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  • 2021-06-22 发布

2015年5月南平市高中毕业班适应性考试理科数学含答案

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‎2015年南平市普通高中毕业班质量检查 理 科 数 学 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),第Ⅱ卷第21题为选考题,其他题为必考题.本试卷共5页.满分150分.考试时间120分钟.‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.‎ ‎3.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚.‎ ‎4.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.‎ ‎5.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 参考公式:‎ 样本数据x1,x2,…,xn的标准差 锥体体积公式 s=   V=Sh 其中为样本平均数 其中S为底面面积,h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V=Sh ,‎ 其中S为底面面积,h为高 其中R为球的半径 ‎ 第Ⅰ卷(选择题 共50分)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知R,i为虚数单位,且 i,则i的值为 A.2 B.-2i C.-4 D.2i ‎ ‎2.已知直线与圆 相交两点,则 A. B. C. D.‎ ‎3.等比数列的各项均为正数,且,则++…+=‎ A.10 B. ‎8 ‎ C. 6 D. 4‎ 第6题图 ‎4.当为锐角时,“”是“”的 ‎ A.充分不必要条件 ‎ B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 ‎ D.既不充分也不必要条件 ‎5.已知向量,‎ ‎. 若,‎ 则实数的值为 ‎ A. B. ‎ C.3 D. ‎ ‎6.如图给出了一个程序框图,其作用是输入x的值 输出相应的y值,若要使输入的x值与输出的y 值相等,则这样的x值的个数是 A.4 B.2 ‎ ‎1‎ ‎2‎ 正视图 ‎1‎ ‎2‎ 侧视图 俯视图 ‎2‎ ‎2‎ 第7题图 C.1 D.3‎ ‎7.右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积是 ‎ A.    B.    ‎ C. D.‎ ‎≥‎ ‎≤‎ ‎≤‎ ‎8.已知为坐标原点,点的坐标是,点在不等式组所确定的平面区域内(包括边界)运动,则的取值范围是 A. B. ‎ C. D.‎ ‎9.已知P是抛物线上的一个动点,则P到直线:和:的距离之和的最小值是 A.1 B.‎2 ‎ C.3 D.4‎ ‎10.已知,函数有两个极值点,‎ ‎,则方程的实根个数 A.4 B.‎3 ‎ C.2 D.0 ‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)‎ A B C D 第11题图 二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎11.为估计图中阴影部分的面积,现采用随机模拟的方法,从边长为1的正方形中产生200个点,经统计,其中落入阴影部分的点共有134个,则估计阴影部分的面积是________.‎ ‎12.已知是第三象限角,则=________.‎ ‎13.展开式中的系数是________.‎ ‎14.已知,则的最小值为________.‎ ‎15.若实数成等差数列,点在动直线上的射影为点,‎ 已知点,则线段长度的最大值与最小值的和为________.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(本题满分13分)‎ 已知函数,.‎ ‎(Ⅰ) 求函数的单调递增区间;‎ ‎(Ⅱ) 在中,角所对边的长分别是,若,,‎ ‎,求的面积.‎ ‎17.(本题满分13分)‎ 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和3个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球.‎ ‎(Ⅰ) 求取出的4个球均为黑球的概率;‎ ‎(Ⅱ) 求取出的4个球中恰有1个红球的概率;‎ ‎(Ⅲ) 设为取出的4个球中红球的个数,求的分布列和数学期望.‎ 第18题图 ‎18.(本题满分13分)‎ 如图,在四面体P-ABC中,PA⊥面ACB,BC⊥AC,‎ M是PA的中点,E是BM的中点,AC=2,PA=4,‎ F是线段PC上的点,且EF∥面ACB.‎ ‎(Ⅰ) 求证:;‎ ‎(Ⅱ) 求;‎ ‎(Ⅲ) 若异面直线EF与CA所成角为45°,‎ 求EF与面PAB所成角的正弦值.‎ ‎19.(本题满分13分)‎ 已知椭圆Γ的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率,点在 椭圆Γ上.‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆Γ的方程;‎ ‎(Ⅱ) 过Γ的右焦点作两条垂直的弦,设的中点分别为,‎ 证明:直线必过定点,并求此定点.‎ ‎20.(本题满分14分)‎ 已知函数(是自然对数的底数,=2.71828…)的图像在处的切线方程为.‎ ‎(Ⅰ) 求的值;‎ ‎(Ⅱ) 若,‎ 求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅲ) 若正项数列满足,证明:数列是递减数列.‎ ‎21.本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2个小题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.‎ ‎(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换 已知矩阵,若向量在矩阵M的变换下得到向量.‎ ‎(Ⅰ) 求矩阵M;‎ ‎(Ⅱ) 设矩阵,求直线在矩阵NM的对应变换作用下得到的曲线C的方程.‎ ‎(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,‎ 曲线:,曲线:,(为参数).‎ ‎(Ⅰ) 求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程;‎ ‎(Ⅱ) 求曲线上的点到曲线上的点的最小距离.‎ ‎(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(Ⅰ) 解不等式≥1;‎ ‎(Ⅱ) 若恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎2015年南平市普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考答案及评分标准 说明:‎ ‎1、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.