数学理卷·2018届广东省百校联盟高三第二次联考 11页

广东省百校联盟2018届高三第二次联考 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数满足，则 （ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温 的数据一览表.‎ 椅子该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ）‎ A．最低温与最高温为正相关 B．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加 ‎ C．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月 ‎ D．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 ‎4. 已知命题是的必要不充分条件；命题若，则，则下列命题为真命题的上（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 在中，角的对边分别为，若，且，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则在上的单调递增区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9. 设满足约束条件，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 函数的部分图象大致是（ ）‎ ‎11. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 已知函数，若成立，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设平面向量与向量互相垂直，且，若，则 ．‎ ‎14.在二项式的展开式中，其3项为，则 ．‎ ‎15.如图，是正方体的棱上的一点，且平面，则异面直线与所成角的余弦值为 ．‎ ‎16.已知点是抛物线上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线 的两个公共点，且为等边三角形，则的值是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎（一）必考题（60分）‎ ‎17. 已知正项数列满足，数列的前项和满足.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）求数列 的前项和.‎ ‎18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画，雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已由1300多年的历史，制作工艺蛇粉复杂，它的制作过程中必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程互相独立，某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为，经过第二次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为.‎ ‎（1）求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；‎ ‎（2）经过前后两次烧制后，甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为，求随机变量的数学期望.‎ ‎19.如图，四边形是矩形，平面.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设不与坐标轴平行的直线 交椭圆于两点，，记直线在轴上的截距为，‎ 求的最大值.‎ ‎21.函数 .‎ ‎（1）当时，讨论的单调性；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，且，证明： .‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数）‎ ‎（1）将，的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，若上的点对应的参数为，点上在，点为的中点，‎ 求点到直线距离的最小值.‎ ‎23.已知 .‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: ACBAB 6-10: CBDAD 11、D 12：A 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为，所以，，‎ 因为，所以，所以，‎ 所以是以为首项，为公差的等差数列，‎ 所以，‎ 当时，，当时也满足，所以.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 所以.‎ ‎18.解：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件,‎ ‎（1）设事件表示第一次烧制后恰好有一件合格，‎ 则.‎ ‎（2）因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，‎ 所以随机变量，‎ 所以.‎ ‎19.（1）证明；设交于，‎ 因为四边形是矩形，,‎ 所以,‎ 又，所以,‎ 因为,‎ 所以，又平面.‎ 所以，而，所以平面平面；‎ ‎（2）建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 由题意可得,‎ 则,‎ 设平面的法向量，则，‎ 取，即 设平面的法向量，则，‎ 取，即 设平面与平面所成的二面角为，‎ 则 由图可知二面角为钝角，所以.‎ ‎20.解：（1）因为，所以椭圆的方程为，‎ 把点 的坐标代入椭圆的方程，得，‎ 所以，椭圆的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 联立方程组 得，‎ 由，得，‎ 所以，‎ 所以 ‎ 由，得，‎ 令，所以，‎ ‎，即，‎ 当且仅当，即时，上式取等号，‎ 此时，，满足，‎ 所以的最大值为.‎ ‎21.解：函数的定义域为，‎ ‎（1）令，开口向上，为对称轴的抛物线，‎ 当时，‎ ‎①，即时，，即在上恒成立，‎ ‎②当时，由，得，‎ 因为，所以，当时，，即， ‎ 当或时，，即，‎ 综上，当时，在上递减，‎ 在和上递增，当时，在上递增.‎ ‎（2）若函数有两个极值点且，‎ 则必有，且，且在上递减，在和 上递增，‎ 则，‎ 因为是方程的两根，‎ 所以，即，‎ 要证 ‎ 又 ‎，‎ 即证对恒成立，‎ 设 ‎ 则 当时，，故，‎ 所以在上递增，‎ 故，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎22.解：（1）的普通方程为，‎ 它表示以为圆心，为半径的圆，‎ 的普通方程为，它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆.‎ ‎（2）由已知得，设，则，‎ 直线，点到直线的距离为 ，‎ 所以 ，即到直线的距离的最小值为.‎ ‎23.（1）证明：因为 而，‎ 所以.‎ ‎（2）因为 ，‎ 所以或，‎ 解得，所以的取值范围是.‎