江苏省扬州市蒋王中学2020届高三上学期12月月考数学试题 含解析 14页

蒋王中学2020届高三数学月考试题 ‎(满分160分，考试时间120分钟）2019.12.13‎ 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。‎ ‎1. 已知集合，0，1，，，则元素的个数为______.‎ 答案：1‎ 解：集合，0，1，，‎ ‎，‎ 则．‎ ‎2．复数是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为　　．‎ 答案：4‎ 解：．‎ 复数是纯虚数 ‎，解得：．‎ 故答案为：4．‎ ‎3. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的值为　　．‎ 答案：‎ 解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，‎ 所以，‎ 所以．‎ 故答案为：．‎ ‎4． 不等式的解集为　　．‎ 答案：‎ 解：不等式，即 ，即，即，故不等式 的解集为，‎ 故答案为．‎ ‎5. 设曲线在点处的切线方程为，则　　．‎ 答案：3‎ 解：的导数 ‎，‎ 由在点处的切线方程为，‎ 得，‎ 则．‎ 故答案为：3．‎ ‎6.已知点，，则与向量同方向的单位向量的坐标是　　．‎ 答案：‎ 解：点，，‎ ‎，可得，‎ 因此，与向量同方向的单位向量为：，‎ 故答案为：‎ ‎7.已知抛物线的准线与双曲线的左准线重合，则的值为　　．‎ 答案：2‎ 解：抛物线的准线为：，‎ 双曲线的左准线为：，‎ 由题意可知，‎ ‎．‎ 故答案为：2．‎ ‎8. 已知，，则　　．‎ 答案：‎ 解：由，得，解得，‎ ‎，，‎ 故答案为：．‎ ‎9. 已知四边形为梯形，，为空间一直线，则“垂直于两腰，”是“垂直于两底，”的　 　条件（填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个）．‎ 答案：充分不必要 解：先看充分性 四边形为梯形，，‎ 两腰、所在直线是相交直线．‎ 垂直于两腰，‎ 平面 又，是平面内的直线，‎ 垂直于两底，，因此充分性成立；‎ 再看必要性 作出梯形的高，则垂直于两底，，设所在直线为，‎ 垂直于两底，，且是平面内的直线，‎ 与梯形的两腰不垂直，因此必要性不成立．‎ 故答案为：充分不必要．‎ ‎10. 已知函数，，是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若，则　　．‎ 答案：‎ 解：函数，，是奇函数，则，‎ 由于的最小正周期为，所以，‎ 将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．‎ 若，所以，解得．‎ 所以．‎ 故答案为：‎ ‎11. 记等比数列的前项积为，已知，且，则的值为　　．‎ 答案：4‎ 解：，由等比数列的性质可得，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，．‎ 故答案为：4．‎ ‎12．命题：已知椭圆，，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一个动点，过作的外角平分线的垂线，垂足为，则的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题：已知双曲线，，是双曲线的两个焦点，为双曲线上的一个动点，过作的　　的垂线，垂足为，则的长为定值．‎ 答案：内角平分线 ‎【解答】解：点关于的外角平分线的对称点在的延长线上 ‎，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一个动点，过作的外角平分线的垂线，垂足为 ‎（椭圆长轴长），又是△的中位线，故；‎ 不妨设点在双曲线右支上，点关于的内角平分线的对称点在的延长线上，当过作的内角平分线的垂线，垂足为时，，又是△的中位线，故；‎ 故答案为：内角平分线 ‎13. 已知中，边上的高与边的长相等，则的最大值为　　．‎ 答案：‎ 解：在中，，，，‎ 所以 因为，‎ 所以，‎ 中，边上的高与边的长相等，‎ 所以，‎ 即，‎ ‎．‎ 的最大值为：．‎ 故答案为：．‎ ‎14. 设，，，若对任意的正实数，，都存在以，，为三边长的三角形，则实数的取值范围是　　．‎ 答案：‎ 解：，‎ ‎，，‎ 三角形任意两边之和大于第三边，‎ ‎，且，‎ 解得，故实数的取值范围是，‎ 故答案为：．‎ ‎ [二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎15.（本小题满分为14分）‎ 中，角，，所对应的边分别为，，，若 ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的最小正周期与单调递增区间．‎ 解：（1）由，得，即，由余弦定理，得，‎ 又角是的一个内角，．‎ ‎（2），‎ 故函数的最小正周期为．‎ 由，，可得，，故单调增区间为，，．‎ ‎16．（本小题满分为14分）‎ 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，为的中点．‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）求证：平面平面．