• 279.00 KB
  • 2021-06-23 发布

2014年山东省高考数学试卷(文科)

  • 21页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎2014年山东省高考数学试卷(文科) ‎ ‎ ‎ 一.选择题每小题5分,共50分 ‎1.(5分)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+i=2﹣bi,则(a+bi)2=(  )‎ A.3﹣4i B.3+4i C.4﹣3i D.4+3i ‎2.(5分)设集合A={x|x2﹣2x<0},B={x|1≤x≤4},则A∩B=(  )‎ A.(0,2] B.(1,2) C.[1,2) D.(1,4)‎ ‎3.(5分)函数f(x)=的定义域为(  )‎ A.(0,2) B.(0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞)‎ ‎4.(5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(  )‎ A.方程x3+ax+b=0没有实根 B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 ‎5.(5分)已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是(  )‎ A.x3>y3 B.sinx>siny C.ln(x2+1)>ln(y2+1) D.>‎ ‎6.(5分)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是(  )‎ A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1‎ ‎7.(5分)已知向量=(1,),=(3,m),若向量,的夹角为,则实数m=(  )‎ A.2 B. C.0 D.﹣‎ ‎8.(5分)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为(  )‎ A.6 B.8 C.12 D.18‎ ‎9.(5分)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a﹣x),则称f(x)为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是(  )‎ A.f(x)= B.f(x)=x2 C.f(x)=tanx D.f(x)=cos(x+1)‎ ‎10.(5分)已知x,y满足约束条件,当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为(  )‎ A.5 B.4 C. D.2‎ ‎ ‎ 二.填空题每小题5分,共25分 ‎11.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为  .‎ ‎12.(5分)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为  .‎ ‎13.(5分)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为  .‎ ‎14.(5分)圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为  .‎ ‎15.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为  .‎ ‎ ‎ 三.解答题共6小题,共75分 ‎16.(12分)海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.‎ 地区 A B C 数量 ‎50‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎(Ⅰ)求这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量;‎ ‎(Ⅱ)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.‎ ‎17.(12分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=‎ ‎,B=A+.‎ ‎(Ⅰ)求b的值;‎ ‎(Ⅱ)求△ABC的面积.‎ ‎18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:AP∥平面BEF;‎ ‎(Ⅱ)求证:BE⊥平面PAC.‎ ‎19.(12分)在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设bn=a,记Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1)nbn,求Tn.‎ ‎20.(13分)设函数f(x)=alnx+,其中a为常数.‎ ‎(Ⅰ)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性.‎ ‎21.(14分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线y=x被椭圆C截得的线段长为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.‎ ‎(i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值;‎ ‎(ii)求△OMN面积的最大值.‎ ‎ ‎ ‎2014年山东省高考数学试卷(文科) ‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题每小题5分,共50分 ‎1.(5分)(2014•山东)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+i=2﹣bi,则(a+bi)2=(  )‎ A.3﹣4i B.3+4i C.4﹣3i D.4+3i ‎【分析】利用两个复数相等的充要条件求得a、b的值,再利用两个复数代数形式的乘法法则求得(a+bi)2的值.‎ ‎【解答】解:∵a+i=2﹣bi,∴a=2、b=﹣1,则(a+bi)2=(2﹣i)2=3﹣4i,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2014•山东)设集合A={x|x2﹣2x<0},B={x|1≤x≤4},则A∩B=(  )‎ A.(0,2] B.(1,2) C.[1,2) D.(1,4)‎ ‎【分析】分别解出集合A和B,再根据交集的定义计算即可.‎ ‎【解答】解:A={x|0<x<2},B={x|1≤x≤4},‎ ‎∴A∩B={x|1≤x<2}.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2014•山东)函数f(x)=的定义域为(  )‎ A.(0,2) B.