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- 2021-06-23 发布
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【知识要点】
一、函数值域的定义
函数值的集合叫做函数的值域.
二、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法求函数的值域,都要考虑定义域,函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.
三、常见函数的值域
1、一次函数的值域为.
2、二次函数,当时的值域为;时的值域为
.
3、反比例函数的值域为.
4、指数函数的值域为.
5、对数函数的值域为.
6、幂函数的值域为,幂函数的值域为.
7、正弦函数、余弦函数的值域为,正切函数的值域为.
四、求函数的值域常用的方法
求函数的值域常用的方法有直接法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等
式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数(函数、数形结合、导数)”和“三不(基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式)”.
五、函数的值域一定要用集合或区间 表示.
六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题,所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.
【方法讲评】
方法一
直接法
使用情景
函数的解析式主要是一些简单的特殊的函数组成.
解题步骤
利用这些特殊函数的性质,结合不等式性质推导出函数的值域.
【例1】求函数的值域.
【解析】 故函数的值域是.
【点评】(1)对于某些特殊的数的性质大家要熟悉,如算术平方根具有双重非负性,即:被开方数的非负性和值的非负性;是非负数;是一个非负数,是一个正数.掌握这些数的性质后,可以很快得到函数的值域.(2)不等式的性质在求函数的值域中经常用到,所以不等式的性质要熟练掌握.
【反馈检测1】求函数的值域.
方法二
分离常数法
使用情景
函数是对称的分式函数.
解题步骤
一般先利用分式的除法将分式分离成一个常数和一个分式函数,再求函数的值域.
【例2 】求函数的值域.
【点评】对于对称的分式函数,常利用分式的除法分离成常数和一个分式函数的和,再求函数的值域.
【反馈检测2 】求函数的值域.
方法三
配方法
使用情景
一般是二次函数或可以化成二次函数的函数.
解题步骤
一般先对二次函数配方,再画图观察得到函数的值域.
【例3】【2017北京,文11】已知,,且,则的取值范围是__________.
【点评】(1)对于二次函数,常用配方法求函数的值域.先配方,再利用二次函数的图像和性质求函数的值域.(2)有时函数的配方计算量比较大,所以可以不配方,直接计算抛物线的对称轴,画出抛物线的草图,截取定义域内的那一段观察,即可得到函数的值域.(3)本题注意不能把函数的定义域看作是,必须根据求出满足的条件,再和求交集得到函数的定义域.
【反馈检测3】求函数的值域.
方法四
反函数法
使用情景
已知函数比较容易求反函数.
解题步骤
先求已知函数的反函数,再求反函数的定义域,最后利用反函数的定义域就是原函数的值域关系得到原函数的值域.
【例4】求函数的值域.
【解析】反解得 即
因为反函数的定义域为 ,反函数的定义域即是原函数的值域,所以原函数的值域为.
【点评】(1)当函数是分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),一般可以利用反函数法求函数的值域,当然,其它一些能反解出的函数,也可以选择反函数法求函数的值域.(2)利用反函数法求函数的值域,利用的知识点是“反函数的定义域是原函数的值域”.
【反馈检测4】求函数值域.
方法五
换元法
使用情景
函数的解析式结构较复杂,函数的变量较多且相互关联.
解题步骤
一般先引进一个新元代替旧元,再求新函数的值域.
【例5】求函数的值域.
【点评】(1)对形如的函数,可以考虑换元,消掉根式,化成一个二次函数.(2)在任何地方换元,都要注意新元的取值范围,它就是新函数的定义域.(3)本题也有简单一点的方法,由于函数在定义域上增函数,函数在定义域上也是增函数,所以原函数在定义域上是增函数,所以时,函数取最小值. 学
【例6 】已知满足不等式.
(1)求的取值范围;
(2)求函数的最小值.
【解析】(1)
【点评】(1)当函数中某一个复杂的式子反复出现时,我们可以考虑换元,使书写简单,使函数式子形式更简单明了.如果后面是指数,也可以换元.(2)换元时一定要注意新元的范围,注意数学等价转化的思想.
【例7】求函数的值域.
【点评】(1)由于,所以当已知中同时有
或者同时有时,可以考虑换元,化成一个二次函数.(2)换元时注意利用三角函数的知识求准新元的范围. (3)本题显示出换元建立新函数转化化归的好处,本 一个函数有两个变量,不好处理,但是通过换元,变成了一个我们熟悉的一元二次函数,大大地提高了解题效率.
【例8】已知是圆上的点,试求的值域.
【解析】由题得,设
则,即 故,所以函数的值域为.
【点评】当已知条件可以化为时,可以设,
实行三角换元,这样可以优化解题,提高解题效率.
【反馈检测5】若求函数的值域.
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第02讲:函数的值域(最值)
的常见求法1(直接法、分离常数法、配方法、反函数法和换元法)参考答案
【反馈检测1答案】
【反馈检测1详细解析】由题得 所以函数的定义域 , ,
即函数的值域为
【反馈检测2答案】
【反馈检测3答案】
【反馈检测3详细解析】由题得
,所以函数的定义域为.
所以,所以函数的值域为.
【反馈检测4答案】.
【反馈检测4详细解析】由原函数式可得:则其反函数为,其定义域为,
故所求函数的值域为.
【反馈检测5答案】