2020高中数学 课时分层作业9 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 新人教A版选修1-2 5页

课时分层作业(九)　 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．若(－‎3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝(　　)‎ A．　　　　　　　　　 B．－ C．－ D．5‎ B　[(－‎3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－‎3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，所以解得a＝，b＝－，故有a＋b＝－.]‎ ‎2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)‎ ‎ 【导学号：48662143】‎ A．－2 B．4‎ C．3 D．－4‎ B　[z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.]‎ ‎3．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　)‎ A．3 B．2‎ C．1 D．－1‎ D　[z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.]‎ ‎4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量、对应的复数分别是3＋i、－1＋3i，则对应的复数是(　　) ‎ ‎【导学号：48662144】‎ A．2＋4i B．－2＋4i C．－4＋2i D．4－2i D　[依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.故选D.]‎ ‎5．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 4‎ B　[设z＝x＋yi，则由|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.]‎ 二、填空题 ‎6．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－‎2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________. ‎ ‎【导学号：48662145】‎ ‎3　[由条件知z1＋z2＝a2－‎2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以解得a＝3.]‎ ‎7．若z1＝2－i，z2＝－＋2i，则z1，z2在复平面上所对应的点为Z1、Z2，这两点之间的距离为________．‎ 　[||＝＝.]‎ ‎8．若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为________．‎ ‎9π　[由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π.]‎ 三、解答题 ‎9．在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长. ‎ ‎【导学号：48662146】‎ ‎[解]　如图所示. ‎ 对应复数z3－z1，‎ 对应复数z2－z1，‎ 对应复数z4－z1.‎ 由复数加减运算的几何意义，得＝＋，‎ ‎∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，‎ ‎∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.‎ ‎∴AD的长为||＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.‎ ‎10．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m 4‎ 的取值范围．‎ ‎[解]　∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，∴z1＋z2＝‎ ＋[(m－15)＋m(m－3)]i ‎＝＋(m2－‎2m－15)i.‎ ‎∵z1＋z2为虚数，∴m2－‎2m－15≠0且m≠－2，‎ 解得m≠5，m≠－3且m≠－2(m∈R)．‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是(　　)‎ A．直角三角形　　　　 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 A　[|AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A. ]‎ ‎2．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为(　　) ‎ ‎【导学号：48662147】‎ A．0 B．1‎ C． D． C　[由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离即为.]‎ ‎3．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝________.‎ －4i　[设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，‎ 则所以 所以z＝－4i.]‎ ‎4．已知z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β且z1－z2＝＋i，则cos (α＋β)的值为________. ‎ ‎【导学号：48662148】‎ 　[∵z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β，∴z1－z2＝(cos α－cos β)＋i(sin α 4‎ ‎＋sin β)＝＋i，‎ ‎∴ ‎①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，‎ 即cos(α＋β)＝.]‎ ‎5．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．‎ ‎(1)求对应的复数；‎ ‎(2)求对应的复数；‎ ‎(3)求△APB的面积．‎ ‎[解]　(1)由于ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，‎ 即对应的复数是－2＋2i.‎ ‎(2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，‎ 即对应的复数是5.‎ ‎(3)由于＝＝－＝，‎ ＝＝，于是·＝－，‎ 而||＝，‎ ‎||＝，‎ 所以··cos∠APB＝－，‎ 因此cos∠APB＝－，‎ 故sin∠APB＝，‎ 故S△APB＝||||sin∠APB ‎＝×××＝.‎ 4‎ 即△APB的面积为.‎ 4‎