2020届青海省玉树州高三联考数学（理）试题（解析版） 20页

‎2020届青海省玉树州高三联考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】表示出集合N，利用并集概念求解。‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题。‎ ‎2．若复数对应复平面内的点，且，则复数的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据已知求出，即得复数的虚部.‎ ‎【详解】‎ 由题意，‎ 由得，‎ ‎∴复数的虚部为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的运算和复数的虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎3．如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）‎ A．4 B．5 C．8 D．9‎ ‎【答案】B ‎【解析】由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，‎ 其中落入白色部分的有484个点，‎ 则其中落入黑色部分的有605个点，‎ 由随机模拟试验可得：，又，‎ 可得，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用 模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.‎ ‎4．对于实数，“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由于不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac＞bc”必须有c＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边。故选B ‎【考点】不等式的性质 点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件。‎ ‎5．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点 ‎，则双曲线的方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由双曲线的渐近线为，可得到，又点在双曲线上，可得到，联立可求出双曲线的方程。‎ ‎【详解】‎ 双曲线的渐近线为，则，‎ 又点在双曲线上，则，解得，故双曲线方程为，故答案为C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的渐近线，考查了双曲线的方程的求法，考查了计算能力，属于基础题。‎ ‎6．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”.如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出的值为 A．8 B．7‎ C．6 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据程序框图逐步进行模拟运算即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，不满足，是奇数满足，，，‎ ‎，不满足，是奇数不满足，，，‎ ‎，不满足，是奇数满足，，，‎ ‎，不满足，是奇数不满足，，，‎ ‎，不满足，是奇数不满足，，，‎ ‎，不满足，. 是奇数不满足，，，‎ ‎，不满足，是奇数不满足，，，‎ ‎，满足，输出，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎7．已知，其中，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据同角三角函数关系求得,再根据二倍角正切公式得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，且，‎ 所以，因为，所以，‎ 因此，从而，，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎8．已知展开式中前三项的二项式系数的和等于22，则展开式中的常数项为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先由前三项的二项式系数的和等于22，求出，再写出二项展开式的通项，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为展开式中前三项的二项式系数的和等于22，‎ 所以，整理得，解得，‎ 所以二项式展开式的通项为，‎ 令可得，‎ 所以展开式中的常数项为.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理，熟记二项展开式的通项公式即可，属于常考题型.‎ ‎9．已知数列满足（），，等比数列满足，，则的前6项和为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求，再求等比数列公比，最后根据等比数列前项和公式求结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，因此等比数列公比,所以的前6项和为，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列前项和公式，考查基本分析求解能力.属基本题.‎ ‎10．将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质（ ）‎ A．在上单调递增，为偶函数 B．最大值为1，图象关于直线对称 C．在上单调递增，为奇函数 D．周期为，图象关于点对称 ‎【答案】A ‎【解析】由条件根据诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象性质得出结论．‎ ‎【详解】‎ 将函数的图象向右平移个单位后得到函数 的图象， 故当x∈时，2x∈，故函数g（x）在上单调递增，为偶函数， 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．‎ ‎11．点在椭圆：上，的右焦点为，点在圆：上，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出圆心为，半径为2，设椭圆的左焦点为，要求的最小值，即求的最小值，的最小值等于，即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得圆：，‎ 所以圆心为，半径为2.‎ 设椭圆的左焦点为，则，‎ 故要求的最小值，即求的最小值，‎ 圆的半径为2，‎ 所以的最小值等于，‎ ‎∴的最小值为，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆和圆的几何性质，考查最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎12．已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出的图象如图，令，问题转化为函数有两个零点，结合二次抛物线的图象根据根的分布列不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 作出的图象如图：‎ 设，则由图象知当时，有两个根，‎ 当时，只有一个根，‎ 若函数有三个零点，‎ 等价为函数有两个零点，‎ 其中或，‎ 当时，，此时另一个根为满足题意；‎ 当时，则满足，‎ 得，得，‎ 综上：.‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复合型方程的根的个数问题，进行合理的等价转化是解题的关键，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知向量，则___________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】先由题意得到，，，再由 ‎，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以，，，‎ 又，所以，，解得.‎ 故答案为2‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于常考题型.‎ ‎14．已知等差数列的前项和为，且，，则数列的前10项和为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等差数列的公差为，先求出，再求出，再利用裂项相消法求数列的前10项的和.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，又，‎ 解得，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 则数列的前10项和.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列通项的求法，考查等差数列的前n项和的计算，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎15．已知为坐标原点，为椭圆的右焦点，过点的直线在第一象限与椭圆交与点，且为正三角形，则椭圆的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据过点的直线在第一象限与椭圆交与点，且为正三角形，求出点坐标，再代入椭圆方程，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为为椭圆：的右焦点，所以，‎ 又点的直线在第一象限与椭圆交与点，且为正三角形，边长为，‎ 所以，代入可得：‎ ‎，又，所以，所以，‎ 解得，因为，所以，故.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆离心率，熟记椭圆的性质即可，属于常考题型.