全国高中数学联赛第二试试题 2页

全国高中数学联赛第二试试题 一、选择题 ‎1、试找出最大的正整数N，使得无论怎样将正整数1至400填入20×20方格表的各个格中，都能在同一行或同一列中找到两个数，它们的差不小于N。‎ ‎2、设非负整数数列a1,a2,…,a2007满足：ai+aj≤ai+j≤ai+aj+1，对一切i,j≥1,i+j≤2007成立。‎ 证明：存在实数x，使对一切1≤n≤2007，有an=[nx].‎ ‎3、以ΔABC的三边向外作正方形ABED，BCGF和CAIH，直线DI，EF，GH交成ΔLMK，其中K=DI∩EF，M=DI∩GH，L=EF∩HG。‎ 求证：ΔKLM中KM上的中线LNBC。‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、解 N=209。先证明N≤209，用正中的竖直直线将方格表分成两个20×10的方格表，将1至200逐行按递增顺序填入左表中，再在右表中按同样的原则填入201至400，这样一来，在每一行中所填之数的最大差不超过210-1=209，在每一列中所填之数的最大差都不超过191-1=190，所以N≤209。‎ 再证N不能小于209。考察子集M1={1，2，…，91}和M2={300，301，…，400}，将凡是填有M1中的数的行和列都染为红色；将凡是填有M2中的数的行和列都染为蓝色，只要证明红色的行和列的数目不小于20，而蓝色的行和列的数目不小于21。那么，就有某一行或某一列既被染为红色，又被染为蓝色，从而其中必有两个数的差不小于300-91=209。‎ 设有i行和j列被染为红色，于是，M1中的元素全部位于这些行与这些列的相交处，所以ij≥91,从而i+j≥2≥2≥19.同理，被染为蓝色的行数与列数之和 ‎2、 证明 先证对任意m,n∈N+,1≤m,n≤2007，有 ‎，即manman；‎ ⅱ）当n=k, m