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- 2021-06-23 发布
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第3课时 定点、定值、探索性问题
题型一 定点问题
例1 (2016·镇江模拟)已知椭圆+=1(a>0,b>0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P,与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足=λ1,=λ2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若λ1+λ2=-3,试证明:直线l过定点并求此定点.
(1)解 设椭圆的焦距为2c,由题意知b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2,
又a2=b2+c2,∴a2=3.
∴椭圆的方程为+y2=1.
(2)证明 由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),
N(x2,y2),设l方程为x=t(y-m),
由=λ1知(x1,y1-m)=λ1(x0-x1,-y1),
∴y1-m=-y1λ1,由题意y1≠0,∴λ1=-1.
同理由=λ2知λ2=-1.
∵λ1+λ2=-3,∴y1y2+m(y1+y2)=0,①
联立得(t2+3)y2-2mt2y+t2m2-3=0,
∴由题意知Δ=4m2t4-4(t2+3)(t2m2-3)>0,②
且有y1+y2=,y1y2=,③
将③代入①得t2m2-3+2m2t2=0,
∴(mt)2=1,
由题意mt<0,∴mt=-1,满足②,
得直线l方程为x=ty+1,过定点(1,0),即Q为定点.
思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.
(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
(2016·河北衡水中学调研)如图,已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,
离心率e=,F是右焦点,A是右顶点,B是椭圆上一点,BF⊥x轴,BF=.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:x=ty+λ是椭圆C的一条切线,点M(-,y1),点N(,y2)是切线l上两个点,证明:当t,λ变化时,以MN为直径的圆过x轴上的定点,并求出定点坐标.
解 (1)由题意设椭圆方程为+=1(a>b>0),①
焦点F(c,0),因为=,②
将点B(c,)的坐标代入方程①得+=1.③
由②③结合a2=b2+c2,得a=,b=1.
故所求椭圆方程为+y2=1.
(2)由得(2+t2)y2+2tλy+λ2-2=0.
因为l为切线,所以Δ=(2tλ)2-4(t2+2)(λ2-2)=0,
即t2-λ2+2=0.④
设圆与x轴的交点为T(x0,0),
则=(--x0,y1),=(-x0,y2).
因为MN为圆的直径,
故·=x-2+y1y2=0.⑤
当t=0时,不符合题意,故t≠0.
因为y1=,y2=,
所以y1y2=,代入⑤结合④得
·=
=,
要使上式为零,当且仅当x=1,解得x0=±1.
所以T为定点,故动圆过x轴上的定点(-1,0)与(1,0),
即椭圆的两个焦点.
题型二 定值问题
例2 如图,已知椭圆C:+=1,点B是其下顶点,过点B的直线交椭圆C于另一点A(点A在x轴下方),且线段AB的中点E在直线y=x上.
(1)求直线AB的方程;
(2)若点P为椭圆C上异于A,B的动点,且直线AP,BP分别交直线y=x于点M,N,证明:OM·ON为定值.
(1)解 由已知得B(0,-2).
设E(λ,λ),则A(2λ,2λ+2).
把A的坐标代入椭圆方程,得
+(λ+1)2=1,
即λ2+2λ=0.
则λ=-(λ=0舍去),得A(-3,-1).
由kAB==-,
得直线AB的方程为y=-x-2,
即x+3y+6=0.
(2)证明 设M(m,m),N(n,n),P(x0,y0),
则x+3y=12.由A,P,M共线,即∥,
得(x0+3)(m+1)=(y0+1)(m+3),
则m=.
由B,P,N共线,即∥,得x0(n+2)=(y0+2)n,
则n=.
所以mn=
=
==3.
从而OM·ON=|m|·|n|=6为定值.
思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值.
(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得.
(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
(2016·扬州模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,点F(,0),直线l:x=-,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹C的方程;
(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在曲线C上,TS是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时,弦长TS是否为定值?请说明理由.
解 (1)依题意知,点R是线段FP的中点,且RQ⊥FP,
∴RQ是线段FP的垂直平分线.
