江苏省南京市13校2019届高三数学12月联合调研测试试题（含解析） 16页

高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎2019届高三12月联合调研测试 数学试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.全集，集合，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的基本运算，先求出A∩B，再求其补集即可．‎ ‎【详解】∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3,4}，B＝{3，5}，∴A∩B＝{3}，‎ 则∁U（A∩B）＝{1，2，4，5}，‎ 故答案为：{1，2，4，5}．‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集的基本运算，属于基础题．‎ ‎2.复数（为虚数单位）的模为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数代数形式的乘除运算化简，再利用模的公式计算即可．‎ ‎【详解】∵∴复数的模为 ．‎ 故答案为： ．‎ ‎【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题．‎ ‎3.在平面直角坐标系中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，∴.‎ 考点：双曲线的标准方程及其几何性质.‎ ‎4.已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是_______.‎ ‎【答案】‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出从4瓶饮料中随机抽出2瓶的所有的抽法种数，再求出取出的2瓶不是果汁类饮料的种数，利用对立事件的概率即可求得.‎ ‎【详解】从4瓶饮料中随机抽出2瓶，所有的抽法种数为 ＝6（种），‎ 取出的2瓶不是果汁类饮料的种数为 ＝1（种）．‎ 所以所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为P＝1﹣＝ ．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了对立事件的概率，解答的关键是掌握对立事件的概率和等于1,属于基础题.‎ ‎5.如图程序运行的结果是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：初始条件，；运行第一次，，；运行第二次，，；运行第三次，，．满足条件，停止运行，所以输出的，所以答案应填：．‎ 考点：程序框图．‎ ‎6.如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在内的频数为 ．‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】‎ 试题分析：样本数据落在内的频率为，所以样本数据落在内的频数为.‎ 考点：频率分布直方图.‎ ‎7.设等比数列的前项积为，若，则的值是_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由P12=32P7，得a8•a9•…•a12=32，再利用等比数列的性质，可求a10．‎ ‎【详解】∵等比数列{an}的前n项积为Pn，且P12=32P7，∴a1•a2•a3•…•a12=32a1•a2•a3•…•a7， ‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 即a8•a9•…•a12=32，由等比数列的性质，得（a10）5=32，解得a10=2． 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列{an}的前n项积，考查等比数列的性质，属于基础题．‎ ‎8.已知直线、与平面、，，，则下列命题中正确的是_______（填写正确命题对应的序号）. ‎ ‎①若，则 ②若，则 ‎③若，则 ④若，则 ‎【答案】③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①②列举反例，③利用面面垂直的判定定理，④利用面面垂直的性质定理，即可判断．‎ ‎【详解】①如图所示，设α∩β＝c，l∥c，m∥c满足条件，但是α与β不平行，故①不正确；‎ ‎②假设α∥β，l′⊂β，l′∥l，l′⊥m，则满足条件，但是α与β不垂直，故②不正确；‎ ‎③由面面垂直的判定定理，若l⊥β，则α⊥β，故③正确；‎ ‎④若α⊥β，α∩β＝n，由面面垂直的性质定理知，m⊥n时，m⊥α，故④不正确．‎ 综上可知：只有③正确．‎ 故答案为：③．‎ ‎【点睛】熟练掌握线面、面面垂直与平行的判定与性质定理是解题的关键．否定一个命题，只要举出一个反例即可，属于中档题．‎ ‎9.已知，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二倍角公式和同角三角函数基本关系可得cos2θ和sin2θ，代入sin（2θ﹣）＝sin2θ﹣cos2θ，计算可得．‎ ‎【详解】∵cos（θ+）＝﹣ ，且θ∈（0，），∴θ+∈（，），sin（θ+）＝，‎ ‎∴sin2θ＝﹣cos（2θ+）＝1﹣2 ＝，‎ cos2θ＝sin2（θ+）＝2sin（θ+）cos（θ+）＝﹣，‎ sin（2θ﹣）＝sin2θcos﹣cos2θsin＝，‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及二倍角公式和同角三角函数基本关系，属于中档题．