全国高中数学联赛模拟试题（三） 4页

全国高中数学联赛模拟试题（三）‎ 一、选择题 ‎1、 设一个四面体的体积为V1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为V2．则为 ‎（A） （B）‎ ‎（C）常数，但不等于和 ‎ ‎（D）不确定，其值与四面体的具体形状有关 ‎2、 若集合S＝{n|n是整数，且22n＋2整除2003n＋2004}，则S为 ‎（A）空集 （B）单元集 （C）二元集 （D）无穷集 ‎3、 设a是整数，关于x的方程x2＋(a－3)x＋a2＝0的两个实根为x1、x2，且tan(arctan x1＋arctan x2)也是整数．则这样的a的个数是 ‎（A）0 （B）1 （C）2 （D）4‎ ‎4、 在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为 ‎（A）1001 （B）1010 （C）1011 （D）1013‎ ‎5、 在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是 ‎（A）36 （B）37 （C）48 （D）49‎ ‎6、 若多项式x2－x＋1能除尽另一个多项式x3＋x2＋ax＋b（a、b皆为常数）．则a＋b等于 ‎（A）0 （B）－1 （C）1 （D）2‎ 二、填空题 ‎7、若直线xcosq＋ysinq＝cos2q－sin2q（0＜q＜p）与圆x2＋y2＝有公共点，则q的取值范围是 ．‎ ‎8、 在平面直角坐标系xOy中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与x轴相切．则此圆的半径等于 ．‎ ‎9、 若常数a使得关于x的方程 lg(x2＋20x)－lg(8x－6a－3)＝0‎ 有惟一解．则a的取值范围是 ．‎ ‎10、 设ABCD为凸四边形，AB＝7，BC＝4，CD＝5，DA＝6，其面积S的取值范围是(a,b] ．则a＋b＝ ．‎ ‎11、 f(x)＝＋xcosx＋cos(2x)(x∈R)的最小值是 ．‎ ‎12、 若k是一个正整数，且2k整除 则k的最大值为 ．‎ 三、解答题 ‎13、‎ 设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，左准线为l，点P在椭圆上．作PQ⊥l，Q为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P，使得PQF1F2为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e的等式或不等式来表示）．‎ ‎14、‎ 试求出正整数k的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的k个整数a1,a2,…,ak（允许相等），必定存在相应的k的整数x1,x2,…,xk（也允许相等），且|xi|≤2(i＝1,2,…,k)，|x1|＋|x2|＋…＋|xk|≠0，使得2003整除x1a1＋x2a2＋…＋xkak．‎ ‎15、‎ ‎ 设正数a、b满足且使得关于x的不等式 ‎≥‎ ‎ 总有实数解．试求f(a,b)＝a2－3ab＋b2的取值范围．‎ ‎16、‎ 点P在△ABC内，且∠BAP＝∠CAP，连结BP并延长交AC于点Q．设∠BAC＝60°，且．‎ 求证：P是△ABC的内心．‎ ‎17、‎ 试求出所有的有序整数对(a,b)，使得关于x的方程x4＋(2b－a2)x2－2ax＋b2－1＝0的各个根均是整数．‎ ‎18、‎ 设a0＝1，a1＝2，an+1＝2an-1＋n，n＝1,2,3,…．试求出an的表达式（答案用有限个关于n的式子相加的形式表示，且项数与n无关）．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 A ‎2、 C ‎3、 B ‎4、 D ‎5、 C ‎6、 C 二、填空题 ‎7、 ‎ ‎8、 ‎ ‎9、 ‎ ‎10、 ‎ ‎11、 －1‎ ‎12、 2004‎ 三、解答题 ‎13、．‎ ‎14、kmin＝7．‎ ‎15、(－∞，－1)．‎ ‎16、证略（提示：将条件变形为，然后应用正弦定理，进行三角变换，得∠BPC＝120°，利用同一法即证）；‎ ‎17、(a,b)＝(2l―1,l2―l―1)(l∈Z)‎ ‎18、a2n＝2n+2－2n－3；a2n+1＝3×2 n+1－2n－4．‎