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2013年湖南省高考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)复数z=i•(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.(5分)某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( )
A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法
3.(5分)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于( )
A. B. C. D.
4.(5分)若变量x,y满足约束条件,则x+2y的最大值是( )
A. B.0 C. D.
5.(5分)函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2﹣4x+5的图象的交点个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
6.(5分)已知,是单位向量,,若向量满足,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.(5分)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能是( )
A.1 B. C. D.
8.(5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB边上异于AB的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图),若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )
A.2 B.1 C. D.
二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,第小题5分,共35分.(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答、如果全做,则按前两题记分)(二)必做题(12~16题)
9.在平面直角坐标系xOy中,若直线l:,(t为参数)过椭圆C:(θ为参数)的右顶点,则常数a的值为 .
10.(5分)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为 .
11.(5分)如图,在半径为的⊙O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为 .
12.(5分)若x2dx=9,则常数T的值为 .
13.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入a=1,b=2,则输出的a的值为 .
14.(5分)设F1,F2是双曲线C:(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为 .
15.(5分)设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=(﹣1)nan﹣,n∈N*,则
(1)a3= ;
(2)S1+S2+…+S100= .
16.(5分)设函数f(x)=ax+bx﹣cx,其中c>a>0,c>b>0.
(1)记集合M={(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b},则(a,b,c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为 .
(2)若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
①∀x∈(﹣∞,1),f(x)>0;
②∃x∈R,使ax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长;
③若△ABC为钝角三角形,则∃x∈(1,2),使f(x)=0.
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)已知函数f(x)=sin(x﹣)+cos(x﹣),g(x)=2sin2.
(Ⅰ)若α是第一象限角,且f(α)=,求g(α)的值;
(Ⅱ)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.
18.(12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰 好“相近”的概率;
(II)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.
19.(12分)如图,在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.
(Ⅰ)证明:AC⊥B1D;
(Ⅱ)求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值.
20.(13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(﹣10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.
(I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);
(II)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.
21.(13分)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2.l1与E交于点A,B,l2与E交于C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.
(Ⅰ)若k1>0,k2>0,证明:;
(Ⅱ)若点M到直线l的距离的最小值为,求抛物线E的方程.
22.(13分)已知a>0,函数.
(Ⅰ)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;
(Ⅱ)是否存在a使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
2013年湖南省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)(2013•湖南)复数z=i•(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【分析】化简复数z,根据复数与复平面内点的对应关系可得答案.
【解答】解:z=i•(1+i)=﹣1+i,
故复数z对应的点为(﹣1,1),
在复平面的第二象限,
故选B.
2.(5分)(2013•湖南)某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( )
A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法
【分析】若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样.
【解答】解:总体由男生和女生组成,比例为500:500=1:1,所抽取的比例也是1:1.
故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是分层抽样法.
故选:D.
3.(5分)(2013•湖南)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于( )
A. B. C. D.
【分析】利用正弦定理可求得sinA,结合题意可求得角A.
【解答】解:∵在△ABC中,2asinB=b,
∴由正弦定理==2R得:2sinAsinB=sinB,
∴sinA=,又△ABC为锐角三角形,
∴A=.
故选D.
4.(5分)(2013•湖南)若变量x,y满足约束条件,则x+2y的最大值是( )
A. B.0 C. D.
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移,可得当x=,y=时,x+2y取得最大值为.
【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,
得到如图的△ABC及其内部,其中A(﹣,﹣1),B(,),C(2,﹣1)
设z=F(x,y)=x+2y,将直线l:z=x+2y进行平移,
当l经过点B时,目标函数z达到最大值
∴z最大值=F(,)=
故选:C
5.(5分)(2013•湖南)函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2﹣4x+5的图象的交点个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象,要求函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2﹣4x+5的图象的交点个数,我们画出函数的图象后,利用数形结合思想,易得到答案.
【解答】解:在同一坐标系下,画出函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2﹣4x+5的图象如图:
由图可知,两个函数图象共有2个交点
故选B.
6.(5分)(2013•湖南)已知,是单位向量,,若向量满足,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【分析】令,,,作出图象,根据图象可求出的最大值、最小值.
【解答】解:令,,,
如图所示:则,
又,所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上,
易知点C与O、D共线时达到最值,最大值为+1,最小值为﹣1,
所以的取值范围为[﹣1,+1].
故选A.
7.(5分)(2013•湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能是( )
A.1 B. C. D.
【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出.
【解答】解:水平放置的正方体,当正视图为正方形时,其面积最小为1;当正视图为对角面时,其面积最大为.
因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积的范围为.
因此可知:A,B,D皆有可能,而<1,故C不可能.
故选C.
8.(5分)(2013•湖南)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB边上异于AB的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图),若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )
A.2 B.1 C. D.
