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- 2021-06-23 发布
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第
2
课时 等差数列的性质及应用
激趣诱思
知识点拨
《九章算术》是我国古代的数学名著
,
书中有如下问题
:“
今有五人分五钱
,
令上二人所得与下三人等
,
问各得几何
?”
其意思为
“
已知甲、乙、丙、丁、戊五人分
5
钱
,
甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同
,
且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列
.
问五人各得多少钱
?”(“
钱
”
是古代的一种质量单位
)
激趣诱思
知识点拨
一、等差数列与一次函数的
关系
激趣诱思
知识点拨
微练习
若
{
a
n
}
为等差数列
,
a
p
=q
,
a
q
=p
(
p
≠
q
),
则
a
p+q
为
(
)
A.
p+q
B.0
C.
-
(
p+q
)
解析
:
设图象过点
(
p
,
q
)
和
(
q
,
p
)
的一次函数为
y=kx+b
,
则
所以
图象过点
(
p
,
q
)
和
(
q
,
p
)
的一次函数为
y=-x+
(
p+q
),
由等差数列和一次函数的关系可知
a
n
=-n+
(
p+q
),
所以
a
p+q
=-
(
p+q
)
+
(
p+q
)
=
0
.
答案
:
B
激趣诱思
知识点拨
二、等差数列的常用
性质
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)
等差数列
{
a
n
}
中
,
若
m+n=
2
p
,
则
a
m
+a
n
=
2
a
p
(
m
,
n
,
p
∈
N
*
)
.
(2)
等差数列
{
a
n
}
中
,
若
m+n+t=p+q+r
,
则
a
m
+a
n
+a
t
=a
p
+a
q
+a
r
(
m
,
n
,
t
,
p
,
q
,
r
∈
N
*
)
.
(3)
等差数列
{
a
n
}
中
,
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)
判断正误
.
①
在等差数列的通项公式中
,
a
n
是关于
n
的一次函数
.
(
)
②
在等差数列
{
a
n
}
中
,
若
a
m
+a
n
=a
p
+a
q
,
则
m+n=p+q.
(
)
③
等差数列去掉前面连续的若干项后
,
剩下的项仍构成等差数列
.
(
)
④
摆动数列不可能是等差数列
.
(
)
⑤
在等差数列
{
a
n
}
中
,
若
m+n=p
,
则
a
m
+a
n
=a
p
.
(
)
⑥
在等差数列
{
a
n
}
中
,
若
m+n+p=
3
t
,
则
a
m
+a
n
+a
p
=
3
a
t
.
(
)
答案
:
①
×
②
×
③
√
④
√
⑤
×
⑥
√
激趣诱思
知识点拨
(2)
在等差数列
{
a
n
}
中
,
若
a
5
=
7,
a
9
=
19,
则
a
2
+a
12
=
,
a
7
=
.
解析
:
a
2
+a
12
=a
5
+a
9
=
7
+
19
=
26
.
因为
a
5
+a
9
=
2
a
7
=
26,
所以
a
7
=
13
.
答案
:
26
13
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等差数列性质的应用
例
1
(1)
已知等差数列
{
a
n
},
a
5
=
10,
a
15
=
25,
求
a
25
的值
;
(2)
已知等差数列
{
a
n
},
a
3
+a
4
+a
5
+a
6
+a
7
=
70,
求
a
1
+a
9
的值
;
(3)
已知数列
{
a
n
},{
b
n
}
都是等差数列
,
且
a
1
=
2,
b
1
=-
3,
a
7
-b
7
=
17,
求
a
19
-b
19
的值
.
分析
:
利用等差数列的性质解决各个问题
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解
:
(1)(
方法
1)
设
{
a
n
}
的公差为
d
,
(
方法
2)
因为
5
+
25
=
2
×
15,
所以在等差数列
{
a
n
}
中有
a
5
+a
25
=
2
a
15
,
从而
a
25
=
2
a
15
-a
5
=
2
×
25
-
10
=
40
.
(
方法
3)
因为
5,15,25
成等差数列
,
所以
a
5
,
a
15
,
a
25
也成等差数列
,
因此
a
25
-a
15
=a
15
-a
5
,
即
a
25
-
25
=
25
-
10,
解得
a
25
=
40
.
