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  • 2021-06-22 发布

2005年安徽省高考数学试卷(文科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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‎ 7 / 7‎ ‎2005年安徽省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1. 设I为全集,S‎1‎、S‎2‎、S‎3‎是I的三个非空子集,且S‎1‎‎∪S‎2‎∪S‎3‎=I,则下面论断正确的是( )‎ A.‎∁‎IS‎1‎‎∩(S‎2‎∪S‎3‎)=⌀‎ B.‎S‎1‎‎⊆(‎∁‎IS‎2‎∩‎∁‎IS‎3‎)‎ C.‎∁‎IS‎1‎‎∩‎∁‎IS‎2‎∩‎∁‎IS‎3‎=⌀‎ D.‎S‎1‎‎⊆(‎∁‎IS‎2‎∪‎∁‎IS‎3‎)‎ ‎2. 一个与球心距离为‎1‎的平面截球所得的圆面面积为π,则球的表面积为( )‎ A.‎8‎2‎π B.‎8π C.‎4‎2‎π D.‎‎4π ‎3. 函数f(x)=x‎3‎+ax‎2‎+3x-9‎,已知f(x)‎在x=-3‎时取得极值,则a=‎(        )‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.‎4‎ D.‎‎5‎ ‎4. 如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为‎1‎的正方形,且‎△ADE,‎△BCF均为正三角形,EF // AB,EF=2‎,则该多面体的体积为‎(‎        ‎‎)‎ A.‎2‎‎3‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎4‎‎3‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎5. 已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎=1(a>0)‎的一条准线为x=‎‎3‎‎2‎,则该双曲线的离心率为( )‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.‎6‎‎2‎ D.‎‎2‎‎3‎‎3‎ ‎6. 当‎0-2x的解集为‎(1, 3)‎.‎ ‎(1)‎若方程f(x)+6a=0‎有两个相等的根,求f(x)‎的解析式;‎ ‎(2)‎若f(x)‎的最大值为正数,求a的取值范围.‎ ‎20. ‎9‎粒种子分种在甲、乙、丙‎3‎个坑内,每坑‎3‎粒,每粒种子发芽的概率为‎0.5‎.若一个坑内至少有‎1‎粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.‎ ‎ 7 / 7‎ ‎(1)求甲坑不需要补种的概率;‎ ‎(2)求‎3‎个坑中恰有‎1‎个坑不需要补种的概率;‎ ‎(3)求有坑需要补种的概率.(精确到‎0.001‎).‎ ‎21. 设正项等比数列‎{an}‎的首项a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎,前n项和为Sn,且‎2‎‎10‎S‎30‎‎-(‎2‎‎10‎+1)S‎20‎+S‎10‎=0‎.‎ ‎(1)求‎{an}‎的通项;‎ ‎(2)求‎{nSn}‎的前n项和Tn.‎ ‎22. 已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为‎1‎且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,OA‎→‎‎+‎OB‎→‎与a‎→‎‎=(3, -1)‎共线.‎ ‎(I)‎求椭圆的离心率;‎ ‎(II)‎设M为椭圆上任意一点,且OM‎→‎‎=λOA‎→‎+μOB‎→‎(λ, μ∈R)‎,证明λ‎2‎‎+‎μ‎2‎为定值.‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2005年安徽省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.C ‎2.B ‎3.D ‎4.A ‎5.D ‎6.C ‎7.B ‎8.C ‎9.C ‎10.B ‎11.D ‎12.C 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)‎ ‎13.‎‎155‎ ‎14.‎‎70‎ ‎15.‎‎100‎ ‎16.①③④‎ 三、解答题(共6小题,满分74分)‎ ‎17.解:(1)∵ x=‎π‎8‎是函数y=f(x)‎的图象的对称轴,‎ ‎∴ sin(2×π‎8‎+ϕ)=±1‎,∴ π‎4‎‎+ϕ=kπ+‎π‎2‎,k∈Z.‎ ‎∵ ‎-π<ϕ<0‎,ϕ=-‎‎3π‎4‎.‎ ‎(2)由(1)知ϕ=-‎‎3π‎4‎,因此y=sin(2x-‎3π‎4‎)‎.‎ 由题意得‎2kπ-π‎2‎≤2x-‎3π‎4‎≤2kπ+‎π‎2‎,k∈Z.‎ 所以函数y=sin(2x-‎3π‎4‎)‎的单调增区间为‎[kπ+π‎8‎,kπ+‎5π‎8‎],k∈Z.‎ ‎(3)证明:∵ ‎|y‎'‎|=|(sin(2x-‎3π‎4‎))'|=|2cos(2x-‎3π‎4‎)|≤2‎,‎ 所以曲线y=f(x)‎的切线斜率取值范围为‎[-2, 2]‎,‎ 而直线‎5x-2y+c=0‎的斜率为‎5‎‎2‎‎>2‎,‎ 所以直线‎5x-2y+c=0‎与函数y=sin(2x-‎3π‎4‎)‎的图象不相切.‎ ‎18.‎(1)‎证明:如图,‎ ‎∵ PA⊥‎面ABCD,CD⊥AD,‎ ‎∴ 由三垂线定理得:CD⊥PD.‎ 因而,CD与面PAD内两条相交直线AD,PD都垂直,‎ ‎∴ CD⊥‎面PAD.‎ 又CD⊂‎面PCD,‎ ‎∴ 面PAD⊥‎面PCD.‎ ‎(2)‎解:过点B作BE // CA,且BE=CA,‎ 则‎∠PBE是AC与PB所成的角.‎ 连接AE,可知AC=CB=BE=AE=‎‎2‎,又AB=2‎,‎ 所以四边形ACBE为正方形.由PA⊥‎面ABCD得‎∠PEB=‎‎90‎‎∘‎ 在Rt△PEB中BE=a‎2‎=3‎b‎2‎,PB=‎‎5‎,‎ ‎∴ cos∠PBE=BEPB=‎‎10‎‎5‎.‎ ‎∴ AC与PB所成的角为arccos‎10‎‎5‎.‎ ‎(3)‎解:作AN⊥CM,垂足为N,连接BN.‎ 在Rt△PAB中,AM=MB,又AC=CB,‎ ‎∴ ‎△AMC≅△BMC,‎ ‎∴ BN⊥CM,故‎∠ANB为所求二面角的平面角 ‎∵ CB⊥AC,由三垂线定理,得CB⊥PC,‎ ‎ 7 / 7‎ 在Rt△PCB中,CM=MB,所以CM=AM.‎ 在等腰三角形AMC中,AN⋅MC=‎CM‎2‎-(AC‎2‎‎)‎‎2‎⋅AC,‎ ‎∴ AN=‎3‎‎2‎‎×‎‎2‎‎5‎‎2‎=‎‎6‎‎5‎.‎ ‎∴ AB=2‎,‎ ‎∴ ‎cos∠ANB=AN‎2‎+BN‎2‎-AB‎2‎‎2×AN×BN=-‎‎2‎‎3‎ 故所求的二面角为arccos(-‎2‎‎3‎)‎.‎ ‎19.解:‎(1)‎∵ f(x)+2x>0‎的解集为‎(1, 3)‎,‎ ‎∴ f(x)+2x=a(x-1)(x-3)‎,且a<0‎.‎ 因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax‎2‎-(2+4a)x+3a.①‎ 由方程f(x)+6a=0‎得ax‎2‎-(2+4a)x+9a=0‎.②‎ 因为方程②有两个相等的根,所以Δ=[-(2+4a)‎]‎‎2‎-4a⋅9a=0‎,‎ 即‎5a‎2‎-4a-1=0‎,解得a=1‎或a=-‎‎1‎‎5‎.‎ 由于a<0‎,舍去a=1‎,故a=-‎‎1‎‎5‎.‎ 将a=-‎‎1‎‎5‎代入①得f(x)‎的解析式f(x)=-‎1‎‎5‎x‎2‎-‎6‎‎5‎x-‎‎3‎‎5‎.‎ ‎(2)‎由f(x)=ax‎2‎-2(1+2a)x+3a=a(x-‎1+2aa‎)‎‎2‎-‎a‎2‎‎+4a+1‎a,‎ 及a<0‎,可得f(x)‎的最大值为‎-‎a‎2‎‎+4a+1‎a.