2020届高考数学大二轮复习层级二专题六概率与统计第1讲统计统计案例教学案 18页

第1讲　统计、统计案例 ‎ [考情考向·高考导航]‎ ‎1．抽样方法、样本的数字特征、统计图表、回归分析与独立性检验主要以选择题、填空题形式命题，难度较小．‎ ‎2．注重知识的交汇渗透，统计与概率，统计案例与概率是近年命题的热点，以解答题中档难度出现．‎ ‎[真题体验]‎ ‎1．(2018·全国Ⅰ卷)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：‎ 则下面结论中不正确的是(　　)‎ A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析：A　[设新农村建设前经济收入为x，则新农村建设后经济收入为2x，对于A，新农村建设前，种植收入为，新农村建设后，种植收入为＝，种植收入增加，故A不正确；对于B，新农村建设前其他收入为，建设后其他收入为，故B正确；对于C，新农村建设前，养殖收入为，建设后养殖收入为，故C正确；对于D，新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的28%＋30%＝58%，超过了一半，故D正确．]‎ ‎2．(2019·全国Ⅱ卷)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁一列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为____________．‎ 解析：平均正点率的估计值为＝0.98.‎ 答案：0.98‎ ‎3．(理)(2017·全国Ⅱ - 18 -‎ 卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：‎ ‎(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；‎ ‎(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ 箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 新养殖法 ‎(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)‎ 附：‎ K2＝.‎ 解：(1)记：“旧养殖法的箱产量低于50 kg”为事件B，‎ ‎“新养殖法的箱产量不低于50 kg”为事件C 而P(B)＝0.040×5＋0.034×5＋0.024×5＋0.014×5＋0.012×5＝0.62，‎ P(C)＝0.068×5＋0.046×5＋0.010×5＋0.008×5＝0.66，‎ P(A)＝P(B)P(C)＝0.409 2‎ ‎(2)‎ 箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ 由计算可得K2的观测值为 K2＝＝15.705，‎ - 18 -‎ ‎∵15.705＞6.635，‎ ‎∴P(K2≥6.635)≈0.001‎ ‎∴有99%以上的把握认为箱产量与养殖方法有关．‎ ‎(3)设中位数为x，则0.004×5＋0.020×5＋0.044×5＋0.068(x－50)＝0.5，∴x＝52.35.‎ ‎3．(文)(2017·全国Ⅱ卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：‎ ‎(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；‎ ‎(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ 箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 新养殖法 ‎(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．‎ 附：‎ K2＝.‎ 解：(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为 ‎(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62‎ 因此事件A的概率估计值为0.62.‎ ‎(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ - 18 -‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ K2＝≈15.705‎ 由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．‎ ‎(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．‎ ‎[主干整合]‎ ‎1．三种抽样方法的特点 简单随机抽样：操作简便、适当，总体个数较少 分层抽样：按比例抽样 系统抽样：等距抽样 ‎2．必记公式 数据x1，x2，…，xn的数字特征公式 ‎(1)平均数：＝.‎ ‎(2)方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．‎ ‎(3)标准差：s＝ ‎3．重要性质及结论 ‎(1)频率分布直方图的三个结论 ‎①小长方形的面积＝组距×＝频率；‎ ‎②各小长方形的面积之和等于1；‎ ‎③小长方形的高＝.‎ ‎(2)回归直线方程：一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．其回归方程＝x＋，其过样本点中心(，)．‎ ‎(3)独立性检验 K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．‎ 热点一　抽样方法 - 18 -‎ 数据 分析 素养 数据分析——随机抽样问题中的核心素养 以解决抽样调查问题为背景，考查应用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样获取样本，进行数据收集的技巧与能力.‎ ‎[题组突破]‎ ‎1．(2018·全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．‎ 解析：因为不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以用分层抽样．‎ 答案：分层抽样 ‎2.