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- 2021-06-22 发布
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2015年南平市普通高中毕业班质量检查
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),第Ⅱ卷第21题为选考题,其他题为必考题.本试卷共5页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚.
4.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
5.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
参考公式:
样本数据x1,x2,…,xn的标准差 锥体体积公式
s= V=Sh
其中为样本平均数 其中S为底面面积,h为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V=Sh ,
其中S为底面面积,h为高 其中R为球的半径
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知R,i为虚数单位,且 i,则i的值为
A.2 B.-2i C.-4 D.2i
2.已知直线与圆 相交两点,则
A. B. C. D.
3.等比数列的各项均为正数,且,则++…+=
A.10 B. 8 C. 6 D. 4
第6题图
4.当为锐角时,“”是“”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知向量,
. 若,
则实数的值为
A. B.
C.3 D.
6.如图给出了一个程序框图,其作用是输入x的值
输出相应的y值,若要使输入的x值与输出的y
值相等,则这样的x值的个数是
A.4 B.2
1
2
正视图
1
2
侧视图
俯视图
2
2
第7题图
C.1 D.3
7.右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积是
A. B.
C. D.
≥
≤
≤
8.已知为坐标原点,点的坐标是,点在不等式组所确定的平面区域内(包括边界)运动,则的取值范围是
A. B.
C. D.
9.已知P是抛物线上的一个动点,则P到直线:和:的距离之和的最小值是
A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知,函数有两个极值点,
,则方程的实根个数
A.4 B.3 C.2 D.0
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
A
B
C
D
第11题图
二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.
11.为估计图中阴影部分的面积,现采用随机模拟的方法,从边长为1的正方形中产生200个点,经统计,其中落入阴影部分的点共有134个,则估计阴影部分的面积是________.
12.已知是第三象限角,则=________.
13.展开式中的系数是________.
14.已知,则的最小值为________.
15.若实数成等差数列,点在动直线上的射影为点,
已知点,则线段长度的最大值与最小值的和为________.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本题满分13分)
已知函数,.
(Ⅰ) 求函数的单调递增区间;
(Ⅱ) 在中,角所对边的长分别是,若,,
,求的面积.
17.(本题满分13分)
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和3个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球.
(Ⅰ) 求取出的4个球均为黑球的概率;
(Ⅱ) 求取出的4个球中恰有1个红球的概率;
(Ⅲ) 设为取出的4个球中红球的个数,求的分布列和数学期望.
第18题图
18.(本题满分13分)
如图,在四面体P-ABC中,PA⊥面ACB,BC⊥AC,
M是PA的中点,E是BM的中点,AC=2,PA=4,
F是线段PC上的点,且EF∥面ACB.
(Ⅰ) 求证:;
(Ⅱ) 求;
(Ⅲ) 若异面直线EF与CA所成角为45°,
求EF与面PAB所成角的正弦值.
19.(本题满分13分)
已知椭圆Γ的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率,点在
椭圆Γ上.
(Ⅰ) 求椭圆Γ的方程;
(Ⅱ) 过Γ的右焦点作两条垂直的弦,设的中点分别为,
证明:直线必过定点,并求此定点.
20.(本题满分14分)
已知函数(是自然对数的底数,=2.71828…)的图像在处的切线方程为.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 若,
求函数的单调区间;
(Ⅲ) 若正项数列满足,证明:数列是递减数列.
21.本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2个小题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.
(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵,若向量在矩阵M的变换下得到向量.
(Ⅰ) 求矩阵M;
(Ⅱ) 设矩阵,求直线在矩阵NM的对应变换作用下得到的曲线C的方程.
(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,
曲线:,曲线:,(为参数).
(Ⅰ) 求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程;
(Ⅱ) 求曲线上的点到曲线上的点的最小距离.
(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ) 解不等式≥1;
(Ⅱ) 若恒成立,求实数的取值范围.
2015年南平市普通高中毕业班质量检查
理科数学试题参考答案及评分标准
说明:
1、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分50分.
1.B; 2.B; 3.A; 4.C; 5.D; 6.D; 7.A; 8.C; 9.C ; 10.B.
二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题4分,满分20分.
11.; 12.7; 13.135; 14.; 15.10.
三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.本题满分13分.
解:(Ⅰ)∵,)
………………… 1分
∴. ………………… 3分
由,
解得. …………………… 5分
∴函数的单调递增区间是.……………………6分
(Ⅱ)∵在中,,
∴解得.……………………8分
又,∴. …………………… 9分
依据正弦定理,有.……………………10分
∴. ……………………11分
∴. ……………………13分
17.本题满分13分.