‎ ‎10.在等腰三角形中，底边，，，若，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由 ，得D是AC的中点，利用已知条件求出BA的长度，求出cosB，即可的值．‎ ‎【详解】因为⇒D是AC的中点⇒ ，‎ 且⇒‎ 所以 ，因为在等腰三角形中，底边，得AB= ‎ 所以cosB＝ = ．且 所以＝ = ‎ ‎＝2• •﹣×5＝2﹣ ＝﹣ ．‎ 故答案为：﹣ ．‎ ‎【点睛】本题考查了向量加减法的几何中的应用和平面向量的数量积的应用，也考查计算能力，属于基础题.‎ ‎11.已知，若过轴上的一点可以作一直线与相交于，两点，且满足，则的取值范围为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的方程，可得M（1，4）且半径为2，由PA＝BA，利用圆的几何性质得动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4，由此建立关于a的不等式，解得即可．‎ ‎【详解】∵圆M：（x﹣1）2+（y﹣4）2＝4，∴圆心为M（1，4），半径r＝2，直径为4，故弦长BA的范围是（0，4]．又∵PA＝BA，∴动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4，‎ ‎∵圆与x轴相离，可得P到圆上的点的距离恒大于0．‎ ‎∴P到M的距离小于或等于6，根据两点间的距离公式有： ，‎ 解之得1﹣2≤a≤1+2，即a的取值范围为[1﹣2，1+2]‎ 故答案为：[1﹣2，1+2]‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，两点间的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，转化为数形结合的数学思想，属于中档题．‎ ‎12.如图,在三棱锥中,、、两两垂直,且.设是底面内一点,定义,其中、、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体积.若,且恒成立,则正实数的最小值为________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．∴=+x+y 即x+y=则2x+2y=1，又，解得a≥1‎ ‎∴正实数a的最小值为1‎ ‎13.已知的三边长，，成等差数列，且，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】 .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由a，b，c成等差数列，设公差为d，则有a＝b﹣d，c＝b+d，代入已知等式求出b的最大值,由三角形三边关系列出不等式，整理后求出b的范围，即可确定出满足题意b的范围．‎ ‎【详解】设公差为d，则有a＝b﹣d，c＝b+d，代入a2+b2+c2＝63，化简可得3b2+2d2＝63，‎ 当d＝0时，b有最大值为 ，‎ 由三角形任意两边之和大于第三边，得到较小的两边之和大于最大边，即a+b＞c，‎ 整理得：b＞2d，‎ 可得：3b2+2（）2＞63，解得：b＞3 ，则实数b的取值范围是（3，]．‎ 故答案为：（3，]．‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题.‎ ‎14.已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，，又函数.若，，使成立，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数f（x）在[0，2）上的解析式，可得函数f（x）在[0，2）上的最值，结合a 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 级类周期函数的含义，可得f（x）在[6，8]上的最大值，对于函数g（x），对其求导分析可得g（x）在区间（0，+∞）上的最小值，将原问题转化为g（x）min≤f（x）max的问题求解．‎ ‎【详解】根据题意，对于函数，当时，，可得：当时，，有最大值，最小值，当时，，函数的图像关于直线对称，则此时有，‎ 又由函数是定义在区间内的2级类周期函数，且；‎ 则在上，，则有，‎ 则 ，‎ 则函数在区间上的最大值为8，最小值为0；‎ 对于函数，有 ，‎ 得在上，，函数为减函数，‎ 在上，，函数为增函数，‎ 则函数在上，由最小值.‎ 若，，使成立，‎ 必有，即，解可得，即的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的最值问题，数学转化思想方法，利用了导数求函数的最值，属于中档题．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1，0)，＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）若x＝π，设点D为线段OA上的动点，求的最小值和最大值；‎ ‎（Ⅱ）若，向量＝，＝(1－cosx，sinx－2cosx)，求的最小值及对应的x值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ），此时.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ） 设（），又 所以 所以 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 所以当时，最小值为 ‎（Ⅱ）由题意得,‎ 则 因为,所以 所以当，即时，取得最大值 所以时，取得最小值 所以的最小值为，此时.