高考数学模拟试卷 (11) 12页

- 1 - 2018 届高三模拟考试数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共 60 分）(11) 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.复数 ( 1 3 )(1 )z i i    在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.若 1~ (5, )5X B ，则（ ） A． ( ) 1E X  且 4( ) 5D X  B． 1( ) 5E X  且 ( ) 1D X  C． ( ) 1E X  且 1( ) 5D X  D． 4( ) 5E X  且 ( ) 1D X  3.设集合  2| 6 7 0A x x x    ，  |B x x a  ，现有下面四个命题： 1p ： a R  ， A B   ； 2p ：若 0a  ，则 ( 7, )A B    ； 3p ：若 ( ,2)R B  ð ，则 a A ； 4p ：若 1a   ，则 A B ． 其中所有的真命题为（ ） A． 1p ， 4p B． 1p ， 3p ， 4p C． 2p ， 3p D． 1p ， 2p ， 4p 4.若双曲线 2 2 2 19 y x a   （ 0a  ）的一条渐近线与直线 1 3y x 垂直，则此双曲线的实轴长为 （ ） A． 2 B． 4 C．18 D．36 5.若 1sin(2 ) 6    ， 1sin(2 ) 2    ，则sin cos cos    （ ） A． 2 3 B． 1 3 C． 1 6 D． 1 12 6.执行如图所示的程序框图，则输出的 x  （ ） - 2 - A．6 B．7 C．8 D．9 7.函数 4 ( ) 4 4x x xf x   的大致图象为（ ） 8.某几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（ ） A．56 B．176 3 C． 88 3 D．88 - 3 - 9.已知 F 是椭圆C ： 2 2 19 5 x y  的左焦点， P 为C 上一点， 4(1, )3A ，则| | | |PA PF 的最 小值为（ ） A．10 3 B．11 3 C． 4 D．13 3 10.已知函数 ( ) 2sin( ) 23 6f x x    ，若对任意的 [1,2)a ，关于 x 的方程 ( ) 2f x a  （ 0 x m  ）总有两个不同的实数根，则 m 的取值范围为（ ） A． 6,8 B． 2,6 C． (6,8] D． (2,6] 11.在 ABC 中， 3 6AB AC  ， tan 3A   ，点 D ， E 分别是边 AB ， AC 上的点，且 3DE  ，记 ADE ，四边形 BCED 的面积分别为 1S ， 2S ，则 1 2 S S 的最大值为（ ） A． 1 4 B． 3 8 C． 1 3 D． 5 12 12.若函数 1( ) ( 2) lnxf x a x e x x     在 (0,2) 上存在两个极值点，则 a 的取值范围为（ ） A． 2 1( , )4e   B． 2 1 1( , ) (1, )4e e   C． 1( , )e   D． 2 1 1 1( , ) ( , )4e e e     第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 8( )2 ba  的展开式中 5 3a b 的系数为 ． 14.在菱形 ABCD 中， 60BAD   ， 2AB  ，E 为CD 的中点，则 BA AE   ． 15.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈， 袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体（记为 1 1 1 1ABCD A B C D ） 的粮仓，宽 3 丈（即 3AD  丈），长 4 丈 5 尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已 知 1 斛粟的体积为 2.7 立方尺，一丈为 10 尺，则下列判断正确的是 ．（填写所有 正确结论的编号） ①该粮仓的高是 2 丈； ②异面直线 AD 与 1BC 所成角的正弦值为 3 13 13 ； - 4 - ③长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的外接球的表面积为133 4  平方丈． 16.设 x ， y 满足约束条件 2 3 0, 2 2 1 0, 0, x y x y x a           若 x y x y   的最大值为 2，则 z x y  的最小值 为 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知正项数列 3 n n a    是公差为 2 的等差数列，且 1a ，9 ， 2a 成等比数列． （1）求数列 na 的通项公式； （2）求数列 na 的前 n 项和 nS ． 18.从某小区抽取 50 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50 至 350 度之间，将用电 量的数据绘制成频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中 x 的值并估计这 50 户用户的平均用电量； （2）若将用电量在区间[50,150) 内的用户记为 A 类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间 [250,350) 内的用户记为 B 类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让 其对供电服务进行打分，并将打分数据绘制成茎叶图如图所示： ①从 B 类用户中任意抽取 3 户，求恰好有 2 户打分超过 85 分的概率； - 5 - ②若打分超过 85 分视为满意，没超过 85 分视为不满意，请填写 2 2 列联表，并根据列联表 判断是否有95% 的把握认为“满意与否与用电量高低有关”？ 