‎ ‎(2019·烟台三模)200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，第5组抽取号码为23，第9组抽取号码为________；若采用分层抽样，40～50岁年龄段应抽取________人．‎ 解析：根据题意可得每5人中抽取一人，所以第九组抽取的号码为(9－5)×5＋23＝43，根据分层抽样，40～50岁年龄段应抽取：40×30%＝12人．‎ 答案：43　12‎ ‎3.‎ ‎(2019·成都三模)如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率．已知该年级男生女生各500名(假设所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为________．‎ 解析：由已知得，喜欢篮球运动的女生有 ‎500×0.2＝100人，喜欢篮球运动的男生有 ‎500×0.6＝300人，共有400人喜欢篮球运动．‎ - 18 -‎ 按分层抽样的方式抽取32人，‎ 抽样比为＝0.08，‎ 则抽取的男生人数为300×0.08＝24人．‎ 答案：24‎ ‎　‎ 抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种，这三种抽样方法各自适用不同特点的总体，但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量与总体个体数的比值．‎ 热点二　用样本估计总体 数字特征与茎叶图的应用 ‎[例1－1]　(2020·北京东城质检)某班男女生各10名同学最近一周平均每天的锻炼时间(单位：分钟)用茎叶图记录如下：‎ 假设每名同学最近一周平均每天的锻炼时间是互相独立的．‎ ‎①男生每天锻炼的时间差别小，女生每天锻炼的时间差别大；‎ ‎②从平均值分析，男生每天锻炼的时间比女生多；‎ ‎③男生平均每天锻炼时间的标准差大于女生平均每天锻炼时间的标准差；‎ ‎④从10个男生中任选1人，平均每天的锻炼时间超过65分钟的概率比同样条件下女生锻炼时间超过65分钟的概率大．‎ 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为(　　)‎ A．①②③　　　　　　　 B．②③④‎ C．①②④ D．①③④‎ ‎[解析]　C　[由茎叶图知，男生每天锻炼时间差别小，女生差别大，①正确．‎ 男生平均每天锻炼时间超过65分钟的概率P1＝＝，女生平均每天锻炼时间超过65分钟的概率P2＝＝，P1＞P2，因此④正确．‎ 设男生、女生两组数据的平均数分别为甲，乙，标准差分别为s甲，s乙．‎ 易求甲＝65.2，乙＝61.8，知甲＞乙，②正确．‎ 又根据茎叶图，男生锻炼时间较集中，女生锻炼时间较分散，‎ - 18 -‎ ‎∴s甲＜s乙，③错误．‎ 因此符合茎叶图所给数据的结论是①②④.]‎ 用样本的频率分布估计总体分布 ‎[例1－2]　(2019·全国Ⅱ卷)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.‎ y的分组 ‎[－0.20,0)‎ ‎[0,0.20)‎ ‎[0.20,0.40)‎ ‎[0.40,0.60)‎ ‎[0.60,0.80)‎ 企业数 ‎2‎ ‎24‎ ‎53‎ ‎14‎ ‎7‎ ‎(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；‎ ‎(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)‎ 附：≈8.602.‎ ‎[审题指导]　(1)由所给的频数分布表确定出相应的频数，再代入频率公式，即可求得相应频率，并以此估计总体．‎ ‎(2)根据平均数，方差的计算公式及题设要求计算即可．‎ ‎[解析]　(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为＝0.21.‎ 产值负增长的企业频率为＝0.02.‎ 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.‎ ‎(2)＝×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，‎ ‎＝×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]‎ ‎＝0.029 6，‎ s＝＝0.02×≈0.17.‎ 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.‎ ‎1．两类数字特征的意义 ‎(1)平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势；‎ - 18 -‎ ‎(2)方差和标准差描述数据的波动大小．方差、标准差越大，数据的离散程度越大，越不稳定．‎ ‎2．与频率分布直方图有关的问题 ‎(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据．‎ ‎(2)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．‎ ‎(3)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．‎ ‎(4)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标乘积的和．‎ ‎(北京卷)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；‎ ‎(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；‎ ‎(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ 解：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，‎ 所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.‎ ‎(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5.‎ 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×＝20.‎ ‎(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，‎ 所以样本中分数不小于70的男生人数为60×＝30，‎ 所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2.