【数学】2018届一轮复习北师大版三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例（理）教案 8页

第七节　三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例 ‎[考纲传真]　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．‎ ‎1．仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图371①)．‎ ‎　　　①　　　　　　　　　　　②‎ 图371‎ ‎2．方位角和方向角 ‎(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图371②)．‎ ‎(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)‎ ‎(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)‎ ‎(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)‎ ‎(4)如图372，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．(　　)‎ 图372‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于(　　)‎ ‎【导学号：57962179】‎ A．10 n mile B. n mile C．5 n mile D．5 n mile D　[如图，在△ABC中，‎ AB＝10，∠A＝60°，‎ ‎∠B＝75°，∠C＝45°，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴BC＝5.]‎ ‎3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)‎ ‎【导学号：57962180】‎ A．北偏东15° B．北偏西15°‎ C．北偏东10° D．北偏西10°‎ B　[如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，‎ ‎∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A在点B的北偏西15°.]‎ ‎4．如图373，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点．在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是(　　)‎ 图373‎ ‎【导学号：57962181】‎ A．100 m B．400 m C．200 m D．500 m D　[设塔高为x m，则由已知可得BC＝x m，BD＝x m，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos ∠BCD，即3x2＝x2＋5002＋500x，解得x＝500(m)．]‎ ‎5．如图374，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　)‎ 图374‎ A．50 m B．25 m C．25 m D．50 m D　[因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知＝，即＝，解得AB＝50 m．]‎ 测量距离问题 ‎　如图375，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) ‎ 图375‎ ‎60　[如图所示，过A作AD⊥CB且交CB的延长线于D.‎ 在Rt△ADC中，由AD＝46 m，∠ACB＝30°得AC＝92 m.‎ 在△ABC中，∠BAC＝67°－30°＝37°，‎ ‎∠ABC＝180°－67°＝113°，AC＝92 m，‎ 由正弦定理＝，得 ＝，即＝，‎ 解得BC＝≈60(m)．]‎ ‎[规律方法]　应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步：‎ ‎(1)根据题意，画出示意图，并标出条件；‎ ‎(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；‎ ‎(3)检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．‎ ‎[变式训练1]　江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.‎ ‎【导学号：57962182】‎ ‎10　[如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，‎ ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，‎ 在△MON中，由余弦定理得，‎ MN＝＝＝10(m)．]‎ 测量高度问题 ‎　(2015·湖北高考)如图376，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.‎ 图376‎ ‎100　[由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.‎ 又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300 m.‎ 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300× ‎＝100(m)．]‎ ‎[规律方法]　1.在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．‎ ‎2．分清已知条件与所求，画出示意图；明确在哪个三角形内运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，并注意综合运用方程、平面几何、立体几何等知识．‎ ‎[变式训练2]　如图377，从某电视塔CO的正东方向的A处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B处测得塔顶的仰角为45°，AB 间的距离为35米，则这个电视塔的高度为________米．‎ 图377‎ ‎5　[如图，可知∠CAO＝60°，∠AOB＝150°，‎ ‎∠OBC＝45°，AB＝35米．‎ 设OC＝x米，则OA＝x米，OB＝x米．‎ 在△ABO中，由余弦定理，‎ 得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos ∠AOB，‎ 即352＝＋x2－x2·cos 150°，‎ 整理得x＝5，‎ 所以此电视塔的高度是5米．]‎ 测量角度问题 ‎　在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长时间？ ‎ ‎[解]　设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD＝10t，BD＝10t.‎ 在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°. 3分 根据余弦定理，可得 BC＝ ‎＝，‎ 由正弦定理，得sin∠ABC＝sin∠BAC＝×＝，∴∠ABC＝45°，因此BC与正北方向垂直. 7分 于是∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD＝＝＝，‎ ‎∴∠BCD＝30°，又＝，‎ 即＝，得t＝.∴当缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花小时. 12分 ‎[规律方法]　解决测量角度问题的注意事项 ‎(1)首先应明确方位角或方向角的含义．‎ ‎(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．‎ ‎(3)将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．‎ ‎[变式训练3]　如图378，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．‎ 图378‎ ‎[解]　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝20. 4分 由正弦定理，得＝⇒sin∠ACB＝·sin∠BAC＝. 8分 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.‎ 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝ ‎－sin∠ACB sin 30°＝. 12分 ‎[思想与方法]‎ 解三角形应用题的两种情形 ‎(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．‎ ‎(2)已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.‎ ‎2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误．‎