2020高中数学 课时分层作业11 双曲线的简单几何性质 新人教A版选修2-1 5页

课时分层作业(十一) 双曲线的简单几何性质 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于(　　)‎ A． B．　　C．　　D． C　[由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，故e＝.]‎ ‎2．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l(　　)‎ A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 B　[因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B．]‎ ‎3．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于(　　)‎ A．2 B．‎2 C．4 D．4 C　[由已知得e＝＝2，所以a＝c，故b＝＝c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，由焦点到渐近线的距离为，得c＝，解得c＝2，故‎2c＝4，故选C．]‎ ‎4．若实数k满足00,16－k>0，故方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距‎2c＝2，离心率e＝；同理方程－＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距‎2c＝2 5‎ ‎，离心率e＝.可知两曲线的焦距相等，故选D．]‎ ‎5．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，且直线l过(a,0)和(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为(　　)‎ A． B． C． D．2‎ D　[直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，原点到直线l的距离d＝＝＝c 即ab＝c2，所以a2(c2－a2)＝c4.‎ 整理得3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝ 又b>a>0，所以e2＝1＋>2，故e＝2.]‎ 二、填空题 ‎6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线方程为________．‎ －y2＝1　[由题意可得，解得，‎ 故所求双曲线方程为－y2＝1.]‎ ‎7．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：46342102】‎ ‎(1，)　[e2＝1＋，由a>1得10)的两条渐近线分别交于点A，B，且△AOB的面积为8，则焦距为________．‎ ‎2　[双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则A(2,2b)，B(2，－2b)，|AB|＝4b，从而S△AOB＝×4b×2＝8.‎ 解得b＝2，所以c2＝5，从而焦距为2.]‎ 三、解答题 5‎ ‎9．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率．‎ ‎[解]　由椭圆＋＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上，‎ ‎∵双曲线的一条渐近线为y＝x，‎ ‎∴设双曲线方程为－＝1.‎ 又c2＝‎2a2＝48，∴a2＝24.‎ ‎∴所求双曲线的方程为－＝1.‎ 由a2＝24，c2＝48，‎ 得e2＝＝2，‎ 又e>0，∴e＝.‎ ‎10．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2，其中O为原点，求k的取值范围. ‎ ‎【导学号：46342103】‎ ‎[解]　(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得a＝，c＝2.‎ 又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1，‎ 故双曲线C的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，‎ 得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，‎ 由直线l与双曲线交于不同的两点得： 即k2≠且k2<1. ①‎ 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，‎ 则xA＋xB＝，xAxB＝，‎ 由·>2得xAxB＋yAyB>2，‎ 而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)‎ ‎＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2‎ 5‎ ‎＝(k2＋1)·＋＋2＝，‎ 于是>2，‎ 解此不等式得0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F‎1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A．3x±4y＝0 B．3x＋5y＝0‎ C．5x±4y＝0 D．4x±3y＝0‎ D　[由题意可知|PF2|＝|F‎1F2|＝‎2c，所以△PF‎1F2为等腰三角形，所以由F2向直线PF1作的垂线也是中线，因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长‎2a，所以|PF1|＝2＝4b，又|PF1|－|PF2|＝‎2a，所以4b－‎2c＝‎2a，所以2b－a＝c，两边平方可得4b2－4ab＋a2＝c2＝a2＋b2，所以3b2＝4ab，所以‎4a＝3b，从而＝，所以该双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，故选D．]‎ ‎3．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过点F作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A‎2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________．‎ 5‎ ‎±1　[不妨设点B在第一象限，则A1(－a,0)，B，A2(a,0)，C，所以＝，＝.因为A1B⊥A‎2C，所以·＝0，所以c2－a2－＝0，整理得，＝1，即＝1，所以渐近线的斜率为±1.]‎ ‎4．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________. ‎ ‎【导学号：46342104】‎ ‎±1　[由，消去y得x2－2mx－m2－2＝0.则Δ＝‎4m2‎＋‎4m2‎＋8＝‎8m2‎＋8>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝‎2m，y1＋y2＝x1＋x2＋‎2m＝‎4m，所以线段AB的中点坐标为(m,‎2m)．又点(m,‎2m)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(‎2m)2＝5，得m＝±1.]‎ ‎5．直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．‎ ‎(1)求线段AB的长；‎ ‎(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？‎ ‎[解]　由得(3－a2)x2－2ax－2＝0.‎ 由题意可得3－a2≠0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ ‎(1)|AB|＝＝＝＝.‎ ‎(2)由题意知，OA⊥OB，则·＝0，‎ 即x1x2＋y1y2＝0，‎ ‎∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0.‎ 即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，‎ ‎∴(1＋a2)·＋a·＋1＝0，解得a＝±1.‎ 经检验a＝±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点.‎ 5‎