满意 不满意 合计 A 类用户 B 类用户 合计 附表及公式： 2 0( )P K k 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ， n a b c d    ． 19.如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1 2AC AA  ，D 为棱 1CC 的中点，G 为棱 1AA 上 一点， 1 1AB A B O ． （1）确定G 的位置，使得平面 1C OG / / 平面 ABD ，并说明理由； （2）设二面角 D AB C  的正切值为 2 2 ， AC BC ，E 为线段 1A B 上一点，且CE 与平 面 ABD 所成角的正弦值为 2 2 3 ，求线段 BE 的长． 20.已知点 0 1( , )2A y 是抛物线 C ： 2 12 ( )2x py p  上一点，且 A 到C 的焦点的距离为 5 8 ． （1）若直线 2y kx  与C 交于 1B ， 2B 两点，O 为坐标原点，证明： 1 2OB OB ； - 6 - （2）若 P 是C 上一动点，点 P 不在直线l ： 02 9y x y  上，过 P 作直线垂直于 x 轴且交l 于 点 M ，过 P 作l 的垂线，垂足为 N ．试判断 2| | | | AN AM 与 2| | | | AM AN 中是否有一个为定值？若是， 请指出哪一个为定值，并加以证明；若不是，请说明理由． 21.已知函数 3 2( ) 6f x x x ax b    （ a ，b R ）的图象在与 x 轴的交点处的切线方程为 9 18y x  ． （1）求 ( )f x 的解析式； （2）若 21 ( 2) ( ) 910 kx x f x x k    对 (2,5)x 恒成立，求 k 的取值范围． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 22 1, 2 1 x t y t       （t 为参数）．以直角坐标系的原点 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为 (2sin cos ) m    ． （1）求曲线C 的普通方程； （2）若l 与曲线C 相切，且l 与坐标轴交于 A ， B 两点，求以 AB 为直径的圆的直角坐标方 程． 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 3 1| | 2 1|f x x x a     . （1）求不等式 ( )f x a 的解集； （2）若恰好存在 4 个不同的整数 n ，使得 ( ) 0f n  ，求 a 的取值范围． - 7 - 2018 届高三模拟考试数学试卷（理科）答案(11) 一、选择题 1-5: AABCC 6-10: BABDD 11、12：CD 二、填空题 13. 7 14. 4 15.①③ 16. 15 8  三、解答题 17.解：（1）因为数列 3 n n a    是公差为 2 的等差数列，所以 2 1 2 23 3 a a  ，则 2 13 18a a  ， 又 1a ，9 ， 2a 成等比数列，所以 2 1 2 1 1(3 18) 9a a a a   ， 解得 1 3a  或 1 9a   ， 因为数列 3 n n a    为正项数列，所以 1 3a  ， 所以 3 2( 1) 2 13 3 n n a n n     ， 故 (2 1) 3n na n   ． （2）由（1）得 21 3 3 3 (2 1) 3n nS n       … ， 所以 2 3 13 1 3 3 3 (2 1) 3 n nS n        … ， 所以 2 3 12 3 2 (3 3 3 ) (2 1) 3n n nS n          … 2 13 3 33 2 (2 1) 31 3 n nn        1(2 2 ) 3 6nn     ， 故 1( 1) 3 3n nS n     ． 18.解：（1） 1 (0.006 0.0036 0.0024 2 0.0012) 0.004450x        ， 按用电量从低到高的六组用户数分别为 6,9,15,11,6,3， 所以估计平均用电量为 6 75 9 125 15 175 11 225 6 275 3 325 18650             度． （2）① B 类用户共 9 人，打分超过 85 分的有 6 人，所以从 B 类用户中任意抽取 3 户，恰好 - 8 - 有 2 户打分超过 85 分的概率为 2 1 6 3 3 9 15 28 C C C  ． ② 因为 2K 的观测值 224 (6 9 6 3) 1.6 3.84112 12 9 15k         ， 所以没有95% 的把握认为“满意与否与用电量高低有关”． 19.解：（1）G 为棱 1AA 的中点． 证明如下： ∵四边形 1 1ABB A 为平行四边形，∴ O 为 1A B 的中点，∴ / /OG AB ． ∵ / /AG 1C D ，∴四边形 1ADC G 为平行四边形，则 1 / /C G AD ． 又 1OG C G G ，∴平面 1 / /C OG 平面 ABD ． （2）过C 作CH AB 于 H ，连接 DH ，则 DHC 即为二面角 D AB C  的平面角． ∵ 1DC  ， 2tan 2DHC  ，∴ 2CH  ． 