2018年高三理科数学试卷（一）（教师版） 7页

此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号 绝密★启用前 ‎2018年好教育云平台最新高考信息卷 理科数学（一）‎ 注意事项：‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 ‎ ‎2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。‎ ‎3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。‎ ‎4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合，，则（）‎ A．{1，2} B．{2，3} C．{1，3} D．{1，2，3}‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，，选B．‎ ‎2．设，是虚数单位，则的虚部为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，的虚部为，选D．‎ ‎3．已知随机变量服从正态分布，如果，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意得：，．故选A．‎ ‎4．已知函数（，）图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（）‎ A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，，，因为函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，所以关于轴对称，即，，，所以关于点对称，选A．‎ ‎5．数列满足，则数列的前20项的和为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得，，，，，的前项的和为，故选A．‎ ‎6．已知直线，圆，那么圆上到的距离为的点一共有（）个．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由圆，可得圆心，半径，又圆心到直线的距离，如图所示，由图象可知，点，，到直线的距离都为，所以圆上到的距离为的点一共个，‎ 故选C．‎ ‎7．若，，，满足，，，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，，，选A．‎ ‎8．函数在区间上的图象大致为（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为当时，；当时，；当时，．所以选D．‎ ‎9．我国南宋时期的数学家秦九部(约1202-1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输人的，，，则程序框图计算的是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】执行循环得：，，；，，，；，；，；结束循环，输出，选A．‎ ‎10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】几何体如图，‎ 表面积为 ‎，选C．‎ ‎11．在三棱锥中，，，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥的外接球半径是（）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】取中点，则，即为三棱锥的外接球球心，设半径为，则，，选C．‎ ‎12．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，有下列命题：‎ ‎①在内单调递增；‎ ‎②和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；‎ ‎③和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；‎ ‎④和之间存在唯一的“隔离直线”．‎ 其中真命题的个数有（）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C ‎【解析】①，，，，在内单调递增，故①正确；②，③设的隔离直线为，则对一切实数成立，即有，，又对一切成立，则，即，，，，即有且，，，同理，可得，故②正确，③错误，④函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，由，可得，当恒成立，则，只有，此时直线方程为，下面证明，令，，当时，；当时，；当时，；当时，取到极小值，极小值是，也是最小值，，则，函数和存在唯一的隔离直线，故④正确，真命题的个数有三个，故选C．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．已知实数，满足，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】作可行域，则直线过点时取最小值，‎ ‎14．已知向量，，若，则___________．‎ ‎【答案】13‎ ‎【解析】由题意得，，，．‎ ‎15．已知数列的前项和为，且，则数列的前6项和为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，，，‎ 因为，，，，‎ 数列的前6项和为．‎ ‎16．抛物线的焦点为，准线为，、是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，，如图，根据抛物线的定义，可知，，再梯形中，有，中，，又因为，所以，所以，故最大值是，故填：．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．在中，角，，所对的边分别为，，．满足．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，求的大小．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）在中，∵，‎ ‎∴由正弦定理可得：，‎ ‎∴，‎ 又中，．．‎ ‎∵．∴．‎ ‎（2）由，，，得．‎ 由余弦定理得，∴．‎ ‎18．如图，在矩形中，，，是的中点，以为折痕将向上折起，变为，且平面平面．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）证明：∵，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵平面平面，‎ ‎∴平面，∴‎ ‎（2）如图建立空间直角坐标系，‎ 则、、、，，‎ 从而，，．‎ 设为平面的法向量，‎ 则可以取，‎ 设为平面的法向量，‎ 则可以取，‎ 因此，，有，即平面平面，‎ 故二面角的大小为．‎ ‎19．由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了、两个地区的名观众，得到如下的列联表：‎ 非常满意 满意 合计 ‎30‎ 合计 已知在被调查的名观众中随机抽取名，该观众是地区当中“非常满意”的观众的概率为，且．‎ ‎（1）现从名观众中用分层抽样的方法抽取名进行问卷调查，则应抽取“满意”的地区的人数各是多少．‎ ‎（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．‎ ‎（3）若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取人，设抽到的观众“非常满意”的人数为，求的分布列和期望．‎ 附：参考公式：．‎ ‎【答案】（1）3，4；（2）没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系；（3）见解析．‎ ‎【解析】（1）由题意，得，所以，所以，因为，‎ 所以，，‎ A地抽取，B地抽取，‎ ‎（2）‎ 非常满意 满意 合计 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ ‎35‎ ‎20‎ ‎55‎ 合计 ‎65‎ ‎35‎ ‎100‎ ‎，‎ 所以没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．‎ ‎（3）从地区随机抽取人，抽到的观众“非常满意”的概率为,‎ 随机抽取人，的可能取值为，，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎20．已知椭圆的左、右焦点分别为，．且椭圆过点，离心率；点在椭圆上，连接并延长交椭圆于点，点是中点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）依题意，，则，解得，，．‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（2）由，分别为，的中点，故．‎ 故与同底等高，故，．‎ 当直线的斜率不存在时，其方程为，此时．‎ 当直线的斜率存在时，设其方程为：，设，，‎ 显然直线不与轴重合，即；‎ 联立，解得，‎ ‎，故．‎ 故，‎ 点到直线的距离，‎ ‎，令，‎ 故，‎ 故的最大值为．‎ ‎21．已知函数，．‎ ‎（1）求函数的单调区间．‎ ‎（2）若对任意，，恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）单调增区间为，单调减区间和；（2）．‎ ‎【解析】（1）．‎ 令，则，令，则或．‎ 故函数的单调增区间为，单调减区间和．‎ ‎（2）依题意，“对于任意，，恒成立”等价于“对于任意，恒成立”．‎ 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎∵，，∴函数的最小值为，‎ ‎∴．∵，∴．‎ ‎∵，令，得，．‎ ‎①当，即时，当时，‎ ‎，函数在上单调递增，∴函数．‎ 由得，，∴．‎ ‎②当，即时，时，时，，‎ ‎∴函数在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴．由得，，‎ ‎∴．综上所述，的取值范围是．‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]已知直线过原点且倾斜角为，，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知直线过原点且与直线相互垂直，若，，其中，不与原点重合，求面积的最小值．‎ ‎【答案】（1），；（2）16．‎ ‎【解析】（1）依题意，直线的极坐标方程为，‎ 曲线，，直角坐标方程为，‎ ‎（2）把代入，得，‎ 可知直线的极坐标方程为，‎ 代入，得，所以，‎ ‎，‎ ‎(当且仅当时，取“=”)，‎ 即面积的最小值为．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的定义域；‎ ‎（2）若不等式的解集为，求实数的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，函数，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴或或．‎ 解得或．故函数的定义域为．‎ ‎（2）∵不等式的解集为，‎ ‎∴恒成立．∴恒成立．‎ ‎∵ (当且仅当时，取“=”)，‎ ‎∴，故有，故实数的最大值为．‎