(0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞)‎ ‎【分析】分析可知,,解出x即可.‎ ‎【解答】解:由题意可得,,‎ 解得,即x>2.‎ ‎∴所求定义域为(2,+∞).‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2014•山东)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(  )‎ A.方程x3+ax+b=0没有实根 B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 ‎【分析】直接利用命题的否定写出假设即可.‎ ‎【解答】解:反证法证明问题时,反设实际是命题的否定,‎ ‎∴用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是:方程x3+ax+b=0没有实根.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2014•山东)已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是(  )‎ A.x3>y3 B.sinx>siny C.ln(x2+1)>ln(y2+1) D.>‎ ‎【分析】本题主要考查不等式的大小比较,利用函数的单调性的性质是解决本题的关键.‎ ‎【解答】解:∵实数x,y满足ax<ay(0<a<1),∴x>y,‎ A.当x>y时,x3>y3,恒成立,‎ B.当x=π,y=时,满足x>y,但sinx>siny不成立.‎ C.若ln(x2+1)>ln(y2+1),则等价为x2>y2成立,当x=1,y=﹣1时,满足x>y,但x2>y2不成立.‎ D.若>,则等价为x2+1<y2+1,即x2<y2,当x=1,y=﹣1时,满足x>y,但x2<y2不成立.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2014•山东)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是(  )‎ A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1‎ ‎【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵函数单调递减,∴0<a<1,‎ 当x=1时loga(x+c)=loga(1+c)<0,即1+c>1,即c>0,‎ 当x=0时loga(x+c)=logac>0,即c<1,即0<c<1,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2014•山东)已知向量=(1,),=(3,m),若向量,的夹角为,则实数m=(  )‎ A.2 B. C.0 D.﹣‎ ‎【分析】由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式,求得m的值.‎ ‎【解答】解:由题意可得cos===,‎ 解得 m=,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2014•山东)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为(  )‎ A.6 B.8 C.12 D.18‎ ‎【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率,即可求出第三组中有疗效的人数得到答案;‎ ‎【解答】解:由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人,分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24,0.16,所以第一组有12人,第二组8人,第三组的频率为0.36,所以第三组的人数:18人,‎ 第三组中没有疗效的有6人,‎ 第三组中有疗效的有12人.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2014•山东)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a﹣x),则称f(x)为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是(  )‎ A.f(x)= B.f(x)=x2 C.f(x)=tanx D.f(x)=cos(x+1)‎ ‎【分析】由题意判断f(x)为准偶函数的对称轴,然后判断选项即可.‎ ‎【解答】解:对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a﹣x),则称f(x)为准偶函数,‎ ‎∴函数的对称轴是x=a,a≠0,‎ 选项A函数没有对称轴;选项B、函数的对称轴是x=0,选项C,函数没有对称轴.‎ 函数f(x)=cos(x+1),有对称轴,且x=0不是对称轴,选项D正确.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2014•山东)已知x,y满足约束条件,当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为(  )‎ A.5 B.4 C. D.2‎ ‎【分析】由约束条件正常可行域,然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标,代入目标函数得到2a+b﹣2=0.a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方,然后由点到直线的距离公式得答案.‎ ‎【解答】解:由约束条件作可行域如图,‎ 联立,解得:A(2,1).‎ 化目标函数为直线方程得:(b>0).‎ 由图可知,当直线过A点时,直线在y轴上的截距最小,z最小.‎ ‎∴2a+b=2.‎ 即2a+b﹣2=0.‎ 则a2+b2的最小值为.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二.填空题每小题5分,共25分 ‎11.(5分)(2014•山东)执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为 3 .‎ ‎【分析】计算循环中不等式的值,当不等式的值大于0时,不满足判断框的条件,退出循环,输出结果即可.‎ ‎【解答】解:循环前输入的x的值为1,‎ 第1次循环,x2﹣4x+3=0≤0,‎ 满足判断框条件,x=2,n=1,x2﹣4x+3=﹣1≤0,‎ 满足判断框条件,x=3,n=2,x2﹣4x+3=0≤0‎ 满足判断框条件,x=4,n=3,x2﹣4x+3=3>0,不满足判断框条件,‎ 输出n:3.‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2014•山东)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为 π .