黑龙江省哈六中2020届高三上学期期末考试 数学（理）试题 9页

哈尔滨市第六中学2019-2020学年度上学期期末考试 高三理科数学 考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．‎ ‎（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；‎ ‎（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用‎0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；‎ ‎（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；‎ ‎（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1 已知复数，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合，集合，则 ‎ 集合的子集个数为 （ ）‎ ‎ A. 3 B‎.4 C.7 D.8 ‎ ‎3.已知函数，则函数的最小正周期和最大值分别为 （ ）‎ A.和 B.和 ‎ ‎ C.和 D.和 ‎ ‎4.已知向量，，若，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半 ，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，‎ ‎·9·‎ 请问第二天走了(　　)‎ A．24里 B．48里 C．96里 D．192里 ‎6.已知函数，则函数在处的切线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7.设函数，若，则实数的值为（ ）‎ A. B.或 C. D. 或 ‎8.已知双曲线的左右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，若，,则双曲线的离心率为（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.某市为了提高整体教学质量，在高中率先实施了市区共建“1+‎2”‎合作体，现某市直属高中学校选定了6名教师和2名中名层干部去2所共建学校交流学习，若每所共建学校需要派3名教师和1名中层干部，则该市直属高中学校共有（ ）种选派方法 A.160 B.80 C.40 D.20‎ ‎10.已知分别为矩形的边与的中点，为线段的中点，把矩形沿折到，使得,若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知圆,过直线上第一象限内的一动点作圆的两条切线，切点分别为,过两点的直线与坐标轴分别交于两点，则面积的最小值为（ ）‎ ‎·9·‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知定义在上的偶函数满足，且时，，则函数在上的所有零点之和为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．‎ ‎13.在的展开式中，项的系数为.‎ ‎14.已知水平放置的底面半径为20，高为100的圆柱形水桶，水桶内水面高度为‎50cm，现将一个高为10圆锥形铁器完全没入水桶中(圆锥的底面半径小于20),此时水桶的水面高度上升了2.5,则此圆锥形铁器的侧面积为.（忽略水桶壁的厚度）‎ ‎15.已知均为正实数，若，则的最小值为.‎ ‎16.已知抛物线的焦点为,过的直线与抛物线交于两点，若，且弦的中点纵坐标为，则抛物线的方程为.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 在中，设边所对的角分别为，.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若的周长为，求的值.‎ ‎·9·‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图所示,四棱锥的底面是直角梯形，平面，,为中点，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若与底面所成角为，求二面角的余弦值.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知正项数列的前项和为，若,.‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）设，求数列的前项和.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知动点到定点的距离与到定直线的距离之比为.‎ ‎（Ⅰ）求动点轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过的直线交轨迹于两点，若轨迹上存在点，使,求直线的方程.‎ ‎·9·‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，函数在区间上单调递增；‎ ‎（Ⅱ）若时，恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分．‎ ‎22.（本小题满分10分）‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并求出曲线与公共弦所在直线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线与曲线交于两点，与曲线交于点，且，求的值.‎ ‎23.（本小题满分10分）‎ 选修4—5：不等式选讲 设（）‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围.‎ ‎·9·‎ ‎2020届理科数学期末试题答案 1- ‎------5 ADCDC 6------10 ABBCA 11---12 BC ‎13.；14. ,15.5; 16.‎ ‎17.解：（Ⅰ）因为 由正弦定理得 ‎ ‎——————————2分 ‎ ,,‎ ‎,,——————————5分 ‎（Ⅱ）由余弦定理得 ——————————7分 因为周长，又，————————————9分 所以，所以——————————————12分 ‎18.‎ 解（Ⅰ）证明 ：因为平面，平面，所以---------1‎ 在直角梯形中，得出，-----------2分 又,所以平面.---------4分 ‎（Ⅱ） 因为平面，所以是与底面所成角，，所以------6分 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系 面的法向量，---------8分 面的法向量------------10分 ‎·9·‎ ‎ ----------11 二面角的余弦值为-------12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ 解（Ⅰ）证明：时， 作差得 ‎ ‎ ，又 ，所以有 -------3分 ‎（Ⅱ）因为时，，所以的奇数项是以为首项，2为公差的等差数列；偶数数项是以为首项，2为公差的等差数列；‎ 所以；-------------7分 所以---------------8分 ‎（Ⅲ），————————12分 ‎20.（本小题满分12分）解（Ⅰ）设因为，到定点的距离与到定直线的距离之比为，所以有——————————————2分 代入得————————————4分 ‎ （Ⅱ）由题意直线斜率存在，设 （2） 联立方程得，，，∴恒成立 ‎∴，---------5分 ‎ ‎·9·‎ ‎,所以 代入椭圆有，又，————————6分 得 ‎，——————————————————9分 得 代入得——————————————11分 直线方程：—————————12分 21. ‎（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）‎ 当时，——————————1分 ‎，，‎ 当时，，当时，‎ 所以在区间增，在区间为上减 所以，即，所以函数在区间上单调递增————————4分 ‎（Ⅱ）设 ‎，所以在上单调递增,——————5分 ‎（1）当，即时，在上是单调递增的，，‎ ‎·9·‎ 所以————————8分 ‎（2）当，即时，，‎ 故存在唯一的，使，所以当时，，当时，，所以在区间增，在区间为上减 所以，，又 得，——————————10分 又易得是随而增大的，所以 综上：——————————12分 ‎22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为—————————2分 ‎，，得————————3分 所在直线的极坐标方程,（或和）——————5分 ‎（Ⅱ）把，代入，，‎ 得；——------6分 ‎ 又，则，——————9分 所以，------10分 ‎23.（本小题满分10分）‎ ‎（Ⅰ）证明：；——————5分 ‎（Ⅱ）————————7分 ‎————————10分 ‎·9·‎