【数学】2019届一轮复习北师大版第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第6节学案 14页

第6节 对数与对数函数 最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图像；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.‎ 知 识 梳 理 ‎1.对数的概念 一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数.‎ ‎2.对数的性质、换底公式与运算性质 ‎(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).‎ ‎(2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ‎①loga(MN)＝logaM＋logaN；‎ ‎②loga＝logaM－logaN；‎ ‎③logaMn＝nlogaM(n∈R)；‎ ‎④loga mMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).‎ ‎(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).‎ ‎3.对数函数及其性质 ‎(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).‎ ‎(2)对数函数的图像与性质 a>1‎ ‎01时，y>0；‎ 当01时，y<0；‎ 当00‎ 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 ‎4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称.‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.换底公式的两个重要结论 ‎(1)logab＝；(2)logambn＝logab.‎ 其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.‎ ‎2.在第一象限内，不同底的对数函数的图像从左到右底数逐渐增大.‎ ‎3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图像只在第一、四象限.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)log2x2＝2log2x.( )‎ ‎(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.( )‎ ‎(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( )‎ ‎(4)当x>1时，若logax>logbx，则ab>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 解析 ∵01.‎ ‎∴c>a>b.‎ 答案 D ‎3.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是( )‎ A.a>1，c>1 B.a>1，01 D.00，即logac>0，所以01.‎ 则x＝log2t＝，同理，y＝， ＝.‎ ‎∴2x－3y＝－＝ ‎＝>0，‎ ‎∴2x>3y.‎ 又∵2x－5 ＝－＝ ‎＝<0，‎ ‎∴2x<5 ，∴3y<2x<5 .‎ 答案 (1)－20 (2)D 规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.‎ ‎2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.‎ ‎3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.‎ ‎【训练1】 (1)(2016·浙江卷)已知a>b>1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.‎ ‎(2)(2018·宜春调研)已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为( )‎ A.24 B.16 C.12 D.8‎ 解析 (1)设logba＝t，则t>1，因为t＋＝，‎ 所以t＝2，则a＝b2.‎ 又ab＝ba，所以b2b＝bb2，‎ 即2b＝b2，解得b＝2，a＝4.‎ ‎(2)因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.‎ 答案 (1)4 2 (2)A 考点二 对数函数的图像及应用 ‎【例2】 (1)(2018·郑州一模)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图像大致是( )‎ ‎(2)(2018·衡水调研)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.‎ 解析 (1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，‎ ‎∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，‎ 又函数y＝loga|x|的图像关于y轴对称.‎ 因此y＝loga|x|的图像应大致为选项B.‎ ‎(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图像，其中a表示直线在y轴上截距.‎ 由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点.‎ 答案 (1)B (2)(1，＋∞)‎ 规律方法 1.在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.‎ ‎2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解.‎ ‎【训练2】 (1)(2018·湛江模拟)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图像如图所示，则a，b满足的关系是( )‎ A.01.函数图像与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图像可知－1g(2)＝1，‎ ‎∴f(x)与g(x)的图像的交点个数为2.‎ 答案 (1)A (2)B 考点三 对数函数的性质及应用(多维探究)‎ 命题角度1 比较对数值的大小 ‎【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)若a>b>0，0cb 解析 由y＝xc与y＝cx的单调性知，C，D不正确；‎ ‎∵y＝logcx是减函数，得logca0且a≠1，故必有a2＋1>2a，‎ 又loga(a2＋1)1，∴a>.综上，a∈.‎ 答案 C 命题角度3 对数型函数性质的综合应用 ‎【例3－3】 已知函数f(x)＝loga(3－ax).‎ ‎(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.‎ 解 (1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，‎ 则t(x)＝3－ax为减函数，‎ x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，‎ 当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，‎ 即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立.‎ ‎∴3－2a>0.∴a<.‎ 又a>0且a≠1，∴a∈(0，1)∪.‎ ‎(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，‎ ‎∴函数t(x)为减函数.