‎ 考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量的综合题．‎ 点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．‎ ‎16.如图，在正三棱柱中，点在棱上，,点分别是的中点.‎ ‎（1）求证：为的中点；‎ ‎（2）求证:平面.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）要证为的中点，又AB=AC，即证ＡＤ⊥ＢＣ即可；‎ ‎（２）连接，连接交于点，连接，由（１）易证，从而问题得证．‎ 试题解析：‎ ‎（1） 正三棱柱， 平面，‎ 又平面， ，又，‎ ‎ 平面， ‎ 又正三棱柱，‎ 平面 平面， ，为的中点． ‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎（2） 连接，连接交于点，连接 ‎ 矩形， 为的中点，‎ 又由(1)得为的中点，‎ ‎△中， ‎ 又点，分别是，的中点，‎ ‎△中，， ，‎ 又平面，平面 ‎ 平面 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎17.某校在圆心角为直角，半径为的扇形区域内进行野外生存训练.如图所示，在相距的，两个位置分别为300,100名学生，在道路上设置集合地点，要求所有学生沿最短路径到点集合，记所有学生进行的总路程为.‎ ‎（1）设，写出关于的函数表达式；‎ ‎（2）当最小时，集合地点离点多远？‎ ‎【答案】（1），‎ ‎（2）集合地点离出发点的距离为时，总路程最短，其最短总路程为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）△AOD中，由正弦定理求得AD、OD，再计算S＝300AD+100BD的值；‎ ‎（2）令函数y＝，求导判断函数单调性与最值，从而求出y的最小值以及对应AD的值和S的最小值．‎ ‎【详解】（1）因为在中，，，所以由正弦定理可知，‎ 解得，，且，‎ 故 ，‎ ‎（2）令，则有，令得 记，，列表得 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 可知，当且仅当时，有极小值也是最小值为，‎ 当时，此时总路程有最小值.‎ 答：当集合点离出发点的距离为时，总路程最短，其最短总路程为.‎ ‎【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．‎ ‎18.如图，、分别为椭圆的焦点，椭圆的右准线与轴交于点，若，且.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过、作互相垂直的两直线分别与椭圆交于、、、四点，求四边形面积的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I） 先确定A点坐标为（a2，0），利用，可得F2是AF1的中点，由此可求椭圆方程；（II）当直线MN与PQ中有一条与x轴垂直时，四边形PMQN面积；当直线PQ，MN均与x轴不垂直时，设直线PQ、MN的方程与椭圆方程联立，求得|PQ|，|MN|，表示出四边形PMQN面积，再换元，即可求得四边形PMQN面积的取值范围．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由得，∴点坐标为；∵∴是的中点∴，∴椭圆方程为 ‎（Ⅱ）当直线与之一与轴垂直时，四边形面积；‎ 当直线，均与轴不垂直时，不妨设，‎ 联立代入消去得 设，则，‎ ‎∴，同理 ‎∴四边形面积 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 令，则，，易知是以为变量的增函数 所以当，时，，∴‎ 综上可知，，∴四边形面积的取值范围为 ‎【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系和四边形面积的计算，正确表示四边形的面积是关键，属于中档题.‎ ‎19.已知函数，，设.‎ ‎（Ⅰ）若在处取得极值，且，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若时函数有两个不同的零点、.‎ ‎①求的取值范围；②求证：.‎ ‎【答案】（1）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.（2）①（，0）②详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先确定参数：由可得a=b-3. 由函数极值定义知所以a=" -2,b=1" .再根据导函数求单调区间（2）①当时，，原题转化为函数与直线有两个交点，先研究函数图像，再确定b的取值范围是（，0）.‎ ‎②，由题意得,所以，因此须证，构造函数，即可证明 试题解析：（1）因为，所以,‎ 由可得a=b-3.‎ 又因为在处取得极值，‎ 所以，‎ 所以a=" -2,b=1" . ‎ 所以，其定义域为（0，+）‎ 令得，‎ 当（0,1）时，，当（1,+），‎ 所以函数h（x）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.‎ ‎（2）当时，，其定义域为（0，+）.‎ ‎①由得，记，则,‎ 所以在单调减，在单调增，‎ 所以当时取得最小值.‎ 又，所以时，而时,‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 所以b的取值范围是（，0）.‎ ‎②由题意得,‎ 所以,‎ 所以，不妨设x1