(2)
由等差数列的性质
,
得
a
3
+a
7
=a
4
+a
6
=
2
a
5
=a
1
+a
9
,
所以
a
3
+a
4
+a
5
+a
6
+a
7
=
5
a
5
=
70,
于是
a
5
=
14,
故
a
1
+a
9
=
2
a
5
=
28
.
(3)
令
c
n
=a
n
-b
n
,
因为
{
a
n
},{
b
n
}
都是等差数列
,
所以
{
c
n
}
也是等差数列
,
设其公差为
d
,
由已知
,
得
c
1
=a
1
-b
1
=
5,
c
7
=
17,
则
5
+
6
d=
17,
解得
d=
2,
故
a
19
-b
19
=c
19
=
5
+
18
×
2
=
41
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
求等差数列基本运算的两种方法
一是利用基本量运算
,
借助于
a
1
,
d
建立方程组进行运算
,
这是最基本的方法
;
二是利用性质运算
,
运用等差数列的性质可简化计算
,
往往会有事半功倍的效果
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
(1)
已知数列
{
a
n
}
为等差数列
,
且
a
1
+a
6
+a
11
=
3,
则
a
3
+a
9
=
.
(2)
已知
{
a
n
}
为等差数列
,
a
15
=
8,
a
60
=
20,
则
a
75
=
.
解析
:
(1)
因为数列
{
a
n
}
为等差数列
,
所以
a
1
+a
11
=
2
a
6
,
即
3
a
6
=
3,
解得
a
6
=
1,
故
a
3
+a
9
=
2
a
6
=
2
.
(2)
因为
{
a
n
}
为等差数列
,
所以
a
15
,
a
30
,
a
45
,
a
60
,
a
75
也成等差数列
,
设其公差为
d
,
则
a
15
为首项
,
a
60
为其第
4
项
,
所以
a
60
=a
15
+
3
d
,
即
20
=
8
+
3
d
,
解得
d=
4,
所以
a
75
=a
60
+d=
20
+
4
=
24
.
答案
:
(1)2
(2)24
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等差数列的综合问题
例
2
(1)
设
{
a
n
}
是公差为正数的等差数列
,
若
a
1
+a
2
+a
3
=
15,
a
1
a
2
a
3
=
80,
求
a
11
+a
12
+a
13
的值
;
(2)
已知四个数依次成等差数列
,
且是递增数列
,
这四个数的平方和为
94,
首尾两数之积比中间两数之积少
18,
求此等差数列
.
分析
:
(1)
利用等差数列的性质求解
;(2)
可设这四个数依次为
a-
3
d
,
a-d
,
a+d
,
a+
3
d
进行求解
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解
:
(1)
设
{
a
n
}
的公差为
d
,
∵
a
1
+a
3
=
2
a
2
,
∴
a
1
+a
2
+a
3
=
15
=
3
a
2
,
∴
a
2
=
5
.
又
a
1
a
2
a
3
=
80,{
a
n
}
是公差为正数的等差数列
,
∴
a
1
a
3
=
(5
-d
)(5
+d
)
=
16,
解得
d=
3
或
d=-
3(
舍去
),
∴
a
12
=a
2
+
10
d=
35,
∴
a
11
+a
12
+a
13
=
3
a
12
=
105
.
(2)
设这四个数分别为
a-
3
d
,
a-d
,
a+d
,
a+
3
d
,
则
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
三个数或四个数成等差数列时
,
设未知量的技巧如下
:
(1)
当等差数列
{
a
n
}
的项数
n
为奇数时
,
可先设中间一项为
a
,
再用公差为
d
向两边分别设项
:
…
,
a-
2
d
,
a-d
,
a
,
a+d
,
a+
2
d
,
…
.
(2)
当等差数列
{
a
n
}
的项数
n
为偶数时
,
可先设中间两项为
a-d
,
a+d
,
再以公差为
2
d
向两边分别设项
:
…
,
a-
3
d
,
a-d
,
a+d
,
a+
3
d
,
…
.
这样可减少计算量
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)
已知三个数成等差数列
,
且数列是递增的
,
它们的和为
18,
平方和为
116,
求这三个数
.
答案
:
A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由
①
得
a=
6,
代入
②
得
d=
±
2
.