【分析】建立坐标系,设点P的坐标,可得P关于直线BC的对称点P1的坐标,和P关于y轴的对称点P2的坐标,由P1,Q,R,P2四点共线可得直线的方程,由于过△ABC的重心,代入可得关于a的方程,解之可得P的坐标,进而可得AP的值.
【解答】解:建立如图所示的坐标系:
可得B(4,0),C(0,4),故直线BC的方程为x+y=4,
△ABC的重心为(,),设P(a,0),其中0<a<4,
则点P关于直线BC的对称点P1(x,y),满足,
解得,即P1(4,4﹣a),易得P关于y轴的对称点P2(﹣a,0),
由光的反射原理可知P1,Q,R,P2四点共线,
直线QR的斜率为k==,故直线QR的方程为y=(x+a),
由于直线QR过△ABC的重心(,),代入化简可得3a2﹣4a=0,
解得a=,或a=0(舍去),故P(,0),故AP=
故选D
二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,第小题5分,共35分.(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答、如果全做,则按前两题记分)(二)必做题(12~16题)
9.(2013•湖南)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:,(t为参数)过椭圆C:(θ为参数)的右顶点,则常数a的值为 3 .
【分析】直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程,求出椭圆的右顶点,代入直线方程即可求得a的值.
【解答】解:由直线l:,得y=x﹣a,
再由椭圆C:,得,
①2+②2得,.
所以椭圆C:的右顶点为(3,0).
因为直线l过椭圆的右顶点,所以0=3﹣a,所以a=3.
故答案为3.
10.(5分)(2013•湖南)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2
的最小值为 12 .
【分析】根据柯西不等式,得(a+2b+3c)2=(1×a+1×2b+1×3c)2≤(12+12+12)(a2+4b2+9c2)=3(a2+4b2+9c2),化简得a2+4b2+9c2≥12,由此可得当且仅当a=2,b=1,c=时,a2+4b2+9c2的最小值为12.
【解答】解:∵a+2b+3c=6,
∴根据柯西不等式,得(a+2b+3c)2=(1×a+1×2b+1×3c)2≤(12+12+12)[a2+(2b)2+(3c)2]
化简得62≤3(a2+4b2+9c2),即36≤3(a2+4b2+9c2)
∴a2+4b2+9c2≥12,
当且仅当a:2b:3c=1:1:1时,即a=2,b=1,c=时等号成立
由此可得:当且仅当a=2,b=1,c=时,a2+4b2+9c2的最小值为12
故答案为:12
11.(5分)(2013•湖南)如图,在半径为的⊙O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为 .
【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长,再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离,注意计算的正确率.
【解答】解:由相交弦定理得,AP×PB=CP×PD,
∴2×2=CP•1,
解得:CP=4,又PD=1,
∴CD=5,
又⊙O的半径为,
则圆心O到弦CD的距离为d===.
故答案为:.
12.(5分)(2013•湖南)若x2dx=9,则常数T的值为 3 .
【分析】利用微积分基本定理即可求得.
【解答】解:==9,解得T=3,
故答案为:3.
13.(5分)(2013•湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入a=1,b=2,则输出的a的值为 9 .
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环累加a值,并判断满足a>8时输出a的值.
【解答】解:程序在运行过程中各变量的聚会如下表示:
是否继续循环 a b
循环前/1 2
第一圈 是 3 2
第二圈 是 5 2
第三圈 是 7 2
第四圈 是 9 2
第五圈 否
故最终输出的a值为9.
故答案为:9.
14.(5分)(2013•湖南)设F1,F2是双曲线C:(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为 .
【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|,|F1F2|,|PF2|,然后利用最小内角为30°结合余弦定理,求出双曲线的离心率.
【解答】解:因为F1、F2是双曲线的两个焦点,P是双曲线上一点,且满足|PF1|+|PF2|=6a,
不妨设P是双曲线右支上的一点,由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a
所以|F1F2|=2c,|PF1|=4a,|PF2|=2a,
∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°,由余弦定理,
∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2,
即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a×,
∴c2﹣2ca+3a2=0,
∴c=a
所以e==.
故答案为:.
15.(5分)(2013•湖南)设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=(﹣1)nan﹣,n∈N*,则
(1)a3= ﹣ ;
(2)S1+S2+…+S100= .
【分析】(1)把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论,由此求出首项和n≥2时的关系式.对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式,则a3可求;
(2)把(1)中求出的数列的通项公式代入,n∈N*
,则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果.
【解答】解:由,n∈N*,
当n=1时,有,得.
当n≥2时,.
即.
若n为偶数,则.
所以(n为正奇数);
若n为奇数,则=.
所以(n为正偶数).
所以(1).