又 2AC  ， AC BC ，∴ 2BC  ． 以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz ，如图所示，则 (2,0,0)A ， (0,2,0)B ， (0,0,1)D ， 1(2,0,2)A ， 则 ( 2,2,0)AB   ， (0, 2,1)BD   ，设平面 ABD 的法向量 ( , , )n x y z ， 则 0AB n BD n       ，即 2 2 2 0x y y z      ，令 1y  ，得 (1,1,2)n  ， 设 1(0 1)BE BA     ，∵ 1 (2, 2,2)BA   ，∴ 1CE CB BA    (2 ,2 2 ,2 )    ， - 9 - ∴CE 与平面 ABD 所成角的正弦值为 2 4 2 2 2| cos , | 36 12 8 4 CE n             ， ∴ 236 44 13 0    ，∴ 1 2   或13 18 ， 又 1 2 3BA  ，∴ 3BE  或13 3 9 ． 20.解：（1）依题意得 0 0 12 ,4 5 ,2 8 py py      ∴ 1 5 8 2 8 p p   ， ∵ 1 2p  ，∴ 1p  ，故C 的方程为 2 2x y ． 由 2 2 , 2, x y y kx      得 2 2 4 0x kx   ， 设 1 1 1( , )B x y ， 2 2 2( , )B x y ，则 1 2 4x x   ， 2 1 2 1 2 ( ) 44 x xy y   ， ∴ 1 2 0OB OB   ，∴ 1 2OB OB ． （2）由（1）知， 0 1 8y  ，故l 的方程为 92 8y x  ， 设 2 ( , )2 mP m （ 1 2m   且 9 2m  ），则 M 的横坐标为 m ，易知 A 在l 上，则 - 10 - 1| | 5 | |2AM m  ． 由题可知 PN ： 2 1 ( )2 2 my x m    ，与 92 8y x  联立可得 21 9( )5 4Nx m m   ， 所以 2 21 9 1 5 1| | 5 | ( ) | ( )5 4 2 5 2AN m m m      ， 则 2 3| | 5 1| ( ) || | 25 2 AN mAM   不是定值， 2| | 5 5| | AM AN  为定值． 21.解：（1）由 9 18 0x   ，得 2x  ，∴切点为 (2,0) ， ∵ 2'( ) 3 12f x x x a   ，∴ '(2) 12 9f a   ，∴ 21a  ， 又 (2) 8 24 2 0f a b     ，∴ 26b   ， 3 2( ) 6 21 26f x x x x    ． （2）由 ( ) 9f x x k  ，得 3 2( ) 9 6 12 26k f x x x x x      ， 设 3 2( ) 6 12 26g x x x x    ， 2 2'( ) 3( 4 4) 3( 2) 0g x x x x      对 (2,5)x 恒成立， ∴ ( )g x 在 (2,5) 上单调递增，∴ (5) 9k g  ． ∵ 3 2 3( ) 6 12 8 9( 2) ( 2) 9( 2)f x x x x x x x          ， ∴由 21 ( 2) ( )10 kx x f x  对 (2,5)x 恒成立得 1 2 9 10 ( 2) xk x x x    2 13 21 2 x x x    对 (2,5)x 恒成立， 设 2 13 2( ) 1 2 xh x x x    （ 2 5x  ）， 2 2 2 13 13'( ) ( 2) x xh x x x    ， 当 2 5x  时， 2 13 13 0x x   ，∴ '( ) 0h x  ，∴ ( )h x 单调递减，∴ 1 6(5)10 5k h  ，即 12k  ． 综上， k 的取值范围为 9,12 ． 22.解：（1）由 2 1y t  ，得 1 2 yt  ， 2 212 1 2( ) 12 yx t     ，即 2( 1) 2( 1)y x   ， 故曲线C 的普通方程为 2( 1) 2( 1)y x   ． - 11 - （2）由 (2sin cos ) m    ，当 2y x m  ， 联立 2( 1) 2( 1), 2 , y x y x m        得 2 2 2 1 0y y m    ， 因为l 与曲线C 相切，所以 4 4(2 1) 0m     ， 1m  ， 所以l 的方程为 2 1y x  ，不妨假设 1(0, )2A ，则 ( 1,0)B  ，线段 AB 的中点为 1 1( , )2 4  ． 所以 5| | 2AB  ，又OA OB ， 故以 AB 为直径的圆的直角坐标方程为 2 2 21 1 5( ) ( ) ( )2 4 4x y    ． 23.解：（1）由 ( )f x a ，得| 3 1| | 2 1|x x   ， 不等式两边同时平方，得 2 29 6 1 4 4 1x x x x     ， 即 25 10x x ，解得 0x  或 2x  ， 所以不等式 ( )f x a 的解集为 ( ,0) (2, )  ． （2）设 12 , ,2 1 1( ) | 3 1| | 2 1| 5 , ,2 3 12, .3 x x g x x x x x x x                  作出 ( )g x 的图象，如图所示， 因为 (0) (2) 0g g  ， (3) (4) 2 ( 1) 3g g g     ， 又恰好存在 4 个不同的整数 n ，使得 ( ) 0f n  ， 所以 (3) 0, (4) 0, f f    即 1 0, 2 0, a a      故 a 的取值范围为[ 2, 1)  ． - 12 -