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- 2021-06-23 发布
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2014年山东省高考数学试卷(文科)
一.选择题每小题5分,共50分
1.(5分)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+i=2﹣bi,则(a+bi)2=( )
A.3﹣4i B.3+4i C.4﹣3i D.4+3i
2.(5分)设集合A={x|x2﹣2x<0},B={x|1≤x≤4},则A∩B=( )
A.(0,2] B.(1,2) C.[1,2) D.(1,4)
3.(5分)函数f(x)=的定义域为( )
A.(0,2) B.(0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞)
4.(5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )
A.方程x3+ax+b=0没有实根
B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
5.(5分)已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )
A.x3>y3 B.sinx>siny
C.ln(x2+1)>ln(y2+1) D.>
6.(5分)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )
A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1
7.(5分)已知向量=(1,),=(3,m),若向量,的夹角为,则实数m=( )
A.2 B. C.0 D.﹣
8.(5分)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )
A.6 B.8 C.12 D.18
9.(5分)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a﹣x),则称f(x)为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是( )
A.f(x)= B.f(x)=x2 C.f(x)=tanx D.f(x)=cos(x+1)
10.(5分)已知x,y满足约束条件,当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为( )
A.5 B.4 C. D.2
二.填空题每小题5分,共25分
11.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为 .
12.(5分)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为 .
13.(5分)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 .
14.(5分)圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为 .
15.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为 .
三.解答题共6小题,共75分
16.(12分)海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(Ⅰ)求这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量;
(Ⅱ)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.
17.(12分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=
,B=A+.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.
(Ⅰ)求证:AP∥平面BEF;
(Ⅱ)求证:BE⊥平面PAC.
19.(12分)在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=a,记Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1)nbn,求Tn.
20.(13分)设函数f(x)=alnx+,其中a为常数.
(Ⅰ)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性.
21.(14分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线y=x被椭圆C截得的线段长为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.
(i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值;
(ii)求△OMN面积的最大值.
2014年山东省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一.选择题每小题5分,共50分
1.(5分)(2014•山东)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+i=2﹣bi,则(a+bi)2=( )
A.3﹣4i B.3+4i C.4﹣3i D.4+3i
【分析】利用两个复数相等的充要条件求得a、b的值,再利用两个复数代数形式的乘法法则求得(a+bi)2的值.
【解答】解:∵a+i=2﹣bi,∴a=2、b=﹣1,则(a+bi)2=(2﹣i)2=3﹣4i,
故选:A.
2.(5分)(2014•山东)设集合A={x|x2﹣2x<0},B={x|1≤x≤4},则A∩B=( )
A.(0,2] B.(1,2) C.[1,2) D.(1,4)
【分析】分别解出集合A和B,再根据交集的定义计算即可.
【解答】解:A={x|0<x<2},B={x|1≤x≤4},
∴A∩B={x|1≤x<2}.
故选:C.
3.(5分)(2014•山东)函数f(x)=的定义域为( )
A.(0,2) B.(0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞)
【分析】分析可知,,解出x即可.
【解答】解:由题意可得,,
解得,即x>2.
∴所求定义域为(2,+∞).
故选:C.
4.(5分)(2014•山东)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )
A.方程x3+ax+b=0没有实根
B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
【分析】直接利用命题的否定写出假设即可.
【解答】解:反证法证明问题时,反设实际是命题的否定,
∴用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是:方程x3+ax+b=0没有实根.
故选:A.
5.(5分)(2014•山东)已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )
A.x3>y3 B.sinx>siny
C.ln(x2+1)>ln(y2+1) D.>
【分析】本题主要考查不等式的大小比较,利用函数的单调性的性质是解决本题的关键.
【解答】解:∵实数x,y满足ax<ay(0<a<1),∴x>y,
A.当x>y时,x3>y3,恒成立,
B.当x=π,y=时,满足x>y,但sinx>siny不成立.
C.若ln(x2+1)>ln(y2+1),则等价为x2>y2成立,当x=1,y=﹣1时,满足x>y,但x2>y2不成立.
D.若>,则等价为x2+1<y2+1,即x2<y2,当x=1,y=﹣1时,满足x>y,但x2<y2不成立.