故答案为﹣;
(2)因为(n为正奇数),所以﹣,
又(n为正偶数),所以.
则.
,.
则.
…
.
所以,S1+S2+S3+S4+…+S99+S100
=
=
=
=.
故答案为.
16.(5分)(2013•湖南)设函数f(x)=ax+bx﹣cx,其中c>a>0,c>b>0.
(1)记集合M={(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b},则(a,b,c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为 {x|0<x≤1} .
(2)若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论正确的是 ①②③ .(写出所有正确结论的序号)
①∀x∈(﹣∞,1),f(x)>0;
②∃x∈R,使ax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长;
③若△ABC为钝角三角形,则∃x∈(1,2),使f(x)=0.
【分析】(1)由集合M中的元素满足的条件,得到c≥a+b=2a,求得的范围,解出函数f(x)=ax+bx﹣cx的零点,利用不等式可得零点x的取值集合;
(2)对于①,把函数式f(x)=ax+bx﹣cx变形为,利用指数函数的单调性即可证得结论成立;
对于②,利用取特值法说明命题是正确的;
对于③,由△ABC为钝角三角形说明f(2)<0,又f(1)>0,由零点的存在性定理可得命题③正确.
【解答】解:(1)因为c>a,由a,b,c不能构成一个三角形的三条边长得c≥a+b=2a,所以,则.
令f(x)=ax+bx﹣cx=.
得,所以.
又∵>1,则ln>0,所以x=>0,
所以0<x≤1.
故答案为{x|0<x≤1};
(2)①因为,
又,
所以对∀x∈(﹣∞,1),.
所以命题①正确;
②令x=﹣1,a=2,b=4,c=5.则ax=,bx=,cx=.不能构成一个三角形的三条边长.
所以命题②正确;
③若三角形为钝角三角形,则a2+b2﹣c2<0.
f(1)=a+b﹣c>0,f(2)=a2+b2﹣c2<0.
所以∃x∈(1,2),使f(x)=0.
所以命题③正确.
故答案为①②③.
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)(2013•湖南)已知函数f(x)=sin(x﹣)+cos(x﹣),g(x)=2sin2.
(Ⅰ)若α是第一象限角,且f(α)=,求g(α)的值;
(Ⅱ)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.
【分析】(1)利用两角和差的三角公式化简函数f(x)的解析式,可得f(α)的解析式,再根据f(α)=,求得cosα的值,从而求得g(α)=2sin2=1﹣cosα的值.
(2)由不等式可得 sin(x+)≥,解不等式 2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈z,求得x的取值集合.
【解答】解:(1)∵f(x)=sinx﹣cosx+cosx+sinx=sinx,
所以f(α)=sinα=,所以sinα=.
又α∈(0,),所以cosα=,
所以g(α)=2sin2=1﹣cosα=.
(2)由f(x)≥g(x)得sinx≥1﹣cosx,
所以sinx+cosx=sin(x+)≥.
解2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈z,求得2kπ≤x≤2kπ+,k∈z,
所以x的取值范围为〔2kπ,2kπ+〕k∈z.
18.(12分)(2013•湖南)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰 好“相近”的概率;
(II)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.
【分析】
(I)确定三角形地块的内部和边界上的作物株数,分别求出基本事件的个数,即可求它们恰好“相近”的概率;
(II)确定变量的取值,求出相应的概率,从而可得年收获量的分布列与数学期望.
【解答】解:(I)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8,∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率为=;
(II)先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列
∵P(Y=51)=P(X=1),P(48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4)
∴只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k=1,2,3,4),则n1=2,n2=4,n3=6,n4=3
由P(X=k)=得P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)==,P(X=4)==
∴所求的分布列为
Y
51
48
45
42
P
数学期望为E(Y)=51×+48×+45×+42×=46
19.(12分)(2013•湖南)如图,在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.
(Ⅰ)证明:AC⊥B1D;
(Ⅱ)求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值.
【分析】(I)根据直棱柱性质,得BB1⊥平面ABCD,从而AC⊥BB1,结合BB1∩BD=B,证出AC⊥平面BB1D,从而得到AC⊥B1D;
(II)根据题意得AD∥B1C1,可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角.连接A1D,利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D,从而可得AD1⊥B1D.由AC⊥B1D,可得B1D⊥平面ACD1,从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余.在直角梯形ABCD中,根据Rt△ABC∽Rt△DAB,算出AB=,最后在Rt△AB1D中算出B1D=,可得cos∠ADB1=,由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值.