解:(Ⅰ)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A,“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A、B相互独立,
, . …………………… 2分
取出的4个球均为黑球的概率为 ……………………3分
(Ⅱ)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球;从乙盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球”为事件C,“从甲盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球;从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥,且,……………………5分
所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为
. …………………… 6分
(Ⅲ)设可能的取值为0,1,2,3.
由(Ⅰ)、(Ⅱ)得, ,.
,……………10分
的分布列为
0
1
2
3
P
…………………11分
∴ 的数学期望 ………………… 13分
18.本题满分13分.
解:(Ⅰ),,
……………………1分
又,
……………………2分
而
……………………3分
(Ⅱ)解法一:如图以C为原点,CA、CB所在直线为x轴、y轴,建立空间直角坐标系,则、、、……………4分
设,,可得,, 则……………………5分
因为是的一个法向量,
……………………6分
即……………………7分
(Ⅲ) 解法一:由(Ⅱ)知,
………………8分
解得……………………9分
由此,,又、
,
设面PAB的一个法向量为
由 可得……………………11分
即,可取……………………12分
EF与面PAB所成角的正弦值:…………13分
(Ⅱ)解法二:如图以A为原点,过A且与CB平行的直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立空间直角坐标系,则、、
……………………4分
设,,可得:
,
则 ………………5分
因为是的一个法向量,
……………………6分
即……………………7分
(Ⅲ) 解法二:由(Ⅱ)知,
……………………8分
解得 ……………………9分
由此,
又、、,
设面PAB的一个法向量为
由 可得,……………………11分
即, 可取……………………12分
EF与面PAB所成角的正弦值……………13分
(Ⅱ)解法三:取MA中点G,连结EG,FG,
∵E是MB中点,∴EG是△MAB的中位线.
∴……………………4分
而
∴EG∥面ABC……………………5分
又EF∥面ABC,
∴面EFG∥面ABC, 而
∴FG∥面ABC……………………6分
∵
∴FG∥AC, ……………………7分
19.本题满分13分.
解:(Ⅰ)由题意可设所求椭圆方程为.
则……………………3分
解得
即椭圆Γ的方程为.……………………5分
(Ⅱ)由题意得.
(1)当弦的斜率均存在时,
设的斜率为,则的斜率为.……………………6分
令,线段中点.
将直线方程代入椭圆方程,
并化简得……………………7分
则,,于是,.因为,所以,将点坐标中的换为,
即得点…………………9分
① 当时,直线的方程为
令得,则直线过定点……………………10分
② 当时,易得直线的方程,也过点……………………11分
(2)当弦的斜率不存在时,易知,直线为轴,也过点
综上,直线必过定点……………………13分
20.本题满分14分.
解:(Ⅰ)由题意得,则,……………………2分
解得.……………………3分
(Ⅱ)由题意得,.
……………………5分
(1)当时, 令,并注意到函数的定义域
得或,则的增区间是;
同理可求的减区间是………………6分
(2)当时, ,则是定义域内的增函数……………………7分
(3)当时, 令,并注意到函数的定义域得或,
则的增区间是; 同理可求的减区间是…………………8分
(Ⅲ)证明: 因为正项数列满足
所以,即……………………10分
要证数列是递减数列
……………………12分
设,.,
是上的增函数,则,即,故,
则数列是递减数列……………………14分
21.本题满分14分.
(1) 解:(Ⅰ)由……………………1分
得 解得……………………2分
……………………3分
(Ⅱ)……………………4分
设点是直线上1一点,在矩阵NM的对应变换作用下得到的
点,则 可得……………………5分
,代入得……………………6分
曲线C的方程……………………7分
(2) 解:(Ⅰ)由曲线的极坐标方程,
得……………………1分
即: ………………………2分
曲线的直角坐标方程为,即……………………3分
由曲线的参数方程得的普通方程为:……………………4分
(Ⅱ) 表示圆心为,半径的圆,
因为圆心到直线的距离………6分
所以圆上的点到直线的距离的最小值为……………………7分
(3) 解:(Ⅰ)可化为:……………………1分
即或或……………3分
解得,所以不等式的解集为……………………4分
(Ⅱ)恒成立
(当时取等号)……………………5分
由,解得或……………………6分
即的取值范围是……………………7分
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