‎ 由‎-a‎2‎‎+4a+1‎a>0‎a<0‎解得a<-2-‎‎3‎或‎-2+‎3‎0‎,所以‎2‎‎10‎q‎10‎‎=1‎,解得q=‎‎1‎‎2‎,因而an‎=a‎1‎qn-1‎=‎1‎‎2‎n,n=1,2‎,.‎ ‎(2)由题意知Sn‎=‎1‎‎2‎‎(1-‎1‎‎2‎n)‎‎1-‎‎1‎‎2‎=1-‎1‎‎2‎n,nSn=n-‎n‎2‎n.‎ 则数列‎{nSn}‎的前n项和Tn‎=(1+2++n)-(‎1‎‎2‎+‎2‎‎2‎‎2‎++n‎2‎n)‎,Tn‎2‎‎=‎1‎‎2‎(1+2++n)-(‎1‎‎2‎‎2‎+‎2‎‎2‎‎3‎++n-1‎‎2‎n+n‎2‎n+1‎)‎.‎ 前两式相减,得Tn‎2‎‎=‎1‎‎2‎(1+2++n)-(‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎++‎1‎‎2‎n)+n‎2‎n+1‎=n(n+1)‎‎4‎-‎1‎‎2‎‎(1-‎1‎‎2‎n)‎‎1-‎‎1‎‎2‎+‎n‎2‎n+1‎即Tn‎=n(n+1)‎‎2‎+‎1‎‎2‎n-1‎+n‎2‎n-2‎.‎ ‎22.解:‎(1)‎设椭圆方程为x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),F(c,0)‎ 则直线AB的方程为y=x-c,代入x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎,‎ 化简得‎(a‎2‎+b‎2‎)x‎2‎-2a‎2‎cx+a‎2‎c‎2‎-a‎2‎b‎2‎=0‎.‎ 令A(x‎1‎, y‎1‎)‎,B(x‎2‎, y‎2‎)‎,‎ ‎ 7 / 7‎ 则x‎1‎‎+x‎2‎=‎2a‎2‎ca‎2‎‎+‎b‎2‎,x‎1‎x‎2‎=‎a‎2‎c‎2‎‎-‎a‎2‎b‎2‎a‎2‎‎+‎b‎2‎.‎ ‎∵ OA‎→‎‎+OB‎→‎=(x‎1‎+x‎2‎,y‎1‎+y‎2‎),a‎→‎=(3,-1),OA‎→‎+‎OB‎→‎与a‎→‎共线,‎ ‎∴ ‎3(y‎1‎+y‎2‎)+(x‎1‎+x‎2‎)=0‎,又y‎1‎‎=x‎1‎-c,y‎2‎‎=x‎2‎-c,‎ ‎∴ ‎3(x‎1‎+x‎2‎-2c)+(x‎1‎+x‎2‎)=0‎,‎ ‎∴ x‎1‎‎+x‎2‎=‎3‎‎2‎c.‎ 即‎2a‎2‎ca‎2‎‎+‎b‎2‎‎=‎‎3c‎2‎,‎ 所以a‎2‎‎=3‎b‎2‎.‎ ‎∴ c=a‎2‎‎-‎b‎2‎=‎‎6‎a‎3‎,‎ 故离心率e=ca=‎‎6‎‎3‎.‎ ‎(II)‎证明:由‎(1)‎知a‎2‎‎=3‎b‎2‎,‎ 所以椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),F(c,0)‎可化为x‎2‎‎+3y‎2‎=3‎b‎2‎.‎ 设M(x, y)‎,‎ 由已知得‎(x, y)=λ(x‎1‎, y‎1‎)+μ(x‎2‎, y‎2‎)‎,‎ ‎∴ ‎x=λx‎1‎+μx‎2‎y=λy‎1‎+μy‎2‎ ‎∵ M(x, y)‎在椭圆上,‎ ‎∴ ‎(λx‎1‎+μx‎2‎‎)‎‎2‎+3(λy‎1‎+μy‎2‎‎)‎‎2‎=3‎b‎2‎.‎ 即λ‎2‎‎(x‎1‎‎2‎+3y‎1‎‎2‎)+μ‎2‎(x‎2‎‎2‎+3y‎2‎‎2‎)+2λμ(x‎1‎x‎2‎+3y‎1‎y‎2‎)=3‎b‎2‎.①‎ 由‎(1)‎知a‎2‎‎=‎3‎‎2‎c‎2‎,b‎2‎=‎‎1‎‎2‎c‎2‎.‎ ‎∴ x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎3c‎2‎,‎x‎1‎x‎2‎‎=a‎2‎c‎2‎‎-‎a‎2‎b‎2‎a‎2‎‎+‎b‎2‎=‎‎3‎‎8‎c‎2‎ ‎∴ x‎1‎x‎2‎‎+3y‎1‎y‎2‎=x‎1‎x‎2‎+3(x‎1‎-c)(x‎2‎-c)=4x‎1‎x‎2‎-3(x‎1‎+x‎2‎)c+3c‎2‎=‎3‎‎2‎c‎2‎-‎9‎‎2‎c‎2‎+3c‎2‎=0‎.‎ 又x‎1‎‎2‎‎+3y‎1‎‎2‎=3‎b‎2‎,x‎2‎‎2‎‎+3y‎2‎‎2‎=3‎b‎2‎,‎ 代入①得λ‎2‎‎+μ‎2‎=1‎.‎ 故λ‎2‎‎+‎μ‎2‎为定值,定值为‎1‎.‎ ‎ 7 / 7‎