故选:A.
6.(5分)(2014•山东)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )
A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1
【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论.
【解答】解:∵函数单调递减,∴0<a<1,
当x=1时loga(x+c)=loga(1+c)<0,即1+c>1,即c>0,
当x=0时loga(x+c)=logac>0,即c<1,即0<c<1,
故选:D.
7.(5分)(2014•山东)已知向量=(1,),=(3,m),若向量,的夹角为,则实数m=( )
A.2 B. C.0 D.﹣
【分析】由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式,求得m的值.
【解答】解:由题意可得cos===,
解得 m=,
故选:B.
8.(5分)(2014•山东)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )
A.6 B.8 C.12 D.18
【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率,即可求出第三组中有疗效的人数得到答案;
【解答】解:由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人,分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24,0.16,所以第一组有12人,第二组8人,第三组的频率为0.36,所以第三组的人数:18人,
第三组中没有疗效的有6人,
第三组中有疗效的有12人.
故选:C.
9.(5分)(2014•山东)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a﹣x),则称f(x)为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是( )
A.f(x)= B.f(x)=x2 C.f(x)=tanx D.f(x)=cos(x+1)
【分析】由题意判断f(x)为准偶函数的对称轴,然后判断选项即可.
【解答】解:对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a﹣x),则称f(x)为准偶函数,
∴函数的对称轴是x=a,a≠0,
选项A函数没有对称轴;选项B、函数的对称轴是x=0,选项C,函数没有对称轴.
函数f(x)=cos(x+1),有对称轴,且x=0不是对称轴,选项D正确.
故选:D.
10.(5分)(2014•山东)已知x,y满足约束条件,当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为( )
A.5 B.4 C. D.2
【分析】由约束条件正常可行域,然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标,代入目标函数得到2a+b﹣2=0.a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方,然后由点到直线的距离公式得答案.
【解答】解:由约束条件作可行域如图,
联立,解得:A(2,1).
化目标函数为直线方程得:(b>0).
由图可知,当直线过A点时,直线在y轴上的截距最小,z最小.
∴2a+b=2.
即2a+b﹣2=0.
则a2+b2的最小值为.
故选:B.
二.填空题每小题5分,共25分
11.(5分)(2014•山东)执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为 3 .
【分析】计算循环中不等式的值,当不等式的值大于0时,不满足判断框的条件,退出循环,输出结果即可.
【解答】解:循环前输入的x的值为1,
第1次循环,x2﹣4x+3=0≤0,
满足判断框条件,x=2,n=1,x2﹣4x+3=﹣1≤0,
满足判断框条件,x=3,n=2,x2﹣4x+3=0≤0
满足判断框条件,x=4,n=3,x2﹣4x+3=3>0,不满足判断框条件,
输出n:3.
故答案为:3.
12.(5分)(2014•山东)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为 π .
【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f(x)=sin(2x+),从而求得函数的最小正周期
【解答】解:∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin(2x+)+,
故函数的最小正周期的最小正周期为 =π,
故答案为:π.
13.(5分)(2014•山东)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 12 .
【分析】判断棱锥是正六棱锥,利用体积求出棱锥的高,然后求出斜高,即可求解侧面积.
【解答】解:∵一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,∴棱锥是正六棱锥,设棱锥的高为h,则,
∴h=1,
棱锥的斜高为:==2,
该六棱锥的侧面积为:=12.
故答案为:12.
14.(5分)(2014•山东)圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为 (x﹣2)2+(y﹣1)2=4 .
【分析】
由圆心在直线x﹣2y=0上,设出圆心坐标,再根据圆与y轴相切,得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径,表示出半径r,由弦长的一半,圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程,求出方程的解得到t的值,从而得到圆心坐标和半径,根据圆心和半径写出圆的方程即可.
【解答】解:设圆心为(2t,t),半径为r=|2t|,
∵圆C截x轴所得弦的长为2,
∴t2+3=4t2,
∴t=±1,
∵圆C与y轴的正半轴相切,
∴t=﹣1不符合题意,舍去,
故t=1,2t=2,
∴(x﹣2)2+(y﹣1)2=4.
故答案为:(x﹣2)2+(y﹣1)2=4.
