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- 2021-06-23 发布
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福建省龙岩高级中学2018-2019学年高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合A={x|-20,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90∘，KL=1，则f(16)的值为( )
A. -34 B. -14 C. -12 D. 34
【答案】D
【解析】解：因为f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90∘，KL=1，
所以A=12，T=2，因为T=2πω，所以ω=π，
函数是偶函数，0<φ<π，所以φ=π2，
∴函数的解析式为：f(x)=12sin(πx+π2)，
所以f(16)=12sin(π6+π2)=34．
故选：D．
通过函数的图象，利用KL以及∠KML=90∘求出求出A，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出φ，即可求解f(16)的值．
本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力．
2. 若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB-OC)⋅(OB+OC-2OA)=0，则△ABC一定是( )
A. 正三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】解：∵(OB-OC)⋅(OB+OC-2OA)
=(OB-OC)⋅[(OB-OA)+(OC-OA)]=(OB-OC)⋅(AB+AC)=CB⋅(AB+AC)=(AB-AC)⋅(AB+AC)=|AB|2-|AC|2=0
∴|AB|=|AC|，
∴△ABC为等腰三角形．
故选：B．
利用向量的运算法则将等式中的向量OA，OB，OC 用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状
本题考查三角形的形状判断，着重考查平面向量的数量积及应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
1. 正项等比数列{an}中的a1、a11是函数f(x)=13x3-4x2+6x-3的极值点，则log6a5a6=( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. -1
【答案】B
【解析】解：∵f(x)=13x3-4x2+6x-3，f'(x)=x2-8x+6，
a1、a11是函数f(x)=13x3-4x2+6x-3的极值点，
∴a1、a11是x2-8x+6=0的两个实数根，
∴a1⋅a11=6．
∴log6a5a6=log6(a1a11)=log66=2．
故选：B．
f'(x)=x2-8x+6，a1、a11是函数f(x)=13x3-4x2+6x-3的极值点，可得a1、a11是x2-8x+6=0的两个实数根，再利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的极值、一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2. 函数f(x)=xx2+a的图象可能是( )
A. (1)(3) B. (1)(2)(4) C. (2)(3)(4) D. (1)(2)(3)(4)
【答案】C
【解析】解：f(x)=xx2+a，可取a=0，f(x)=xx2=1x，故(4)正确；
∴f'(x)=a-x2(x2+a)2，
当a<0
时，函数f'(x)<0恒成立，x2+a=0，解得x=±-a
故函数f(x)在(-∞,--a)，(--a,-a)，(-a,+∞)上单调递减，故(3)正确；
取a>0，f'(x)=0，解得x=±a，
当f'(x)>0，即x∈(-a,a)时，函数单调递增，
当f'(x)<0，即x∈(-∞,-a)，(a,+∞)时，函数单调递减，故(2)正确
函数f(x)=xx2+a的图象可能是(2)，(3)，(4)，
故选：C．
分别令a=0，a>0，a<0，根据导数和函数的单调性即可判断．
本题考查了函数图象的识别，以及导数和函数的单调性的关系，属于中档题．
1. 设函数是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x>0时，xlnx⋅f'(x)<-f(x)，则使得(x2-4)f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A. (-2,0)∪(0,2) B. (-∞,-2)∪(2,+∞)
C. (-2,0)∪(2,+∞) D. (-∞,-2)∪(0,2)
【答案】D
【解析】解：根据题意，设g(x)=lnx⋅f(x)，(x>0)，
其导数g'(x)=(lnx)'f(x)+lnxf'(x)=1xf(x)+lnxf'(x)，
又由当x>0时，xlnx⋅f'(x)<-f(x)，即lnx⋅f'(x)<-1xf(x)，
则有g'(x)=1xf(x)+lnxf'(x)<0，
即函数g(x)在(0,+∞)上为减函数，又由g(1)=ln1⋅f(x)=0，
则在区间(0,1)上，g(x)=lnx⋅f(x)>0，又由lnx<0，则f(x)<0，
在区间(1,+∞)上，g(x)=lnx⋅f(x)<0，又由lnx>0，则f(x)<0，
则f(x)在(0,1)和(1,+∞)上，f(x)<0，
而x=1时，g(1)=ln1⋅f(x)=0，故f(x)也可小于0，
又由f(x)为奇函数，则在区间(-1,0)和(-∞,-1)上，都有f(x)>0，
(x2-4)f(x)>0⇒f(x)>0x2-4>0或f(x)<0x2-4<0，
解可得：x<-2或00)，对g(x)求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得g(x)在(0,+∞)上为减函数，分析g(x)的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间(0,1)和(1,+∞)上，都有f(x)<0，结合函数的奇偶性可得在区间(-1,0)和(-∞,-1)上，都有f(x)>0，进而将不等式变形转化，解可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析f(x)>0与f(x)<0的解集．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
2. 已知向量a与b的夹角为60∘,|a|=2,|b|=6，则2a-b在a方向上的投影为______．
【答案】1
