江西省赣州市石城中学2020届高三上学期第十三次周考数学（理）（A）试卷 含答案 10页

数学（理科A）‎ 满分150分 时间120分钟 一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1、若全集，集合，则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2.已知命题，命题若△ABC中，,则，则下列命题正确的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4、已知等差数列的前项和为，，则( )‎ A、14 B、15 C、16 D、17‎ ‎5.若函数，且，， 的最小值是，则的单调递增区间是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6．若展开式的系数之和等于展开式的二项式系数之和，则的值为（ ）．‎ A．15 B．10 C．8 D．5‎ ‎7．在中，角、、的对边长分别为、、．命题甲：，且，命题乙：是等腰直角三角形，且为直角．则命题甲是命题乙的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8.在公比为的正项等比数列中，，则当取得最小值时，（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（错题重现）设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎12.若存在正实数,使得关于的方程 有两个不等的实根（其中是自然对数的底数）,则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ 一、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知是数列的前项和，且，则数列的通项公式为_____．‎ ‎14．已知直线l:y=k(x-2)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|=3|BF|，则直线l的倾斜角为_________.‎ ‎15．已知正三棱柱底面边长为，高为3，圆是三角形的内切圆，点是圆上任意一点，则三棱锥的外接球的体积为__________．‎ ‎16.已知，，，则的取值范围是 ． ‎ 一、 解答题：（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17（错题重现）.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点M的极坐标为，若点M是曲线C截直线l所得线段的中点，求l的斜率．‎ ‎18．如图所示，在三棱锥中，平面,，，分别为线段上的点，且，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎19、如图,在梯形ABCD中,已知 求：的长；的面积．‎ ‎ ‎ ‎20.已知数列中，，且.‎ （1） 判断数列是否为等比数列，并说明理由；‎ （2） 若，求的前项和.‎ ‎21．（12分）已知椭圆过点，且左焦点与抛物线的焦点重合．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，线段的中点记为，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围．‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）若函数有两个极值点且恒成立,求实数的取值范围.‎ 数学参考答案（理科A）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D B A B A D C A D A D C 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13. 14.或 15. 16. ‎ ‎.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.解：（Ⅰ）当时，直线的直角坐标方程为；（2分）‎ 当时，直线的直角坐标方程为． （4分）‎ ‎（Ⅱ）点的直角坐标为，曲线的直角坐标方程为，（6分）‎ 把代入曲线的直角坐标方程，化简得，由，得，所以直线的斜率为．（10分）‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎（1）证明：因为平面，平面，‎ 所以.…………1分 由得为等腰直角三角形，‎ 故．………………2分 又，且面，面，……3分 故平面．……………4分 ‎（2）解：如图所示，过点作垂直于，‎ 易知，又，故．‎ 由，得，，‎ 故．………………………………5分 以点为坐标原点，分别以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，‎ 建立如图空间直角坐标系， ……………………………………6分 ‎，，，，，‎ ‎ ……7分 设平面的法向量为，则，‎ 即，……………………………………8分 令，则，故可取．…………9分 由（1）可知平面，故平面的法向量可取为，即.………10分 则，……11分 又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．………12分 ‎19.解：, ,． 在中,由正弦定理得,即,解得． , , ,． 在中,由余弦定理得, 即,解得或舍． ‎ ‎．‎ ‎21.‎ ‎22【解析】（1）函数的定义域为,,‎ 令,,‎ 若时,,在恒成立,函数在上单调递增.‎ 若,,方程,‎ 两根为,,‎ 当时,,,,单调递增.‎ 当时,,,‎ ‎,,单调递增,,,单调递增.‎ 综上,时,函数单调递增区间为,‎ 时,函数单调递增区间为,‎ 时,函数单调递增区间为,.‎ ‎（2）由（1）知,存在两个极值点时,且,,则,,且,.‎ 此时恒成立,可化为 恒成立,‎ 设,,‎ ‎,‎ 因为,所以,,所以,故在单调递减,‎ ‎,所以实数的取值范围是.‎