15.(5分)(2014•山东)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为 y=±x .
【分析】求出双曲线的右顶点A(a,0),拋物线x2=2py(p>0)的焦点及准线方程,根据已知条件得出及,求出a=b,得双曲线的渐近线方程为:y=±x.
【解答】解:∵右顶点为A,
∴A(a,0),
∵F为抛物线x2=2py(p>0)的焦点,
F,
∵|FA|=c,
∴
抛物线的准线方程为
由得,
,
由①②,得=2c,即c2=2a2,
∵c2=a2+b2,
∴a=b,
∴双曲线的渐近线方程为:y=±x,
故答案为:y=±x.
三.解答题共6小题,共75分
16.(12分)(2014•山东)海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(Ⅰ)求这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量;
(Ⅱ)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.
【分析】(Ⅰ)先计算出抽样比,进而可求出这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量;
(Ⅱ)先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数,及这2件商品来自相同地区的事件个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案.
【解答】解:(Ⅰ)A,B,C三个地区商品的总数量为50+150+100=300,
故抽样比k==,
故A地区抽取的商品的数量为:×50=1;
B地区抽取的商品的数量为:×150=3;
C地区抽取的商品的数量为:×100=2;
(Ⅱ)在这6件样品中随机抽取2件共有:=15个不同的基本事件;
且这些事件是等可能发生的,
记“这2件商品来自相同地区”为事件A,则这2件商品可能都来自B地区或C地区,
则A中包含=4种不同的基本事件,
故P(A)=,
即这2件商品来自相同地区的概率为.
17.(12分)(2014•山东)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=,B=A+.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
【分析】(Ⅰ)利用cosA求得sinA,进而利用A和B的关系求得sinB,最后利用正弦定理求得b的值.
(Ⅱ)利用sinB,求得cosB的值,进而根两角和公式求得sinC的值,最后利用三角形面积公式求得答案.
【解答】解:(Ⅰ)∵cosA=,
∴sinA==,
∵B=A+.
∴sinB=sin(A+)=cosA=,
由正弦定理知=,
∴b=•sinB=×=3.
(Ⅱ)∵sinB=,B=A+>
∴cosB=﹣=﹣,
sinC=sin(π﹣A﹣B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×(﹣)+×=,
∴S=a•b•sinC=×3×3×=.
18.(12分)(2014•山东)如图,四棱锥P﹣ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.
(Ⅰ)求证:AP∥平面BEF;
(Ⅱ)求证:BE⊥平面PAC.
【分析】(Ⅰ)证明四边形ABCE是平行四边形,可得O是AC的中点,利用F为线段PC的中点,可得PA∥OF,从而可证AP∥平面BEF;
(Ⅱ)证明BE⊥AP、BE⊥AC,即可证明BE⊥平面PAC.
【解答】证明:(Ⅰ)连接CE,则
∵AD∥BC,BC=AD,E为线段AD的中点,
∴四边形ABCE是平行四边形,BCDE是平行四边形,
设AC∩BE=O,连接OF,则O是AC的中点,
∵F为线段PC的中点,
∴PA∥OF,
∵PA⊄平面BEF,OF⊂平面BEF,
∴AP∥平面BEF;
(Ⅱ)∵BCDE是平行四边形,
∴BE∥CD,
∵AP⊥平面PCD,CD⊂平面PCD,
∴AP⊥CD,
∴BE⊥AP,
∵AB=BC,四边形ABCE是平行四边形,
∴四边形ABCE是菱形,
∴BE⊥AC,
∵AP∩AC=A,
∴BE⊥平面PAC.
19.(12分)(2014•山东)在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=a,记Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1)nbn,求Tn.
【分析】(Ⅰ)由于a2是a1与a4的等比中项,可得,再利用等差数列的通项公式即可得出.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)可得bn=a=n(n+1),因此Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1)nbn=﹣1×(1+1)+2×(2+1)﹣…+(﹣1)nn•(n+1).对n分奇偶讨论即可得出.
【解答】解:(Ⅰ)∵a2是a1与a4的等比中项,
∴,
∵在等差数列{an}中,公差d=2,
∴,即,
化为,解得a1=2.