‎ ‎16．正四棱锥的体积为，底面边长为，则正四棱锥的内切球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出正四棱锥的高和斜高，再求正四棱锥的内切球的半径，即得内切球的表面积.‎ ‎【详解】‎ 正四棱锥的体积，‎ ‎∴，‎ ‎∴斜高为，‎ 设正四棱锥的内切球的半径为，‎ 则 ‎∴.‎ ‎∴正四棱锥的内切球的表面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何体的内切球的计算问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 三、解答题 ‎17．在中，角A,B,C的对边分别是且.‎ ‎（Ⅰ）求角B.‎ ‎(Ⅱ)若的面积为，求边b的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由正弦定理，化简整理得，再由余弦定理，即可求解.‎ ‎ (Ⅱ)由三角形的面积公式，求得，再由余弦定理和基本不等式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理得，‎ ‎，所以 ‎ 又在中，， .‎ ‎(Ⅱ) ，‎ 由余弦定理得， ‎ 当且仅当时，等号成立. ‎ ‎,则实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理，及三角形的面积公式求解三角形问题，解答有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理．‎ ‎18．如图，四边形与均为菱形，设与相交于点，若，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2) ‎ ‎【解析】（1）证明平面平面，即证平面；（2）连接，，由，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.利用向量法求直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵四边形与四边形均为菱形，‎ ‎∴，.‎ ‎∵平面，平面，平面，平面，‎ ‎∴平面，平面，‎ 又，平面，平面，‎ ‎∴平面平面，‎ 又平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）连接，，∵四边形为菱形，且，‎ ‎∴为等边三角形，‎ ‎∵为中点，∴，‎ 又∵为中点，且，∴，‎ 又，∴平面.‎ 由，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设，因为四边形为菱形，，‎ 则，，，‎ ‎∴，，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的一个法向量，‎ 则，取，得，‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线与平面所成角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间位置关系的证明，考查线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎19．某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售.已知这批产品中每箱出现的废品率只有或者两种可能，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱.现处理价格为每箱8400元，遇到废品不予更换.以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据.‎ ‎（1）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；‎ ‎（2）现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验.‎ ‎①若此箱出现的废品率为，记抽到的废品数为，求的分布列和数学期望；‎ ‎②若已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，判断是否可以购买.‎ ‎【答案】(1) 在不开箱检验的情况下，可以购买. (2) ①分布列见解析，0.4 ②不可以购买 ‎【解析】（1）求出在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望值，即得解；（2）①的可能取值为0，1，2，再求出对应的概率，即得的分布列和数学期望；②一箱产品中，设正品的价格的期望值为，求出即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望值为：‎ ‎，‎ ‎∴在不开箱检验的情况下，可以购买.‎ ‎（2）①的可能取值为0，1，2，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.64‎ ‎0.32‎ ‎0.04‎ ‎.‎ ‎②设事件：发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，‎ 则，‎ 一箱产品中，设正品的价格的期望值为，则，‎ 事件：抽取的废品率为的一箱，‎ 则，‎ 事件：抽取的废品率为的一箱，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，不可以购买.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查随机变量的分布列和期望的求法，考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎20．已知直线与焦点为F的抛物线相切.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）联立和，利用即可求得，从而得到抛物线方程；（Ⅱ）设直线为，与抛物线联立后可利用韦达定理求得，进而得到；由中点坐标公式可求得中点；利用点到距离之和等于点到的距离的倍，可将所求距离变为关于 的函数，求解函数的最小值即可得到所求距离之和的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）将与抛物线联立得：‎ 与相切 ，解得：‎ 抛物线的方程为：‎ ‎（Ⅱ）由题意知，直线斜率不为，可设直线方程为：‎ 联立得：‎ 设，，则 ‎ 线段中点 设到直线距离分别为 则 ‎ 当时，‎ 两点到直线的距离之和的最小值为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到根据直线与抛物线的位置关系求解抛物线方程、抛物线中的最值问题的求解等知识；求解最值的关键是能够将所求距离之和转变为中点到直线的距离，利用点到直线距离公式得到函数关系，利用函数最值的求解方法求得结果.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】(1) 单调递增区间是，单调递减区间是. (2)证明见解析 ‎【解析】（1）利用导数求函数的单调区间；（2）先证明，再利用数学归纳法证明 ‎，即得证.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵函数，‎ ‎∴函数，（.‎ 由，解得，‎ 由，得.‎ ‎∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎（2）证明：由（1）知，的最小值为，‎ ‎∴（且），即，‎ ‎∴，，…，，‎ 累加得：，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 下面利用数学归纳法证明.‎ 当时，左边，右边，不等式成立；‎ 假设当时不等式成立，即，‎ 那么，当时，.‎ 要证，‎ 只需证，也就是证，此时显然成立.‎ ‎∴，‎ 即，‎ 综上，.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查不等式的证明和数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为 ‎（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线，的极坐标方程；‎ ‎（2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于，两点（异于极点），定点，求的面积 ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）第（1）问，先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程. (2) 先利用极坐标求出弦长|AB|,再求高，最后求的面积．‎ 试题解析：‎ ‎（1）曲线的极坐标方程为： ，‎ 因为曲线的普通方程为： ， ‎ 曲线的极坐标方程为． ‎ ‎（2） 由（1）得：点的极坐标为， 点的极坐标为 ‎ ‎ ‎ 点到射线的距离为 ‎ ‎ 的面积为 .‎ ‎23．已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）对于任意的实数，存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）去掉绝对值符号，得到分段函数，然后求解不等式的解集．‎ ‎（2）不等式　，根据已知条件，结合绝对值不等式的几何意义，转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 因为，所以．‎ ‎（1）当时， ‎ 所以由，可得或 或 ，‎ 解得或， ‎ 故原不等式的解集为．‎ ‎（2）因为，‎ 令，则由题设可得 ，‎ 由，得． ‎ 因为，所以．‎ 故，从而，即， ‎ 又已知，故实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值不等式的几何意义的应用；绝对值不等式问题中的求参数范围问题，一般思路是：借助绝对值的几何意义、零点分段法等，先求出相关函数的最值或值域，再根据题目要求求解.‎