‎ ‎∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，‎ ‎∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，‎ ‎∴即 故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.‎ 规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.‎ ‎2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.‎ ‎3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.‎ ‎【训练3】 (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )‎ A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b ‎(2)(2018·长春模拟)若函数f(x)＝loga(x2－2x＋a)有最小值，则实数a的值等于________.‎ 解析 (1)a＝log32log22＝1，‎ 所以c最大.‎ 由1，即a>b，‎ 所以c>a>b.‎ ‎(2)令g(x)＝x2－2x＋a，则f(x)＝loga[g(x)].‎ ‎①若a>1，由于函数f(x)有最小值，‎ 则g(x)应有最小值，‎ 而g(x)＝x2－2x＋a＝(x－)2＋a－6，‎ 当x＝时，取最小值a－6，‎ 因此有解得a＝9.‎ ‎②若08”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 log2(2x－3)<1⇔8⇔x>，‎ 所以，‎ 故“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件.‎ 答案 A ‎2.设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )‎ A. B.10 C.20 D.100‎ 解析 由已知，得a＝log2m，b＝log5m，‎ 则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.‎ 解得m＝.‎ 答案 A ‎3.(2018·汉中月考)函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图像大致为( )‎ 解析 由f(2)＝2a＝4，得a＝2.所以g(x)＝|log2(x＋1)|，‎ 则g(x)的图像由y＝|log2x|的图像向左平移一个单位得到，C满足.‎ 答案 C ‎4.(2018·广东省际名校联考)已知f(x)满足对任意x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，且当x≤0时，f(x)＝＋k(k为常数)，则f(ln 5)的值为( )‎ A.4 B.－4 C.6 D.－6‎ 解析 易知函数f(x)是奇函数，故f(0)＝e0＋k＝1＋k＝0，即k＝－1，‎ 所以f(ln 5)＝－f(－ln 5)＝－(eln 5－1)＝－4.‎ 答案 B ‎5.已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则( )‎ A.(a－1)(b－1)<0 B.(a－1)(a－b)>0‎ C.(b－1)(b－a)<0 D.(b－1)(b－a)>0‎ 解析 ∵a>0，b>0且a≠1，b≠1.‎ 由logab>1得loga>0.‎ ‎∴a>1，且>1或0a>1或00.‎ 答案 D 二、填空题 ‎6.lg ＋2lg 2－＝________.‎ 解析 lg ＋2lg 2－＝lg ＋lg 22－2‎ ‎＝lg －2＝1－2＝－1.‎ 答案 －1‎ ‎7.(2018·山西康杰中学联考)设函数f(x)＝lg(x2－x)－lg(x－1)，且f(x0)＝2，则x0＝________.‎ 解析 易知x>1，且f(x)＝lg(x2－x)－lg(x－1)＝lg x，∴f(x0)＝lg x0＝2，则x0＝100.‎ 答案 100‎ ‎8.若函数f(x)＝loga(a>0，a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________.‎ 解析 令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，‎ 又M＝－，因此M的单调递增区间为.‎ 又x2＋x>0，所以x>0或x<－，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).‎ 答案 (0，＋∞)‎ 三、解答题 ‎9.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.‎ ‎(1)求a的值及f(x)的定义域；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值.‎ 解 (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.‎ 由得－1＜x＜3，‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(－1，3).‎ ‎(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)‎ ‎＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，‎ ‎∴当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；‎ 当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，‎ 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.‎ ‎10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)解不等式f(x2－1)>－2.‎ 解 (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x).‎ 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)，‎ 所以函数f(x)的解析式为 f(x)＝ ‎(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，‎ 所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).‎ 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，‎ 所以|x2－1|<4，解得－0且a≠1)是R上的奇函数，则不等式f(x)>aln a的解集是( )‎ A.(a，＋∞)‎ B.(－∞，a)‎ C.当a>1时，解集是(a，＋∞)，当01时，解集是(－∞，a)，当0aln a⇔xln a>aln a.‎ 当a>1时，x>a；当00在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上递减，‎ 则≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，‎ 解得实数a的取值范围是[－4，4).‎ 答案 [－4，4)‎ ‎13.已知函数f(x)＝ln.‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；‎ ‎(2)对于x∈[2，6]，f(x)＝ln>ln恒成立，求实数m的取值范围.‎ 解 (1)由>0，解得x<－1或x>1，‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，‎ 当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，‎ f(－x)＝ln＝ln＝ln ‎＝－ln＝－f(x).‎ ‎∴f(x)＝ln是奇函数.‎ ‎(2)由于x∈[2，6]时，f(x)＝ln>ln恒成立，‎ ‎∴>>0，‎ ‎∵x∈[2，6]，∴0