实数，令，，，可得：，，，即，‎ 因为函数单调递增，∴．故选A．‎ ‎8．，是两个平面，，是两条直线，则下列命题中错误的是（）‎ A．如果，，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，，那么 D．如果，，，那么 ‎【答案】D ‎【解析】对于A，如果，则或，因为，则，故正确；对于B，如果，，那么与无公共点，则，故正确；对于C，如果，，，则，故正确；对于D，如果，，，则有或或与相交，故错误．故选D．‎ ‎9．已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为（）‎ A．3 B．1 C． D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线的离心率为，则，，，故其一条渐近线不妨为，圆的圆心，半径为2，双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长为，且圆的半径为2，圆心为，则圆心到直线的距离为，，，故选D．‎ ‎10．已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题函数的定义域为，且 ‎，即函数为及奇函数，且 在上恒成立，即函数在上单调递增，若，使得成立，‎ 即，‎ 则问题转化为，，即，在上 得最小值为，故实数k的取值范围是．故选A．‎ ‎11．如图，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线及其准线从上到下依次交于、、点，令，，则当时，的值为（）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，，则由过抛物线的焦点的直线的性质可得，，又，可得，，‎ 分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，则 ‎，同理可得，，故选C．‎ ‎12．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，，是定义在实数集上的奇函数，是定义在实数集上的偶函数，当时，，∴此时函数单调递增．，，‎ 又，，故选C．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．已知实数，满足条件，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】画出可行域如图所示，则当目标函数经过点时取到最大值，，即答案为4．‎ ‎14．已知，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，，∴，‎ ‎∴，‎ 故答案为．‎ ‎15．在中，是的中点，，点在上，且满足，则的值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，点在上，且满足，∴．‎ ‎∵是的中点，∴，‎ ‎∴．‎ ‎16．已知中，角、、所对的边分别是、、且，，有以下四个命题：‎ ‎①的面积的最大值为40；‎ ‎②满足条件的不可能是直角三角形；‎ ‎③当时，的周长为15；‎ ‎④当时，若为的内心，则的面积为．‎ 其中正确命题有__________（填写出所有正确命题的番号）．‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】①由题，，由余弦定理得：‎ ‎，‎ 当且仅当，即，取等号，此时，，‎ 的面积的最大值为24，①不正确；‎ ‎②由题，假设是直角三角形，则，解得，，，故可能是直角三角形，②不正确；‎ ‎③当时，有正弦定理，结合由余弦定理可得，，，，的周长为15，③正确；‎ ‎④当时，，，，若为的内心，则设的内接圆半径为，由可得，，故，，则，即的面积为；故答案为③④．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（12分）已知数列满足，（为常数）．‎ ‎（1）试探究数列是否为等比数列，并求；‎ ‎（2）当时，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，∴，‎ 又，所以当时，，数列不是等比数列．‎ 此时，即；‎ 当时，，所以．‎ 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．‎ 此时，即．‎ ‎（2）由（1）知，所以，‎ ‎①，‎ ‎②，‎ ‎①-②得：‎ ‎，‎ 所以．‎ ‎18．（12分）为了弘扬民族文化，某中学举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）若该所中学共有2000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数；‎ ‎（2）①试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎②若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人赠送一套国学经典学籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率．‎ ‎【答案】（1）600；（2）①72.5；②．‎ ‎【解析】（1）由直方图可知，样本中数据落在的频率为，‎ 则估计全校这次考试中优秀生人数为．‎ ‎（2）①设样本数据的平均数为，‎ 则，‎ 则估计所有参加考试的学生的平均成绩为72.5．‎ ‎②由分层抽样知识可知，成绩在，，间分别抽取了3人，2人，1人．记成绩在的3人为，，，成绩在的2人为，，成绩在的1人为，记恰好抽中2名优秀生为事件，则从这6人中抽取3人的所有可能结果有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，‎ 其中恰好抽中2名优秀生的结果有，，，，，，，，共9种，则．‎ ‎19．（12分）三棱柱中，，，分别为棱，，的中点．‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）若三棱柱的体积为，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）连交于点，连，．‎ 则，且，又，且 ‎∴，且，∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴，又平面，平面，∴平面．‎ ‎（2）由题意得，‎ ‎∵平面，∴，‎ ‎∴，∴．‎ ‎20．（12分）已知长度为的线段的两个端点、分别在轴和轴上运动，动点满足，设动点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点且斜率不为零的直线与曲线交于两点、，在轴上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为常数．若存在，求出定点的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）设，，，‎ 由于，所以，‎ 即，所以，又，所以，‎ 从而，即曲线的方程为：．‎ ‎（2）由题意设直线的方程为：，，，‎ 由得：，所以，‎ 故，，‎ 假设存在定点，使得直线与的斜率之积为常数，则 ‎，‎ 当，且时，为常数，解得；‎ 显然当时，常数为；当时，常数为，‎ 所以存在两个定点，，使得直线与的斜率之积为常数，当定点为时，常数为；当定点为时，常数为．‎ ‎21．（12分）已知函数且．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）令在上的最小值为，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）法1：由题意知：恒成立等价于在时恒成立，令，则，‎ 当时，，故在上单调递增，‎ 由于，所以当时，，不合题意．‎ 当时，，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，即 ‎，‎ 所以要使在时恒成立，则只需，‎ 亦即，‎ 令，则，‎ 所以当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增．又，所以满足条件的只有2，即．‎ 法2：由题意知：恒成立等价于在时恒成立，‎ 令，由于，故，‎ 所以为函数的最大值，同时也是一个极大值，故．‎ 又，所以，‎ 此时，当时，，当时，，‎ 即：在上单调递增；在上单调递减．故合题意．‎ ‎（2）由（1）知，所以，‎ 令，则，‎ 由于，所以，即在上单调递增；又，，‎ 所以，使得，且当时，；当时，，‎ 即在上单调递减；在上单调递增．‎ 所以，，‎ 即，所以，即．‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（10分）【选修4-4坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中，直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线：．‎ ‎（1）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）记射线与直线和曲线的交点分别为点和点（异于点），求的最大值．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意得直线l的普通方程为：，‎ 所以其极坐标方程为：；‎ 由得：，所以，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为：．‎ ‎（2）由题意，，‎ 所以，‎ 由于，所以当时，取得最大值．‎ ‎23．（10分）【选修4-5不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意或，‎ 所以或，即或，或或，‎ 故原不等式的解集为．‎ ‎（2），‎ 由于，‎ 所以当时，的最小值为．‎ 所以实数的取值范围为：．‎