∵
该数列是递增的
,
∴
d=-
2
舍去
,
∴
d=
2,
∴
这三个数分别为
4,6,8
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等差数列的实际应用
例
3
《九章算术》
“
竹九节
”
问题
:
现有一根
9
节的竹子
,
自上而下各节的容积成等差数列
,
最上面
4
节的容积共
3
升
,
最下面
3
节的容积共
4
升
,
则从上往下数
,
第
5
节的容积为
(
)
分析
:
设出等差数列的首项与公差
,
运用等差数列的知识解决
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析
:
设所构成的等差数列
{
a
n
}
的首项为
a
1
,
公差为
d
,
则
答案
:
B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点
1
.
解答数列实际应用问题的基本步骤
:(1)
审题
,
即仔细阅读材料
,
认真理解题意
;(2)
建模
,
即将已知条件翻译成数学
(
数列
)
语言
,
将实际问题转化成数学问题
;(3)
判型
,
即判断该数列是否为等差数列
;(4)
求解
,
即求出该问题的数学解
;(5)
还原
,
即将所求结果还原到实际问题中
.
2
.
在利用数列方法解决实际问题时
,
一定要弄清首项、项数等关键问题
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
2
第一届现代奥运会于
1896
年在希腊雅典举行
,
以后每
4
年举行一次
,
如因故不能举行
,
届数照算
,
那么
2020
年将在日本东京举行的奥运会是
(
)
A.
第
30
届
B.
第
31
届
C.
第
32
届
D.
第
33
届
解析
:
依题意知举行奥运会的年份构成以
1
896
为首项
,4
为公差的等差数列
,
通项公式为
a
n
=
1
896
+
4(
n-
1),
令
2
020
=
1
896
+
4(
n-
1),
解得
n=
32
.
答案
:
C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等差数列的探索性
问题
(1)
求证
:
数列
{
b
n
}
为等差数列
.
(2)
设
c
n
=
,
试问数列
{
c
n
}
中是否存在三项
,
它们可以构成等差数列
?
若存在
,
求出这三项
;
若不存在
,
说明理由
.
分析
:
(1)
证明
(
b
n+
1
-b
n
)
为常数
;(2)
假设存在三项成等差数列
,
利用等差中项的性质列式推出一个矛盾的结论
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)
解
:
假设数列
{
c
n
}
中存在三项
,
它们可以构成等差数列
.
不妨设为第
p
,
r
,
q
(
p
0
.
∵
a
1
=
1,
且
a
2
+a
6
=a
8
,
∴
2
+
6
d=
1
+
7
d
,
解得
d=
1
.
若
p-q=
10
,
则
a
p
-a
q
=
10
d=
10
.
答案
:
10
4
.
已知直角三角形的三条边的长度成等差数列
,
则它们长度的比等于
.
解析
:
设这个直角三角形的三边长分别为
a-d
,
a
,
a+d
,
根据勾股定理
,
得
(
a-d
)
2
+a
2
=
(
a+d
)
2
,
解得
a=
4
d
,
于是这个直角三角形的三边长分别是
3
d
,4
d
,5
d
,
即这个直角三角形的三边长的比是
3
∶
4
∶
5
.
答案
:
3
∶
4
∶
5
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5
.
某公司
2017
年经销一种数码产品
,
获利
200
万元
,
从
2018
年起
,
预计其利润每年比上一年减少
20
万元
.
按照这一规律
,
如果公司不开发新产品
,
也不调整经营策略
,
从哪一年起
,
该公司经销这一产品将出现亏损
?
解
:
记
2017
年为第
1
年
,
由题设可知第
1
年获利
200
万元
,
第
2
年获利
180
万元
,
第
3
年获利
160
万元
,
……
,
则每年获利构成等差数列
{
a
n
},
且当
a
n
<
0
时
,
该公司经销此产品将亏损
.
设第
n
年的利润为
a
n
,
因为
a
1
=
200,
公差
d=-
20
,
所以
a
n
=a
1
+
(
n-
1)
d=
220
-
20
n.
由题意知
,
数列
{
a
n
}
为递减数列
,
令
a
n
<
0,
即
a
n
=
220
-
20
n<
0,
解得
n>
11,
即从第
12
年起
,
也就是从
2028
年开始
,
该公司经销此产品将出现亏损
.
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