∵点Q在线段FP的垂直平分线上,∴PQ=QF,
又PQ是点Q到直线l的距离,
故动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y2=2x(x>0).
(2)弦长TS为定值.理由如下:
取曲线C上点M(x0,y0),M到y轴的距离为d=|x0|=x0,圆的半径r=MA=,
则TS=2=2,
∵点M在曲线C上,∴x0=,
∴TS=2=2是定值.
题型三 探索性问题
例3 (2015·四川)如图,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率是,点P(0,1)在短轴CD上,且·=-1.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点.是否存在常数λ,使得·+λ·为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.
解 (1)由已知,点C,D的坐标分别为(0,-b),(0,b),
又点P的坐标为(0,1),且·=-1,
于是解得a=2,b=,
所以椭圆E的方程为+=1.
(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
联立得(2k2+1)x2+4kx-2=0,
其判别式Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0,
所以x1+x2=-,x1x2=-,
从而,·+λ·
=x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1-1)(y2-1)]
=(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1
=
=--λ-2.
所以当λ=1时,--λ-2=-3,
此时·+λ·=-3为定值.
当直线AB斜率不存在时,直线AB即为直线CD,
此时,·+λ·=·+·=-2-1=-3.
故存在常数λ=1,使得·+λ·为定值-3.
思维升华 解决探索性问题的注意事项
探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.
(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法.
(2016·苏锡常镇四市调研)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1 (a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,右顶点,上顶点分别为A,B,原点O到直线AB的距离等于ab.
(1)若椭圆C的离心率等于,求椭圆C的方程;
(2)若过点(0,1)的直线l与椭圆有且只有一个公共点P,且P在第二象限,直线PF2交y轴于点Q.试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系,并说明理由.
解 (1)由题意,得点A(a,0),B(0,b),直线AB的方程为+=1,即bx+ay-ab=0.
由题设,得=ab,
化简得a2+b2=1.①
∵e==,∴=,
即a2=3b2.②
由①②,解得
∴椭圆C的方程为+4y2=1.
(2)点F1在以PQ为直径的圆上.
由题设,直线l与椭圆相切且l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1,
由
得(b2+a2k2)x2+2ka2x+a2-a2b2=0,(*)
则Δ=(2ka2)2-4(b2+a2k2)(a2-a2b2)=0,
化简得1-b2-a2k2=0,∴k2==1,
∵点P在第二象限,∴k=1.
把k=1代入方程(*),得x2+2a2x+a4=0,
解得x=-a2,从而y=b2,∴P(-a2,b2).
从而直线PF2的方程为y-b2=(x+a2),
令x=0,得y=,∴Q(0,).
从而=(-a2+c,b2),=(c,),
又a2+b2=1,a2=b2+c2,
从而·=c(-a2+c)+
==
==0,
∴·=0.
∴点F1在以PQ为直径的圆上.
23.设而不求,整体代换
典例 (16分)椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连结PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,若k2≠0,证明+为定值,并求出这个定值.
思想方法指导 对题目涉及的变量巧妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等),利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组,再化为一元二次方程,从而利用根与系数的关系进行整体代换,达到“设而不求,减少计算”的效果,直接得定值.
规范解答
解 (1)由于c2=a2-b2,将x=-c代入椭圆方程+=1,得y=±.
由题意知=1,即a=2b2.
又e==,所以a=2,b=1.
所以椭圆C的方程为+y2=1.[4分]
(2)设P(x0,y0)(y0≠0),
又F1(-,0),F2(,0),
所以直线PF1,PF2的方程分别为
:y0x-(x0+)y+y0=0,
:y0x-(x0-)y-y0=0.
由题意知= .
由于点P在椭圆上,所以+y=1.
所以=.[8分]
因为-b>0)的离心率为,且过点A(0,1).
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M,N两点.求证:直线MN恒过定点P(0,-).
(1)解 由题意知,e==,b=1,
所以a2-c2=1,解得a=2,
所以椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)证明 设直线l1的方程为y=kx+1.
联立方程组
得(4k2+1)x2+8kx=0,
解得x1=-,x2=0,
所以xM=-,yM=.
同理可得xN=,yN=.