‎ - 18 -‎ 所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.‎ 热点三　回归分析与独立性检验 回归分析及应用 ‎[例2－1]　(2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．‎ 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t.‎ ‎(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；‎ ‎(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．‎ ‎[审题指导]　根据给出的两个模型(回归直线方程)求2018年的环境基础设施投资额的预测值，再根据题中给出的折线图进行对照说明．‎ ‎[解析]　(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．‎ 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．‎ ‎(2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：‎ ‎(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型＝99＋17.5 t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．‎ ‎(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①‎ - 18 -‎ 得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．‎ 求回归直线方程的关键及实际应用 ‎(1)关键：正确理解计算，的公式和准确地计算．‎ ‎(2)实际应用：在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．‎ 独立性检验及应用 ‎[例2－2]　(2019·全国Ⅰ卷)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：‎ 满意 不满意 男顾客 ‎40‎ ‎10‎ 女顾客 ‎30‎ ‎20‎ ‎(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；‎ ‎(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？‎ 附：K2＝.‎ ‎[审题指导]　(1)根据2×2列联表确定相应的频率，即为所求的概率．‎ ‎(2)根据2×2列联表计算出K2的值，并与临界值比较进行判断．‎ ‎[解析]　(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6‎ ‎(2)K2的观测值k＝≈4.762.‎ 由于4.762＞3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．‎ - 18 -‎ 独立性检验的关键 ‎(1)根据2×2列联表准确计算K2的观测值k，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表．‎ ‎(2)K2的观测值k越大，对应假设事件H0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H0不成立的概率越大．‎ ‎(1)(2020·广东湛江模拟)某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如表：‎ 广告费用x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售额y ‎26‎ ‎39‎ ‎49‎ ‎54‎ 根据上表可得线性回归方程＝9.4x＋，据此模型预测，广告费用为6万元时的销售额为(　　)‎ A．65.5万元　　　　　　 B．66.6万元 C．67.7万元 D．72万元 解析：A　[＝＝3.5，＝＝42，代入线性回归方程，得42＝9.4×3.5＋，解得＝9.1，‎ 所以线性回归方程为＝9.4x＋9.1，‎ 当x＝6时，y＝65.5，故选A.]‎ ‎(2)(2019·东营三模)某同学利用课余时间做了一次社交软件使用习惯调查，得到2×2列联表如下：‎ 偏爱微信 偏爱QQ 合计 ‎30岁以下 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎30岁以上 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 合计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 附表：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 则下列结论正确的是(　　)‎ A．在犯错的概率不超过0.005的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关 B．在犯错的概率超过0.005的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关 C．在犯错的概率不超过0.001的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关 D．在犯错的概率超过0.001的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关 - 18 -‎ 解析：A　[K2＝＝10，由于7.879＜10＜10.828，可以认为在犯错的概率不超过0.005的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关，故选A.]‎ 限时45分钟　满分74分 一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)‎ ‎1．(2020·福州模拟)某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：‎ ‎　　学历 年龄　　‎ ‎35岁以下 ‎35～50岁 ‎50岁以上 本科 ‎80‎ ‎30‎ ‎20‎ 研究生 x ‎20‎ y 在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，则的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B．