【解析】解：∵向量a与b的夹角为60∘,|a|=2,|b|=6，
∴(2a-b)⋅a=2|a|2-a⋅b=2×22-2×6×12=2，
∴2a-b在a方向上的投影为(2a-b)⋅a|a|=22=1．
故答案为：1．
由已知求出(2a-b)⋅a，然后代入投影概念得答案．
本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影的概念，是中档题．
1. 已知tanα=2，则cos2α+sin2α=______．
【答案】1
【解析】解：∵tanα=2，
∴cos2α+sin2α=cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=1+2tanα1+tan2α=1+2×21+22=1．
故答案为：1．
由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．
2. 递增数列{an}满足2an=an-1+an+1，(n∈N*,n>1)，其前n项和为Sn，a2+a8=6，a4a6=8，则S10=______．
【答案】35
【解析】解：∵2an=an-1+an+1，(n∈N*,n>1)，
∴数列{an}为等差数列，
又a2+a8=6，∴2a5=6，解得：a5=3，
又a4a6=(a5-d)(a5+d)=9-d2=8，
∴d2=1，解得：d=1或d=-1(舍去)
∴an=a5+(n-5)×1=3+(n-5)=n-2．
∴a1=-1，
∴S10=10a1+10×92=35．
故答案为：35．
由2an=an-1+an+1，(n∈N*,n>1)，知列{an}为等差数列，依题意可求得其首项与公差，继而可求其前10项和S10．
本题考查数列的求和，判断出数列{an}为等差数列，并求得an=2n-1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．
3. 对函数f(x)=2sin(12x+π6)-1 (x∈R)，有下列说法：
①f(x)的周期为4π，值域为[-3,1]；
②f(x)的图象关于直线x=2π3对称；
③f(x)的图象关于点(-π3,0)对称；
④f(x)在(-π,2π3)上单调递增；
⑤将f(x)的图象向左平移π3个单位，即得到函数y=2cos12x-1的图象．
其中正确的是______.(填上所有正确说法的序号)．
【答案】①②④
【解析】解：对函数f(x)=2sin(12x+π6)-1 (x∈R)，他的周期为2π12=4π，值域为[-3,1]，故①正确．
当x=2π3时，f(x)=1，为最大值，故f(x)的图象关于直线x=2π3对称，故②正确．
当x=-π3时，f(x)=-1，不是函数的最值，故故f(x)的图象不关于直线x=2π3对称，故③错误．
在(-π,2π3)上，12x+π6∈(-π3,π2)，故f(x)=2sin(12x+π6)单调递增，故f(x)在(-π,2π3)上单调递增，故④正确．
将f(x)的图象向左平移π3个单位，即可得到函数y=2sin[12(x+π3)+π6]=2sin(12x+π3)的图象，故⑤错误，
故答案为：①②④．
由条件利用正弦函数的图象和性质以及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，从而得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=-13，c=3,sinA=6sinC．
(1)求a的值；
(2)若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．
【答案】解：(1)∵cos2A=1-2sin2A=-13，且 01)，
∴当k≤0时，f'(x)>0，∴函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增；
当k>0时，令1x-1-k>0，则11+1k，∴函数f(x)在区间(1+1k,+∞)上单调递减．
综上，当k≤0时，函数f(x)单调递增区间为(1,+∞)；
当k>0时，函数f(x)单调递增区间为(1,1+1k)，单调递减区间为(1+1k,+∞)．
(2)由(1)知：当k>0时，函数f(x)的最大值为：f(1+1k)=ln1k=-lnk．
∵f(x)≤0恒成立，
∴-lnk<0，
∴k>1．
【解析】本题(1)先求出函数的导函数，利用导函数值的正负，研究函数的单调性，注意要分类研究；(2)要使 f(x)≤0恒成立，就要求函数的最大值小于0，利用(1)的结论，得到求出函数最大值，得到相应的不等关系，解不等式，得到本题结论．
本题考查了导数与函数的单调性、最值和恒成立问题，本题难度不大，属于基础题．
2. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为y=2+tsinαx=1+tcosα(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位)，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ=6sinθ．
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)若点P(1,2)，设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．
【答案】解：(Ⅰ)由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，
化为直角坐标方程为x2+y2=6y，
即x2+(y-3)2=9．
(Ⅱ)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得t2+2(cosα-sinα)t-7=0．
由△=(2cosα-2sinα)2+4×7>0，
故可设t1，t2是上述方程的两根，
所以t1⋅t2=-7t1+t1=-2(cosα-sinα)，
又直线l过点(1,2)，
故结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2
=4(cosα-sinα)2+28=32-4sin2α≥32-4=27．
所以|PA|+|PB|的最小值为27．
【解析】(I)利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C极坐标方程化为直角坐标方程；
(II)先根据(I)得出圆C的普通方程，再根据直线与交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义，表示出|PA|+|PB|，最后根据三角函数的性质，即可得到求解最小值．
此题主要考查参数方程的优越性，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度．
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