则kMP===,
kNP===,
所以kMP=kNP,故直线MN恒过定点P(0,-).
2.(2016·云南师范大学附属中学月考)已知椭圆C的焦点在x轴上,离心率等于,且过点(1,).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M,若=λ1,=λ2,求证:λ1+λ2为定值.
(1)解 设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),
∴
∴a2=5,b2=1,
∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)证明 设点A,B,M的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),点F的坐标为(2,0).
显然直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,
则直线l的方程是y=k(x-2),
联立
得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0,
∴x1+x2=,x1x2=.
又∵=λ1,=λ2,
将各点坐标代入,得λ1=,λ2=,
∴λ1+λ2=+
=
=
=-10.
故λ1+λ2为定值.
3.椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,点(,)为椭圆上的一点.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1),且与椭圆E交于C,D两点,B为椭圆E的下顶点,求证:对于任意的k,直线BC,BD的斜率之积为定值.
(1)解 因为e=,所以c=a,a2=b2+(a)2.①
又椭圆过点(,),所以+=1.②
由①②,解得a2=6,b2=4,
所以椭圆E的标准方程为+=1.
(2)证明 设直线l:y=kx+1,C(x1,y1),D(x2,y2),
联立
得(3k2+2)x2+6kx-9=0.
x1+x2=-,x1x2=-,
易知B(0,-2),
故kBC·kBD=·
=·
=
=k2++
=k2+3k·-(3k2+2)
=-2.
所以对于任意的k,直线BC,BD的斜率之积为定值.
4.(2017·江苏命题专家原创)已知椭圆C:+=1 (a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,椭圆C过点M(0,),且△MF1F2为正三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,过点P(4,0)的直线PB交椭圆C于另一点E,证明:直线AE与x轴相交于定点.
(1)解 ∵椭圆C过点M(0,),∴b=,
又△MF1F2为正三角形,且MF1=MF2=a,
∴a==2,c=a=1,
∴椭圆C的方程为+=1.
(2)证明 由题意知,直线PB的斜率存在,且过点P(4,0).
设直线PB的方程为y=k(x-4),
B(x1,y1),E(x2,y2),则A(x1,-y1).
由
得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0,
则x1+x2=,x1x2=,①
直线AE的方程为y-y2=(x-x2),
令y=0,得x=x2-,②
将y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),代入②式,
得x=,③
将①式代入③式,整理得x=1.
∴直线AE与x轴相交于定点(1,0).
(2016·南京模拟)已知半椭圆+=1(x≥0)与半椭圆+=1(x<0)组成的曲线称为“果圆”,其中a2=b2+c2,a>b>c>0.如图,设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2是“果圆”与x,y轴的交点.
(1)若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程;
(2)若A1A2>B1B2,求的取值范围;
(3)一条直线与果圆交于两点,两点的连线段称为果圆的弦.是否存在实数k,使得斜率为k的直线交果圆于两点,得到的弦的中点M的轨迹方程落在某个椭圆上?若存在,求出所有k的值;若不存在,说明理由.
解 (1)∵F0(c,0),F1(0,-),F2(0,),
∴F0F2==b=1,
F1F2=2=1,
∴c2=,a2=b2+c2=,
∴所求“果圆”的方程为
(2)由题意,得a+c>2b,
即>2b-a,
∴a2-b2>(2b-a)2,得<.
又b2>c2=a2-b2,∴>.
∴∈(,).
(3)设“果圆”C的方程为
记平行弦的斜率为k,当k=0时,
直线y=t(-b≤t≤b)与半椭圆+=1(x≥0)的交点是P(a ,t),与半椭圆+=1(x<0)的交点是Q(-c ,t).
∴P,Q的中点M(x,y)满足x=·,y=t,得
+=1.
∵a2=b2+c2<2b2,∴a0时,过B1的直线l与半椭圆+=1(x≥0)的交点是(,).
因此,在直线l右侧,以k为斜率的平行弦的中点为(,),
轨迹在直线y=-x上,即不在某一椭圆上.
当k<0时,可类似讨论得到平行弦的中点的轨迹不在某一椭圆上.