4‎ C. D．8‎ 解析：D　[由题意得＝，解得N＝78.‎ ‎∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20.‎ ‎∴＝＝，解得x＝40，y＝5.‎ ‎∴＝8.]‎ ‎2．(2019·全国Ⅱ卷)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(　　)‎ A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 解析：A　[去掉1个最高分，1个最低分，不变的数字特征为中位数．]‎ ‎3．(2020·吉林省长春市高三监测)如图是民航部门统计的2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是(　　)‎ - 18 -‎ A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高 B．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降 C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州 D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 解析：D　[由题图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A正确；由题图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B正确；由题图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C正确；由题图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D错误．选D.]‎ ‎4．(2020·广州调研)将某校100名学生的数学测试成绩(单位：分)按照[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分成6组，制成的频率分布直方图如图所示，若分数不低于a为优秀，如果优秀的人数为25，则a的值是(　　)‎ A．130 B．140‎ C．133 D．137‎ 解析：A　[由题意可知，成绩在[90,100)内的频率为0.005×10＝0.05，频数为5，成绩在[100,110)内的频率为0.018×10＝0.18，频数为18，成绩在[110,120)内的频率为0.030×10＝0.3，频数为30，成绩在[120,130)内的频率为0.022×10＝0.22，频数为22，成绩在[130,140)内的频率为0.015×10＝0.15，频数为15，成绩在[140,150]内的频率为0.010×10＝0.1，频数为10，而优秀的人数为25，成绩在[140,150]内的有10人，成绩在[130,140)内的有15人，所以成绩在[130,150]内的共25人，所以分数不低于130为优秀，故a＝130，选A.]‎ - 18 -‎ ‎5．(2020·重庆六校联考)某老师任教高三A班、高三B班两个班，两个班各有50个学生，如图反映的是两个班在某学期5次数学测试中的班级平均分，根据图表，下列结论不正确的是(　　)‎ A．A班的数学成绩平均水平高于B班 B．B班的数学成绩没有A班稳定 C．下次考试B班的数学成绩平均分要高于A班 D．在第1次考试中，A，B两个班的总平均分为98分 解析：C　[A班的数学成绩平均值为＝101(分)，B班的数学成绩平均值为＝99.2(分)，即A正确；A班平均成绩的方差为×(0＋9＋0＋1＋16)＝5.2，B班平均成绩的方差为×(4.22＋0.64＋3.22＋5.82＋0.64)＝12.56，即B正确；在第1次考试中，A，B两个班的总平均分为＝98(分)，即D正确；无法根据图表知道下次考试成绩的情况，C不正确，故选C.]‎ ‎6．(2020·苏州模拟)气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：‎ ‎①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；‎ ‎②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；‎ ‎③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.‎ 则肯定进入夏季的地区有(　　)‎ A．①②③ B．①③‎ C．②③ D．①‎ 解析：B　[①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，可知5个数据均不低于22，①符合题意；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，当中有可能某一天的气温低于22℃，故不符合题意；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8，若有某一天的气温低于22℃，则总体方差就大于10.8，故满足题意．则肯定进入夏季的地区有甲地、丙地．故选B.]‎ - 18 -‎ ‎7．(2019·宁波三模)第十八届亚运会在印尼·雅加达举办，在篮球比赛中，某参赛队中甲、乙两名篮球运动员在13场比赛中的得分情况用茎叶图表示如下：‎ 根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中不正确的是(　　)‎ A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 解析：D　[根据茎叶图可知，甲运动员的得分为19,18,18,26,21,20,35,33,32,30,47,41,40；乙运动员的得分为17,17,19,19,22,25,26,27,29,29,30,32,33，对于A，由图中的数据可得甲运动员得分的极差为47－18＝29，乙运动员得分的极差为33－17＝16，故甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，因此A正确；对于B，甲运动员得分的数据从小到大排列：18,18,19,20,21,26,30,32,33,35,40,41,47，位于中间的数是30，所以甲运动员得分的中位数是30分，同理得乙运动员得分的中位数是26分，因此甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B正确；对于C，不难得出甲运动员得分的平均值约为29.2分，乙运动员得分的平均值为25.0分，因此甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值，故C正确；对于D，甲的方差s≈×[(19－29.5)2＋(18－29.2)2＋…＋(40－29.9)2]≈88.18，同理，得乙的方差s≈29.54，乙的方差小于甲的方差，所以乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故D不正确，故选D.]