‎ ‎【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f(x)=sin(2x+),从而求得函数的最小正周期 ‎【解答】解:∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin(2x+)+,‎ 故函数的最小正周期的最小正周期为 =π,‎ 故答案为:π.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2014•山东)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 12 .‎ ‎【分析】判断棱锥是正六棱锥,利用体积求出棱锥的高,然后求出斜高,即可求解侧面积.‎ ‎【解答】解:∵一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,∴棱锥是正六棱锥,设棱锥的高为h,则,‎ ‎∴h=1,‎ 棱锥的斜高为:==2,‎ 该六棱锥的侧面积为:=12.‎ 故答案为:12.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2014•山东)圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为 (x﹣2)2+(y﹣1)2=4 .‎ ‎【分析】‎ 由圆心在直线x﹣2y=0上,设出圆心坐标,再根据圆与y轴相切,得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径,表示出半径r,由弦长的一半,圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程,求出方程的解得到t的值,从而得到圆心坐标和半径,根据圆心和半径写出圆的方程即可.‎ ‎【解答】解:设圆心为(2t,t),半径为r=|2t|,‎ ‎∵圆C截x轴所得弦的长为2,‎ ‎∴t2+3=4t2,‎ ‎∴t=±1,‎ ‎∵圆C与y轴的正半轴相切,‎ ‎∴t=﹣1不符合题意,舍去,‎ 故t=1,2t=2,‎ ‎∴(x﹣2)2+(y﹣1)2=4.‎ 故答案为:(x﹣2)2+(y﹣1)2=4.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2014•山东)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为 y=±x .‎ ‎【分析】求出双曲线的右顶点A(a,0),拋物线x2=2py(p>0)的焦点及准线方程,根据已知条件得出及,求出a=b,得双曲线的渐近线方程为:y=±x.‎ ‎【解答】解:∵右顶点为A,‎ ‎∴A(a,0),‎ ‎∵F为抛物线x2=2py(p>0)的焦点,‎ F,‎ ‎∵|FA|=c,‎ ‎∴‎ 抛物线的准线方程为 由得,‎ ‎,‎ 由①②,得=2c,即c2=2a2,‎ ‎∵c2=a2+b2,‎ ‎∴a=b,‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为:y=±x,‎ 故答案为:y=±x.‎ ‎ ‎ 三.解答题共6小题,共75分 ‎16.(12分)(2014•山东)海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.‎ 地区 A B C 数量 ‎50‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎(Ⅰ)求这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量;‎ ‎(Ⅱ)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.‎ ‎【分析】(Ⅰ)先计算出抽样比,进而可求出这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量;‎ ‎(Ⅱ)先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数,及这2件商品来自相同地区的事件个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)A,B,C三个地区商品的总数量为50+150+100=300,‎ 故抽样比k==,‎ 故A地区抽取的商品的数量为:×50=1;‎ B地区抽取的商品的数量为:×150=3;‎ C地区抽取的商品的数量为:×100=2;‎ ‎(Ⅱ)在这6件样品中随机抽取2件共有:=15个不同的基本事件;‎ 且这些事件是等可能发生的,‎ 记“这2件商品来自相同地区”为事件A,则这2件商品可能都来自B地区或C地区,‎ 则A中包含=4种不同的基本事件,‎ 故P(A)=,‎ 即这2件商品来自相同地区的概率为.‎ ‎ ‎ ‎17.(12分)(2014•山东)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=,B=A+.‎ ‎(Ⅰ)求b的值;‎ ‎(Ⅱ)求△ABC的面积.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用cosA求得sinA,进而利用A和B的关系求得sinB,最后利用正弦定理求得b的值.‎ ‎(Ⅱ)利用sinB,求得cosB的值,进而根两角和公式求得sinC的值,最后利用三角形面积公式求得答案.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵cosA=,‎ ‎∴sinA==,‎ ‎∵B=A+.‎ ‎∴sinB=sin(A+)=cosA=,‎ 由正弦定理知=,‎ ‎∴b=•sinB=×=3.‎ ‎(Ⅱ)∵sinB=,B=A+>‎ ‎∴cosB=﹣=﹣,‎ sinC=sin(π﹣A﹣B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×(﹣)+×=,‎ ‎∴S=a•b•sinC=×3×3×=.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2014•山东)如图,四棱锥P﹣ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:AP∥平面BEF;‎ ‎(Ⅱ)求证:BE⊥平面PAC.‎ ‎【分析】(Ⅰ)证明四边形ABCE是平行四边形,可得O是AC的中点,利用F为线段PC的中点,可得PA∥OF,从而可证AP∥平面BEF;‎ ‎(Ⅱ)证明BE⊥AP、BE⊥AC,即可证明BE⊥平面PAC.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)连接CE,则 ‎∵AD∥BC,BC=AD,E为线段AD的中点,‎ ‎∴四边形ABCE是平行四边形,BCDE是平行四边形,‎ 设AC∩BE=O,连接OF,则O是AC的中点,‎ ‎∵F为线段PC的中点,‎ ‎∴PA∥OF,‎ ‎∵PA⊄平面BEF,OF⊂平面BEF,‎ ‎∴AP∥平面BEF;‎ ‎(Ⅱ)∵BCDE是平行四边形,‎ ‎∴BE∥CD,‎ ‎∵AP⊥平面PCD,CD⊂平面PCD,‎ ‎∴AP⊥CD,‎ ‎∴BE⊥AP,‎ ‎∵AB=BC,四边形ABCE是平行四边形,‎ ‎∴四边形ABCE是菱形,‎ ‎∴BE⊥AC,‎ ‎∵AP∩AC=A,‎ ‎∴BE⊥平面PAC.