江苏省苏州市2020届高三上学期期中调研数学试题 含解析 16页

江苏省苏州市2019—2020学年第一学期高三期中调研试卷 数学试题 ‎2019．11‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）‎ ‎1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝，则AB＝ ．‎ 答案：{1，2}‎ 考点：集合的交集运算 解析：∵集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝，‎ ‎ ∴AB＝{1，2}．‎ ‎2．已知复数满足（i为虚数单位），则复数的实部为 ．‎ 答案：﹣1‎ 考点：复数 解析：∵‎ ‎ ∴，则复数的实部为﹣1．‎ ‎3．已知向量＝(x，2)，＝(2，﹣1)，且⊥，则实数x的值是 ．‎ 答案：1‎ 考点：平面向量数量积坐标运算 解析：∵＝(x，2)，＝(2，﹣1)，‎ ‎ ∴·＝2x﹣2‎ ‎ ∵⊥‎ ‎ ∴·＝2x﹣2＝0，解得x＝1．‎ ‎4．函数的定义域为 ．‎ 答案：(1，2)‎ 考点：函数的定义域 解析：由题意得：，解得1＜x＜2，即原函数定义域为(1，2)．‎ ‎5．等比数列中，，，是的前项和，则 ．‎ 答案：31‎ 考点：等比数列前n项和 解析：由题意，，解得q＝2，‎ ‎ ∴．‎ ‎6．已知，则的值为 ．‎ 答案：‎ 考点：同角三角函数关系式 解析：．‎ ‎7．“”是“”的 条件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写．）‎ 答案：充分不必要 考点：充分条件、必要条件、充要条件的判断 解析：因为“”一定能推出“”，但“”不能推出“”，‎ ‎ 故“”是“”的充分不必要条件．‎ ‎8．已知函数的图象上每个点向左平移()个单位长度得到函数y＝的图象，则的值为 ．‎ 答案：‎ 考点：三角函数的图像与性质 解析：函数的图象上每个点向左平移()个单位 ‎ 则得，即＝‎ ‎ 求得．‎ ‎9．设函数，则不等式的解集为 ．‎ 答案：(﹣1，2)‎ 考点：函数的单调性 解析：根据题意可得函数是R上的单调递增函数，又 ‎ ，，解得﹣1＜x＜2，∴原不等式解集为(﹣1，2)．‎ ‎10．已知函数的极小值大于0，则实数的取值范围为 ．‎ 答案：(，)‎ 考点：利用导数研究函数极值 解析：∵函数，‎ ‎ ∴，‎ ‎ 当m≥0时，＞0，在(0，)单调递增；‎ ‎ 当m＜0时，当x＝﹣m时，有极小值，‎ ‎ 解得：．‎ ‎11．已知各项都为正数的等差数列中，，则的最大值为 ．‎ 答案：9‎ 考点：等差数列的性质，基本不等式 解析：∵各项都为正数的等差数列中，，‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴，当且仅当＝3时取“＝”．‎ ‎12．已知菱形ABCD的棱长为3，E为棱CD上一点且满足，若，则cosC＝ ．‎ 答案：‎ 考点：平面向量数量积 解析：∵，‎ ‎ ∴‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ∵菱形ABCD的棱长为3，‎ ‎ 求得＝3，∴．‎ ‎13．若方程在(0，π)的解为，，则 ．‎ 答案：‎ 考点：三角函数的图像与性质，诱导公式 解析：根据题意，令函数，当时，在(0，π)上有两个零点，，一方面，另一方面可得两个零点，关于直线对称，则，则 ‎ ．‎ ‎14．已知函数，，若对于任意(0，3)，总是存在两个不同的，(0，3)，使得，则实数的取值范围为 ．‎ 答案：[1，)‎ 考点：函数与不等式 解析：根据，(0，3)，求得的值域为(0，4]，‎ ‎ ，‎ ‎ ，可以判断在(0，3)上单调递增 ‎ 又，故当0＜x＜1时，＜0，在(0，1)单调递减 ‎ 当1＜x＜3时，＞0，在(0，1)单调递增 ‎ 计算得，，‎ ‎ 要使任意(0，3)，总是存在两个不同的，(0，3)，使得，‎ ‎ 则，求得1≤a＜．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本题满分14分）‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝120°，c＝7，a﹣b＝2．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）求sin(A＋C)的值．‎ ‎16．（本题满分14分）‎ 已知向量＝(cosx，cosx)，＝(cosx，sinx)．‎ ‎（1）若∥，[0，]，求x的值；‎ ‎（2）若，[0，]，求的最大值及相应x的值．‎ ‎17．（本题满分14分）‎ 已知等比数列满足，且，，成等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和为．‎ ‎18．（本题满分16分）‎ 如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所在圆的圆心为O．经测量AB＝4米，BC＝米，∠COD＝120°，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF＝，矩形EFGH的面积为S．‎ ‎（1）求矩形EFGH的面积S关于变量的函数关系式；‎ ‎（2）求cos为何值时，矩形EFGH的面积S最大？‎ ‎19．（本题满分16分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求的图像在处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的极大值；‎ ‎（3）若对(0，1]恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎20．（本题满分16分）‎ 已知数列满足，．‎ ‎（1）证明：数列为等差数列；‎ ‎（2）设数列的前项和为，若，且对任意的正整数，都有，求整数的值；‎ ‎（3）设数列满足，若，且存在正整数，，使得是整数，求的最小值．‎ 附加题（共40分）‎ ‎21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．（本题满分10分）‎ 已知二阶矩阵 的特征值所对应的一个特征向量为．‎ ‎（1）求矩阵；‎ ‎（2）设曲线在变换矩阵作用下得到的曲线的方程为，求曲线的方程．‎ B．（本题满分10分）‎ 已知曲线的极坐标方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数，），若曲线被直线截得的弦长为，求的值．‎ C．（本题满分10分）‎ 设正数满足，求证：．‎ ‎22．（本题满分10分）‎ 某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是，甲、丙二人都没有击中目标的概率是，乙、丙二人都击中目标的概率是．甲乙丙是否击中目标相互独立．‎ ‎（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；‎ ‎（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎23．（本题满分10分）‎ 如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱，上，且，．设．‎ ‎（1）当时，求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（2）当平面平面时，求的值．‎