‎ 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)‎ ‎8．《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问：各几何？”其意为：今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱，则丙应出________钱(所得结果四舍五入，保留整数)．‎ 解析：甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，丙应出100×＝16≈17(钱)．‎ 答案：17‎ ‎9．(2019·青岛三模)某校为了解高三学生寒假期间的学习情况，抽查了100名学生，统计他们每天的平均学习时间，绘制成频率分布直方图，如图所示，则这100名学生中学习时间在6至10小时之间的人数为________．‎ - 18 -‎ 解析：由题图知，(0.04＋0.12＋x＋0.14＋0.05)×2＝1，解得x＝0.15，所以学习时间在6至10小时之间的频率是(0.15＋0.14)×2＝0.58，‎ 所求人数为100×0.58＝58.‎ 答案：58‎ ‎10．(双空填空题)高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．‎ 从这次考试成绩看，‎ ‎(1)在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________；‎ ‎(2)在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________．‎ 解析：(1)由图分析，乙的语文成绩名次略比甲的语文成绩名次靠前，但总成绩名次靠后，所以甲、乙两人中，语文成绩名次比其总成绩名次靠前的是乙．‎ ‎(2)根据丙在这两个图中对应的点的横坐标相同，找出丙在第一个图中对应的点．观察易得，丙同学成绩名次更靠前的科目是数学．‎ 答案：(1)乙　(2)数学 三、解答题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)‎ ‎11．(2020·陕西质检)2018年12月，针对国内天然气供应紧张的问题，某市政府及时安排部署，加气站采取了紧急限气措施，全市居民打响了节约能源的攻坚战．某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，并绘制了相应的折线图．‎ ‎(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合年度天然气需求量y(单位：千万立方米)与年份x(单位：年)之间的关系．并且已知y关于x的线性回归方程是＝6.5x＋，试确定 - 18 -‎ 的值，并预测2018年该地区的天然气需求量．‎ ‎(2)政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》，该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定，根据续航里程的不同，将补贴金额划分为三类，A类：每车补贴1万元，B类：每车补贴2.5万元，C类：每车补贴3.4万元．某出租车公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如下表：‎ 类型 A类 B类 C类 车辆数目 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况，在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本，再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查，求恰好有1辆车享受3.4万元补贴的概率．‎ 解析：(1)由折线图数据可知 ＝＝2012，‎ ＝＝260.2‎ 代入线性回归方程＝6.5x＋可得＝－12817.8.‎ 将x＝2018代入方程可得＝299.2千万立方米．‎ ‎(2)根据分层抽样可知A类，B类，C类抽取辆数分别为1辆，2辆，3辆分别编号为A，B1，B2，C1，C2，C3.基本事件有(A，B1)(A，B2)(A，C1)(A，C2)(A，C3)(B1，B2)，(B1，C1)(B1，C2)(B1，C3)(B2，C1)(B2，C2)(B2，C3)(C1，C2)(C1，C3)(C2，C3)共15种，设“恰好有1辆车享受3.4万元补贴”为事件D，则P(D)＝.‎ ‎12．(2019·全国Ⅲ卷)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：‎ - 18 -‎ 记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.‎ ‎(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；‎ ‎(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．‎ 解析：本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题．‎ ‎(1)由题得a＋0.20＋0.15＝0.70，解得a＝0.35，由0.05＋b＋0.15＝1－P(C)＝1－0.70，解得b＝0.10.‎ ‎(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为0.15×2＋0.20×3＋0.30×4＋0.20×5＋0.10×6＋0.05×7＝4.05，‎ 乙离子残留百分比的平均值为0.05×3＋0.10×4＋0.15×5＋0.35×6＋0.20×7＋0.15×8＝6.00‎ 答案：(1)a＝0.35，b＝0.10；(2)4.05,6.00‎ - 18 -‎