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2014•山东)在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设bn=a,记Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1)nbn,求Tn.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由于a2是a1与a4的等比中项,可得,再利用等差数列的通项公式即可得出.‎ ‎(Ⅱ)利用(Ⅰ)可得bn=a=n(n+1),因此Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1)nbn=﹣1×(1+1)+2×(2+1)﹣…+(﹣1)nn•(n+1).对n分奇偶讨论即可得出.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵a2是a1与a4的等比中项,‎ ‎∴,‎ ‎∵在等差数列{an}中,公差d=2,‎ ‎∴,即,‎ 化为,解得a1=2.‎ ‎∴an=a1+(n﹣1)d=2+(n﹣1)×2=2n.‎ ‎(Ⅱ)∵bn=a=n(n+1),‎ ‎∴Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1)nbn=﹣1×(1+1)+2×(2+1)﹣…+(﹣1)nn•(n+1).‎ 当n=2k(k∈N*)时,b2k﹣b2k﹣1=2k(2k+1)﹣(2k﹣1)(2k﹣1+1)=4k Tn=(b2﹣b1)+(b4﹣b3)+…+(b2k﹣b2k﹣1)‎ ‎=4(1+2+…+k)=4×=2k(k+1)=.‎ 当n=2k﹣1(k∈N*)时,‎ Tn=(b2﹣b1)+(b4﹣b3)+…+(b2k﹣2﹣b2k﹣3)﹣b2k﹣1‎ ‎=n(n+1)‎ ‎=﹣.‎ 故Tn=.‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)(2014•山东)设函数f(x)=alnx+,其中a为常数.‎ ‎(Ⅰ)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据导数的几何意义,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y﹣f(1)=f′(1)(x﹣1),代入计算即可.‎ ‎(Ⅱ)先对其进行求导,即,考虑函数g(x)=ax2+(2a+2)x+a,分成a≥0,﹣<a<0,a≤﹣三种情况分别讨论即可.‎ ‎【解答】解:,‎ ‎(Ⅰ)当a=0时,,f′(1)=,f(1)=0‎ ‎∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=(x﹣1).‎ ‎(Ⅱ)(1)当a≥0时,由x>0知f′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增;‎ ‎(2)当a<0时,令f′(x)>0,则>0,整理得,ax2+(2a+2)x+a>0,‎ 令f′(x)<0,则<0,整理得,ax2+(2a+2)x+a<0.‎ 以下考虑函数g(x)=ax2+(2a+2)x+a,g(0)=a<0.,对称轴方程.‎ ‎①当a≤﹣时,△≤0,∴g(x)<0恒成立.(x>0)‎ ‎②当﹣<a<0时,此时,对称轴方程>0,‎ ‎∴g(x)=0的两根一正一负,计算得 当0<x<时,g(x)>0;‎ 当x>时,g(x)<0.‎ 综合(1)(2)可知,‎ 当a≤﹣时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;‎ 当﹣<a<0时,f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减;‎ 当a>0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)(2014•山东)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线y=x被椭圆C截得的线段长为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.‎ ‎(i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值;‎ ‎(ii)求△OMN面积的最大值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由椭圆离心率得到a,b的关系,化简椭圆方程,和直线方程联立后求出交点的横坐标,把弦长用交点横坐标表示,则a的值可求,进一步得到b的值,则椭圆方程可求;‎ ‎(Ⅱ)(i)设出A,D的坐标分别为(x1,y1)(x1y1≠0),(x2,y2),用A的坐标表示B的坐标,把AB和AD的斜率都用A的坐标表示,写出直线AD的方程,和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和,求出AD中点坐标,则BD斜率可求,再写出BD所在直线方程,取y=0得到M点坐标,由两点求斜率得到AM的斜率,由两直线斜率的关系得到λ的值;‎ ‎(ii)由BD方程求出N点坐标,结合(i)中求得的M的坐标得到△OMN的面积,然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意知,,则a2=4b2.‎ ‎∴椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2.‎ 将y=x代入可得,‎ 因此,解得a=2.‎ 则b=1.‎ ‎∴椭圆C的方程为;‎ ‎(Ⅱ)(i)设A(x1,y1)(x1y1≠0),D(x2,y2),‎ 则B(﹣x1,﹣y1).‎ ‎∵直线AB的斜率,‎ 又AB⊥AD,‎ ‎∴直线AD的斜率.‎ 设AD方程为y=kx+m,‎ 由题意知k≠0,m≠0.‎ 联立,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.‎ ‎∴.‎ 因此.‎ 由题意可得.‎ ‎∴直线BD的方程为.‎ 令y=0,得x=3x1,即M(3x1,0).‎ 可得.‎ ‎∴,即.‎ 因此存在常数使得结论成立.‎ ‎(ii)直线BD方程为,‎ 令x=0,得,即N().‎ 由(i)知M(3x1,0),‎ 可得△OMN的面积为S==.‎ 当且仅当时等号成立.‎ ‎∴△OMN面积的最大值为.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:caoqz;任老师;qiss;maths;sxs123;刘长柏;wdnah;豫汝王世崇;wsj1012;沂蒙松(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日