‎ ‎2、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.‎ ‎3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.‎ 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分50分.‎ ‎ 1.B; 2.B; 3.A; 4.C; 5.D; 6.D; 7.A; 8.C; 9.C ; 10.B.‎ 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题4分,满分20分.‎ ‎11.; 12.7; 13.135; 14.; 15.10.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.本题满分13分.‎ 解:(Ⅰ)∵,)‎ ‎ ………………… 1分 ‎∴. ………………… 3分 由,‎ 解得. …………………… 5分 ‎ ∴函数的单调递增区间是.……………………6分 ‎(Ⅱ)∵在中,,‎ ‎∴解得.……………………8分 ‎ 又,∴. …………………… 9分 依据正弦定理,有.……………………10分 ‎∴. ……………………11分 ‎ ‎∴. ……………………13分 ‎17.本题满分13分.‎ 解:(Ⅰ)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A,“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A、B相互独立, ‎ ‎, . …………………… 2分 取出的4个球均为黑球的概率为 ……………………3分 ‎(Ⅱ)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球;从乙盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球”为事件C,“从甲盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球;从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥,且,……………………5分 所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为 ‎. …………………… 6分 ‎(Ⅲ)设可能的取值为0,1,2,3.‎ 由(Ⅰ)、(Ⅱ)得, ,.‎ ‎,……………10分 ‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎ ‎ …………………11分 ‎∴ 的数学期望 ………………… 13分 ‎18.本题满分13分.‎ 解:(Ⅰ),,‎ ‎……………………1分 又,‎ ‎……………………2分 而 ‎……………………3分 ‎(Ⅱ)解法一:如图以C为原点,CA、CB所在直线为x轴、y轴,建立空间直角坐标系,则、、、……………4分 设,,可得,, 则……………………5分 因为是的一个法向量,‎ ‎……………………6分 ‎ 即……………………7分 ‎ (Ⅲ) 解法一:由(Ⅱ)知,‎ ‎ ………………8分 解得……………………9分 ‎ 由此,,又、‎ ‎,‎ 设面PAB的一个法向量为 由 可得……………………11分 ‎ 即,可取……………………12分 EF与面PAB所成角的正弦值:…………13分 ‎(Ⅱ)解法二:如图以A为原点,过A且与CB平行的直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立空间直角坐标系,则、、‎ ‎……………………4分 设,,可得:‎ ‎, ‎ 则 ………………5分 因为是的一个法向量,‎ ‎……………………6分 ‎ 即……………………7分 ‎(Ⅲ) 解法二:由(Ⅱ)知,‎ ‎ ……………………8分 解得 ……………………9分 ‎ 由此,‎ 又、、,‎ 设面PAB的一个法向量为 由 可得,……………………11分 ‎ 即, 可取……………………12分 EF与面PAB所成角的正弦值……………13分 ‎(Ⅱ)解法三:取MA中点G,连结EG,FG,‎ ‎∵E是MB中点,∴EG是△MAB的中位线.‎ ‎∴……………………4分 而 ‎∴EG∥面ABC……………………5分 又EF∥面ABC,‎ ‎∴面EFG∥面ABC, 而 ‎∴FG∥面ABC……………………6分 ‎∵‎ ‎∴FG∥AC, ……………………7分 ‎19.本题满分13分.‎ 解:(Ⅰ)由题意可设所求椭圆方程为.‎ 则……………………3分 解得 即椭圆Γ的方程为.……………………5分 ‎(Ⅱ)由题意得.‎ ‎(1)当弦的斜率均存在时,‎ 设的斜率为,则的斜率为.……………………6分 令,线段中点.‎ 将直线方程代入椭圆方程,‎ 并化简得……………………7分 则,,于是,.因为,所以,将点坐标中的换为,‎ 即得点…………………9分 ‎① 当时,直线的方程为 令得,则直线过定点……………………10分 ‎② 当时,易得直线的方程,也过点……………………11分 ‎(2)当弦的斜率不存在时,易知,直线为轴,也过点 综上,直线必过定点……………………13分 ‎20.本题满分14分.‎ 解:(Ⅰ)由题意得,则,……………………2分 解得.……………………3分 ‎(Ⅱ)由题意得,.‎ ‎……………………5分 ‎(1)当时, 令,并注意到函数的定义域 得或,则的增区间是;‎ 同理可求的减区间是………………6分 ‎(2)当时, ,则是定义域内的增函数……………………7分 ‎(3)当时, 令,并注意到函数的定义域得或,‎ 则的增区间是; 同理可求的减区间是…………………8分 ‎(Ⅲ)证明: 因为正项数列满足 所以,即……………………10分 要证数列是递减数列 ‎……………………12分 设,.,‎ 是上的增函数,则,即,故,‎ 则数列是递减数列……………………14分 ‎21.本题满分14分.‎ ‎(1) 解:(Ⅰ)由……………………1分 得 解得……………………2分 ‎……………………3分 ‎(Ⅱ)……………………4分 ‎ 设点是直线上1一点,在矩阵NM的对应变换作用下得到的 ‎ 点,则 可得……………………5分 ‎ ,代入得……………………6分 曲线C的方程……………………7分 ‎(2) 解:(Ⅰ)由曲线的极坐标方程,‎ 得……………………1分 ‎ 即: ………………………2分 曲线的直角坐标方程为,即……………………3分 ‎ 由曲线的参数方程得的普通方程为:……………………4分 ‎(Ⅱ) 表示圆心为,半径的圆,‎ 因为圆心到直线的距离………6分 所以圆上的点到直线的距离的最小值为……………………7分 ‎(3) 解:(Ⅰ)可化为:……………………1分 即或或……………3分 解得,所以不等式的解集为……………………4分 ‎(Ⅱ)恒成立 ‎(当时取等号)……………………5分 ‎ 由,解得或……………………6分 即的取值范围是……………………7分