∴an=a1+(n﹣1)d=2+(n﹣1)×2=2n.
(Ⅱ)∵bn=a=n(n+1),
∴Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1)nbn=﹣1×(1+1)+2×(2+1)﹣…+(﹣1)nn•(n+1).
当n=2k(k∈N*)时,b2k﹣b2k﹣1=2k(2k+1)﹣(2k﹣1)(2k﹣1+1)=4k
Tn=(b2﹣b1)+(b4﹣b3)+…+(b2k﹣b2k﹣1)
=4(1+2+…+k)=4×=2k(k+1)=.
当n=2k﹣1(k∈N*)时,
Tn=(b2﹣b1)+(b4﹣b3)+…+(b2k﹣2﹣b2k﹣3)﹣b2k﹣1
=n(n+1)
=﹣.
故Tn=.
20.(13分)(2014•山东)设函数f(x)=alnx+,其中a为常数.
(Ⅰ)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性.
【分析】(Ⅰ)根据导数的几何意义,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y﹣f(1)=f′(1)(x﹣1),代入计算即可.
(Ⅱ)先对其进行求导,即,考虑函数g(x)=ax2+(2a+2)x+a,分成a≥0,﹣<a<0,a≤﹣三种情况分别讨论即可.
【解答】解:,
(Ⅰ)当a=0时,,f′(1)=,f(1)=0
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=(x﹣1).
(Ⅱ)(1)当a≥0时,由x>0知f′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)当a<0时,令f′(x)>0,则>0,整理得,ax2+(2a+2)x+a>0,
令f′(x)<0,则<0,整理得,ax2+(2a+2)x+a<0.
以下考虑函数g(x)=ax2+(2a+2)x+a,g(0)=a<0.,对称轴方程.
①当a≤﹣时,△≤0,∴g(x)<0恒成立.(x>0)
②当﹣<a<0时,此时,对称轴方程>0,
∴g(x)=0的两根一正一负,计算得
当0<x<时,g(x)>0;
当x>时,g(x)<0.
综合(1)(2)可知,
当a≤﹣时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当﹣<a<0时,f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减;
当a>0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增.
21.(14分)(2014•山东)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线y=x被椭圆C截得的线段长为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.
(i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值;
(ii)求△OMN面积的最大值.
【分析】(Ⅰ)由椭圆离心率得到a,b的关系,化简椭圆方程,和直线方程联立后求出交点的横坐标,把弦长用交点横坐标表示,则a的值可求,进一步得到b的值,则椭圆方程可求;
(Ⅱ)(i)设出A,D的坐标分别为(x1,y1)(x1y1≠0),(x2,y2),用A的坐标表示B的坐标,把AB和AD的斜率都用A的坐标表示,写出直线AD的方程,和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和,求出AD中点坐标,则BD斜率可求,再写出BD所在直线方程,取y=0得到M点坐标,由两点求斜率得到AM的斜率,由两直线斜率的关系得到λ的值;
(ii)由BD方程求出N点坐标,结合(i)中求得的M的坐标得到△OMN的面积,然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值.
【解答】解:(Ⅰ)由题意知,,则a2=4b2.
∴椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2.
将y=x代入可得,
因此,解得a=2.
则b=1.
∴椭圆C的方程为;
(Ⅱ)(i)设A(x1,y1)(x1y1≠0),D(x2,y2),
则B(﹣x1,﹣y1).
∵直线AB的斜率,
又AB⊥AD,
∴直线AD的斜率.
设AD方程为y=kx+m,
由题意知k≠0,m≠0.
联立,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.
∴.
因此.
由题意可得.
∴直线BD的方程为.
令y=0,得x=3x1,即M(3x1,0).
可得.
∴,即.
因此存在常数使得结论成立.
(ii)直线BD方程为,
令x=0,得,即N().
由(i)知M(3x1,0),
可得△OMN的面积为S==.
当且仅当时等号成立.
∴△OMN面积的最大值为.
参与本试卷答题和审题的老师有:caoqz;任老师;qiss;maths;sxs123;刘长柏;wdnah;豫汝王世崇;wsj1012;沂蒙松(排名不分先后)
2017年2月3日
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