【解答】解:(I)∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥BB1,
又∵AC⊥BD,BB1、BD是平面BB1D内的相交直线
∴AC⊥平面BB1D,
∵B1D⊂平面BB1D,∴AC⊥B1D;
(II)∵AD∥BC,B1C1∥BC,∴AD∥B1C1,
由此可得:直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成
的角(记为θ),连接A1D,
∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,∠BAD=∠B1A1D1=90°,
∴B1A1⊥平面A1D1DA,结合AD1⊂平面A1D1DA,得B1A1⊥AD1
又∵AD=AA1=3,∴四边形A1D1DA是正方形,可得AD1⊥A1D
∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线,∴AD1⊥平面A1B1D,可得AD1⊥B1D,
由(I)知AC⊥B1D,结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD1,从而得到∠ADB1=90°﹣θ,
∵在直角梯形ABCD中,AC⊥BD,∴∠BAC=∠ADB,从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB
因此,,可得AB==
连接AB1,可得△AB1D是直角三角形,
∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21,B1D=
在Rt△AB1D中,cos∠ADB1===,
即cos(90°﹣θ)=sinθ=,可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为.
20.(13分)(2013•湖南)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(﹣10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.
(I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);
(II)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.
【分析】(I)根据“L路径”的定义,可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值;
(II)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值,分类讨论,利用绝对值的几何意义,即可求得点P的坐标.
【解答】解:设点P的坐标为(x,y),则
(I)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|,y∈[0,+∞);
(II)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值
①当y≥1时,d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20|
∵d1(x)=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24
∴当且仅当x=3时,d1(x)=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24
∵d2(y)=2|y|+|y﹣20|≥21
∴当且仅当y=1时,d2(y)=2|y|+|y﹣20|的最小值为21
∴点P的坐标为(3,1)时,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小,且最小值为45;
②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|
此时d1(x)=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|,d2(y)=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y≥21
由①知d1(x)=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24,∴d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立
综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.
21.(13分)(2013•湖南)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2.l1与E交于点A,B,l2与E交于C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.
(Ⅰ)若k1>0,k2>0,证明:;
(Ⅱ)若点M到直线l的距离的最小值为,求抛物线E的方程.
【分析】(Ⅰ)由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标,写出两条直线的方程,由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标,求出向量和的坐标,求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式,利用基本不等式放缩后可证得结论;
(Ⅱ)利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径,结合(Ⅰ)中求出的圆M和圆N的圆心的坐标,写出两圆的方程,作差后得到两圆的公共弦所在直线方程,由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离,利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式,配方后求出最小值,由最小值等于求出p的值,则抛物线E的方程可求.
【解答】解:(I) 由题意,抛物线E的焦点为,直线l1的方程为.
由,得.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实数根.
从而x1+x2=2pk1,.
所以点M的坐标为,.
同理可得点N的坐标为,.
于是.
由题设k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,所以0<.
故.
(Ⅱ)由抛物线的定义得,,
所以,从而圆M的半径.
故圆M的方程为,
化简得.
同理可得圆N的方程为
于是圆M,圆N的公共弦所在的直线l的方程为.
又k2﹣k1≠0,k1+k2=2,则l的方程为x+2y=0.
因为p>0,所以点M到直线l的距离为
=.
故当时,d取最小值.由题设,解得p=8.
故所求抛物线E的方程为x2=16y.
22.(13分)(2013•湖南)已知a>0,函数.
(Ⅰ)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;
(Ⅱ)是否存在a使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
【分析】(I)利用绝对值的几何意义,分类讨论,结合导数确定函数的单调性,从而可得g(a)的表达式;
(II)利用曲线y=f(x)在两点处的切线互相垂直,建立方程,从而可转化为集合的运算,即可求得结论.
【解答】解:(I)当0≤x≤a时,;当x>a时,
∴当0≤x≤a时,,f(x)在(0,a)上单调递减;
当x>a时,,f(x)在(a,+∞)上单调递增.
①若a≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=
②若0<a<4,则f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增
∴g(a)=max{f(0),f(4)}
∵f(0)﹣f(4)==
∴当0<a≤1时,g(a)=f(4)=;当1<a<4时,g(a)=f(0)=,
综上所述,g(a)=;
(II)由(I)知,当a≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求;
当0<a<4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增,若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2),使曲线y=f(x)在
两点处的切线互相垂直,则x1∈(0,a),x2∈(a,4),且f′(x1)f′(x2)=﹣1
∴•=﹣1
∴①
∵x1∈(0,a),x2∈(a,4),
∴x1+2a∈(2a,3a),∈(,1)
∴①成立等价于A=(2a,3a)与B=(,1)的交集非空
∵,∴当且仅当0<2a<1,即时,A∩B≠∅
综上所述,存在a使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a的取值范围是(0,).
参与本试卷答题和审题的老师有:wyz123;minqi5;wfy814;ywg2058;沂蒙松;lincy;sxs123;caoqz;刘长柏(排名不分先后)
2017年2月3日
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