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- 2021-06-23 发布
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课时分层作业(六) 椭圆及其标准方程
(建议用时:40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.椭圆+=1的焦点坐标为( )
A.(5,0),(-5,0) B.(0,5),(0,-5)
C.(0,12),(0,-12) D.(12,0),(-12,0)
C [c2=169-25=144.c=12,故选C.]
2.已知椭圆过点P和点Q,则此椭圆的标准方程是( )
A.x2+=1
B.+y2=1或x2+=1
C.+y2=1
D.以上都不对
A [设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
则
∴
∴椭圆的方程为x2+=1.]
3.设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于( )
【导学号:97792056】
A.5 B.4
C.3 D.1
B [由椭圆方程,得a=3,b=2,c=,∴|PF1|+|PF2|=2a=6,又|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2,由22+42=(2)2,可知△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=×4×2=4,故选B.]
4.已知椭圆+=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
5
C.线段 D.直线
B [|PF1|+|PO|=|MF1|+|MF2|=(|MF1|+|MF2|)=a>|F1O|,因此点P的轨迹是椭圆.]
5.如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是( )
A.(3,+∞)
B.(-∞,-2)
C.(3,+∞)∪(-∞,-2)
D.(3,+∞)∪(-6,-2)
D [由于椭圆的焦点在x轴上,
所以即
解得a>3或-6<a<-2,故选D.]
二、填空题
6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为____________.
【导学号:97792057】
+=1 [由题意知,解得则b2=a2-c2=3,
故椭圆的标准方程为+=1.]
7.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且⊥.若△PF1F2的面积为9,则b=________.
3 [依题意,有
可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3.]
8.已知P是椭圆+=1上的一动点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹方程是________.
(x+1)2+y2=16 [如图,依题意,|PF1|+|PF2|=2a(a是常数且a>0).
又|PQ|=|PF2|,
∴|PF1|+|PQ|=2a,
即|QF1|=2a.
由题意知,a=2,b=,c===1.
∴|QF1|=4,F1(-1,0),
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心,4为半径的圆,
5
∴动点Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16.]
三、解答题
9.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点.设椭圆C上一点到两焦点F1,F2的距离和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标.
[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4,
∴2a=4,a2=4,
∵点是椭圆上的一点,
∴+=1,
∴b2=3,∴c2=1,
∴椭圆C的方程为+=1.
焦点坐标分别为(-1,0),(1,0).
10.已知点A(0,)和圆O1:x2+(y+)2=16,点M在圆O1上运动,点P在半径O1M上,且|PM|=|PA|,求动点P的轨迹方程.
【导学号:97792058】
[解] 因为|PM|=|PA|,|PM|+|PO1|=4,
所以|PO1|+|PA|=4,
又因为|O1A|=2<4,
所以点P的轨迹是以A,O1为焦点的椭圆,所以c=,a=2,b=1.
所以动点P的轨迹方程为x2+=1.
[能力提升练]
1.已知椭圆+y2=1的焦点为F1、F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为( )
A. B.
C. D.
C [设M(x0,y0),由F1(-,0),F2(,0)得=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),
5
由·=0得x+y=3,
又+y=1,解得y0=±.
即点M到x轴的距离为,故选C.]
2.如图213,∠OFB=,△ABF的面积为2-,则以OA为长半轴,OB为短半轴,F为一个焦点的椭圆方程为__________.
图213
+=1 [设所求椭圆方程为+=1(a>b>0),由题意可知,|OF|=c,|OB|=b,
∴|BF|=a.∵∠OFB=,∴=,a=2b.
∴S△ABF=·|AF|·|BO|=(a-c)·b=(2b-b)b=2-,
解得b2=2,则a=2b=2.
∴所求椭圆的方程为+=1.]
3.若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点为(0,-4),则k的值为________.
【导学号:97792059】
k= [易知k>0,方程2kx2+ky2=1变形为+=1,所以-=16,解得k=.]
4.如图214所示,F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2=________.
图214
5
2 [设正三角形POF2的边长为c,则c2=,
解得c=2,从而|OF2|=|PF2|=2,
连接PF1(略),由|OF1|=|OF2|=|OP|知,PF1⊥PF2
则|PF1|===2
所以2a=|PF1|+|PF2|=2+2,即a=+1
所以b2=a2-c2=(+1)2-4=2.]
5.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与椭圆C相交于A,B两点(如图215所示),∠F1F2B=,△F1F2A的面积是△F1F2B面积的2倍.若|AB|=,求椭圆C的方程.
图215
[解] 由题意可得S△F1F2A=2S△F1F2B,
∴|F2A|=2|F2B|,
由椭圆的定义得
|F1B|+|F2B|
=|F1A|+|F2A|=2a,
设|F2A|=2|F2B|=2m,
在△F1F2B中,由余弦定理得
(2a-m)2=4c2+m2-2·2c·m·cos⇒
m=.
在△F1F2A中,同理可得m=,
所以=,解得2a=3c,
可得m=,|AB|=3m==,c=4.
由=,得a=6,b2=20,
所以椭圆C的方程为+=1.
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