‎ 解：（1）证明：设，连接，‎ 因为，分别是，的中点 ‎，所以（4分）‎ 而面，面，‎ 所以面（7分）‎ ‎（2）连接，因为，‎ 所以，‎ 又四边形是菱形，‎ 所以（10分）‎ 而面，面，，‎ 所以面（13分）‎ 又面，‎ 所以面面（14分）‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 如图，某生态园将一三角形地块的一角开辟为水果园种植桃树，已知角为，，的长度均大于200米，现在边界，处建围墙，在处围竹篱笆．‎ ‎（1）若围墙，总长度为200米，如何围可使得三角形地块的面积最大？‎ ‎（2）已知段围墙高1米，段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？‎ 解：设米，米，则 ‎（1），的面积，‎ 当且仅当时取等号；‎ ‎（2）由题意得，即，‎ 要使竹篱笆用料最省，只需最短，所以 所以时，有最小值，此时．‎ ‎18.（本小题满分16分）‎ 已知长轴在轴上的椭圆的离心率，且过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点，为圆上任一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，求证：为坐标原点）．‎ ‎（1）解：由题意，设椭圆方程为 ‎，，‎ 椭圆过点，‎ ‎，‎ 椭圆的方程为；‎ ‎（2）证明：由题意可求得切线方程为 ‎①若，则切线为（或，则，，（当时同理可得）；‎ ‎②当时，切线方程为，与椭圆联立并化简得 ‎，‎ 设，，，，则 ‎19.(本小题满分16分)‎ 已知函数且 ‎（1）求函数在点，处的切线方程；‎ ‎（2）求函数单调区间；‎ ‎（3）若存在，，，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围．‎ 解：（1）因为函数，‎ 所以，，‎ 又因为，所以函数在点，处的切线方程为；‎ ‎（2）由（1），．‎ 当时，，在上递增；‎ 当时，，在上递增；‎ 故当，时，总有在上是增函数，‎ 又，所以不等式的解集为，‎ 故函数的单调增区间为，递减区间为；‎ ‎（3）因为存在，，，使得成立，‎ 而当，时，，‎ 所以只要即可．‎ 又因为，，的变化情况如下表所示：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎0‎ 减函数 极小值 增函数 可得在，上是减函数，在，上是增函数，‎ 所以当，时，的最小值，‎ 的最大值为和（1）中的最大值．‎ 因为，‎ 令，因为，‎ 所以在、上是增函数．‎ 而（1），故当时，（a），即（1）；‎ 当时，（a），即（1）．‎ 所以，当时，（1），即，‎ 函数在上是增函数，解得；‎ 当时，，即，‎ 函数在上是减函数，解得．‎ 综上可知，所求的取值范围为．‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 已知数列满足，，，是数列的前项和．‎ ‎（1）若数列为等差数列．‎ ‎（ⅰ）求数列的通项；‎ ‎（ⅱ）若数列满足，数列满足，试比较数列前项和与前项和的大小；‎ ‎（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．‎ 解：（1）（ⅰ）因为，‎ 所以，‎ 即，又，，‎ 所以，‎ 又因为数列成等差数列，所以，‎ 即，解得，‎ 所以；‎ ‎（ⅱ）因为，所以，其前项和，‎ 又因为，‎ 所以其前项和，所以，‎ 当或时，；‎ 当或时，；‎ 当时，．‎ ‎（2）由，‎ 知，‎ 两式作差，得，‎ 所以，‎ 作差得，‎ 所以，当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 因为对任意，恒成立，‎ 所以且，‎ 所以，解得，，‎ 故实数的取值范围为．‎ 蒋王中学2020届高三周测数学试题(理科附加)‎ ‎(满分40分，考试时间30分钟）2019.12.13‎ ‎21. 已知为矩阵属于的一个特征向量，求实数，的值及．‎ 解：由条件可知，‎ ‎，解得．（5分）‎ 因此，所以． （10分）‎ ‎22. 在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数），求直线被截得的弦的长度．‎ 解：的方程化为，两边同乘以，得 由，，，‎ 得（5分）‎ 其圆心坐标为，半径，‎ 又直线的普通方程为，‎ 圆心到直线的距离，‎ 弦长（10分）‎ ‎23．如图，设动点P在棱长为1的正方形ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1(不含端点)上，若AP⊥PC，求P点的位置．‎ 解：以，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)．所以＝(1,1，－1)．(3分)‎ 设＝λ＝(λ，λ，－λ)(0＜λ＜1)．(4分)‎ 所以＝＋＝(1－λ，－λ，λ－1)，(5分)‎ ＝＋＝(－λ，1－λ，λ－1)．(6分)‎ 因为AP⊥PC，所以·＝0，(7分)‎ 即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝0，解得λ＝或λ＝1(舍去)，(9分)‎ 所以P.(10分)‎ ‎24. 已知是给定的某个正整数，数列满足：，，其中，2，3，，．‎ ‎（Ⅰ）设，求，，；‎ ‎（Ⅱ）求．‎ 解：（Ⅰ）由得，，2，3，，‎ 即，；‎ ‎，，‎ ‎，； （3分）‎ ‎（Ⅱ）由 得：，，2，3，，‎ 即，，，，‎ 以上各式相乘得 （5分）‎ ‎，，2，3，， （7分）‎ ‎ （10分）‎